4 \usepackage[german]{babel}
5 \usepackage[latin1]{inputenc}
6 \usepackage[T1]{fontenc}
11 \graphicspath{{./img/}}
13 \author{Frank Zirkelbach}
14 \title{Das Ising Modell}
24 \section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
25 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
27 Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \, e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
29 Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
31 \item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
32 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
33 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
34 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
35 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
38 \section{Phasen"uberg"ange}
39 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
42 \item Magnetisierung (Nickel)
43 \item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
45 Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kritischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Uberg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Uberg"ange zweiter Ordnung (kontinuierlich).
47 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
48 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)\\
50 % \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
53 \section{Kritische Exponenten}
54 In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
56 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
57 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
58 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
61 Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung ab, nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
63 \section{Idee des Ising Modells}
64 Ein Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
68 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
69 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
71 \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
73 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
75 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
77 H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
80 (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
82 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
84 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
85 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
87 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein.\\
89 Molekularfeldn"aherung:\\
90 Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
92 S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
94 wobei $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
96 H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
101 Z & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
102 & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
103 & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
106 Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
109 g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
110 m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
113 Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
117 die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die Anfangssteigung der linken Seite der Gleichung gr"o"ser $1$ ist. F"ur die kritische Temperatur gilt somit $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$.
120 % \setlength{\unitlength}{2cm}
121 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
122 % \put(0,0){\line(1,1){1}}
123 % \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
124 % \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
125 % \put(2.7,-0.1){$m$}
126 % \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
127 % \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
128 % \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
129 % \put(0.2,1.4){$f(m)$}
130 % \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
131 % \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
135 \includegraphics[width=12cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
137 Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
139 \chapter{Loesungen des Ising Modells}
141 \section{1-dimensionale L"osung}
142 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
143 \begin{picture}(10,1)
145 \put(0,0.45){$\bullet$}
147 \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
148 \put(2,0.45){$\bullet$}
150 \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
151 \put(4,0.45){$\bullet$}
153 \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
154 \put(6,0.45){$\bullet$}
158 Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
160 H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
162 Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
163 Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
165 Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
167 E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
169 Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
173 Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
175 Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
177 Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
179 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
182 <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
185 <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
186 <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
187 <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
191 |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
192 |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
196 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
205 \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
207 Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
210 Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
211 & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
212 & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
215 Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
217 \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
221 \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
223 Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
226 \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
227 Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
228 F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
231 Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
232 Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
235 M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
236 & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
237 & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
238 & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
242 Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
244 \setlength{\unitlength}{2cm}
245 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
246 \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
247 \put(2.7,-0.1){$B_0$}
248 \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
249 \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
250 \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
252 \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
253 \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
258 \item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
259 \item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
261 F"ur $T=0$ kann obere Approximation nichtmehr verwendet werden, da gilt:
263 \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
265 Mann kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergagng liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
267 \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
270 \section{2-dimensionale L"osung}
271 W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
275 H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
277 Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
279 H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
284 E(\mu_j,\mu_k) & \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\
285 E(\mu_j) & \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\
286 \mu_j & \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
289 Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
291 <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
293 Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
295 Z = \textrm{Sp} \, mathbf{T}^N
297 Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden Werden nur die Endresultate betrachtet.\\
299 F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
301 f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
303 mit $K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
307 (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
311 F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
313 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
315 In der N"ahe von $T=T_C$ erkennt man eine logarithmische Divergenz der spezifischen W"arme.
317 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big) + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
319 Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
323 \item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
324 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
327 \section{3-dimensionale L"osung}
328 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
330 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
332 \chapter{Monte Carlo Simulation}
333 Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
335 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
338 <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\
339 p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\
340 E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
343 Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht.
345 <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
347 $N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in der Computersimulation.
349 \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
350 \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s dir Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
354 P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
356 und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
357 Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
359 W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t)
363 \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
365 Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
367 W(A \rightarrow B) = \left\{
369 e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
373 Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
375 \item Gehe alle Gitterplaetze durch
376 \item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
377 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
378 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Itterationen ($N^3$))
381 \chapter{Anwendungen}
383 \item Spingl"aser [\ref{lit8}]
385 \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
388 \item keine spontane Magnetisierung
389 \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
390 \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
394 \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
395 \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
398 \item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
400 \item Traveling Salesman Problem:
402 \item "Aufheizen" des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
403 \item "Abk"uhlen des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
410 S_i & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
411 S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
412 S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
413 J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
414 \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
417 \item einige Eigenschaften
419 \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
420 \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
421 \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
422 \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
426 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
429 |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
430 |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
431 k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
432 m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
435 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
438 H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
439 \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
440 S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
443 \item weitere Anwendungen
445 \item Quantum Game Theory
446 \item duopoly markets
453 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
454 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
455 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
456 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
457 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
458 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
459 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
460 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis