4 \usepackage[german]{babel}
5 \usepackage[latin1]{inputenc}
6 \usepackage[T1]{fontenc}
9 \author{Frank Zirkelbach}
10 \title{Das Ising Modell}
20 \section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
21 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
23 Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Spur} \, e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
25 Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
27 \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \nonumber\\
28 \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \nonumber\\
29 \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H} \nonumber
32 \section{Phasenuebergaenge}
33 Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
37 \item elektrische Leitfaehigkeit
39 Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
41 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
42 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
45 \section{Idee des Ising Modells}
48 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
49 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
51 \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
53 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
55 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
57 H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \qquad \textrm{,mit}
60 (i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
62 Man erkennt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
64 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
65 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
67 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen. (Divergenz von $\chi$)
69 \chapter{Loesungen des Ising Modells}
70 \section{1-dimensionale Loesung}
71 there are solutions for 1d \ldots
72 \section{2-dimensionale Loesung}
74 \section{3-dimensionale Loesung}
78 we can easily implement it in c
81 getho, here is how it comes \ldots
83 \chapter{Zusammenfassung}
84 i dont care, though this is powered by \LaTeX
88 Baxter, Nolting, Kampf ;)