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2
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9
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12
13 \author{Frank Zirkelbach}
14 \title{Das Ising Modell}
15
16 \begin{document}
17 \frontmatter
18 \maketitle
19 \tableofcontents
20
21 \mainmatter
22 \chapter{Einf"uhrung}
23
24 \section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
25 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
26 \[
27  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
28 \]
29 Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
30 \begin{itemize}
31 \item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
32 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$ 
33 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
34 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
35 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
36 \end{itemize}
37
38 \section{Phasen"uberg"ange}
39 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen.\\
40 Beispiele:
41 \begin{itemize}
42 \item Dichte ($H_2O$)
43 \item Magnetisierung (Nickel)
44 \item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
45 \end{itemize}
46 Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kritischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Uberg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Uberg"ange zweiter Ordnung (kontinuierlich).
47 \begin{itemize}
48 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
49 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)\\
50 % \\
51 % \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
52 \end{itemize}
53
54 \section{Kritische Exponenten}
55 In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"o"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
56 \begin{itemize}
57 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
58 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
59 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
60 \end{itemize}
61 Anmerkung:\\
62 Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung ab, nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
63
64 \section{Idee des Ising Modells}
65 Ein Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
66 \\
67 Modellannahmen: 
68 \begin{itemize}
69 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
70 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt
71 \[
72  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
73 \]
74 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
75 \end{itemize}
76 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
77 \[
78  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \qquad (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \quad \vec{B} = (0,0,B_0)
79 \]
80 \newpage
81 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
82 \begin{itemize}
83 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
84 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
85 \end{itemize}
86 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne "Anderung eines "au"seren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein.\\
87 \\
88 Molekularfeldn"aherung:\\
89 Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
90 \[
91  S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
92 \]
93 wobei $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
94 \[
95  H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
96 \]
97 und Zustandssumme:
98 \[
99 \begin{array}{ll}
100  Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
101     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
102     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
103 \end{array}
104 \]
105 Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
106 \[
107 \begin{array}{l}
108  g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
109  m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
110 \end{array}
111 \]
112 Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
113 \[
114  \tanh (\beta Jm) = m
115 \]
116 die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die Anfangssteigung der linken Seite der Gleichung gr"o"ser $1$ ist. F"ur die kritische Temperatur gilt somit $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$.
117 \\
118
119 % \setlength{\unitlength}{2cm}
120 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
121 %  \put(0,0){\line(1,1){1}}
122 %  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
123 %  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
124 %  \put(2.7,-0.1){$m$}
125 %  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
126 %  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
127 %  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
128 %  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
129 %  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
130 %  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
131 % \end{picture}
132 % \\
133
134 \includegraphics[width=12cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.tif}
135
136 Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
137
138 \chapter{L"osungen des Ising Modells}
139
140 \section{L"osung f"ur $d=1$}
141 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
142 \begin{picture}(10,1)
143  \thicklines
144  \put(0,0.45){$\bullet$}
145  \put(0,0){$1$}
146  \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
147  \put(2,0.45){$\bullet$}
148  \put(2,0){$2$}
149  \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
150  \put(4,0.45){$\bullet$}
151  \put(4,0){$3$}
152  \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
153  \put(6,0.45){$\bullet$}
154  \put(6,0){$N$}
155 \end{picture} \\
156 \\
157 Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
158 \[
159  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
160 \]
161 Annahmen:
162 \begin{itemize}
163  \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
164  \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
165 \end{itemize}
166 Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
167 \\
168 Die Energie des Systems ist nun gegeben durch:
169 \[
170  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
171 \]
172 Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
173 \[
174  M = <S_1>
175 \]
176 Es gibt $2^N$ m"ogliche Spinzust"ande. Die Zustandssumme lautet:
177 \[
178  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
179 \]
180 Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
181 \\
182 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
183 \[
184 \begin{array}{l}
185  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
186  \\
187  \textrm{also:} \\
188  \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
189  \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
190  \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
191  \\
192  wobei: \\
193  \begin{array}{ll}
194   \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
195   \displaystyle |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
196  \end{array}
197 \end{array}
198 \]
199 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
200 \[
201  \mathbf{T} =
202  \left(
203  \begin{array}{cc}
204  e^{K+h} & e^{-K} \\
205  e^{-K} & e^{K-h}
206  \end{array}
207  \right)
208  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
209 \]
210 Damit l"a"st sich die Zustandssumme neu schreiben:
211 \[
212  \begin{array}{ll}
213  \displaystyle Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
214  \displaystyle  & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
215  \displaystyle  & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
216  \end{array}
217 \]
218 Wegen der Vollst"andigkeit der Spinzust"ande kann obere Vereinfachung vorgenommen werden. Die Spur ist Darstellungsunabh"angig. $\mathbf{T}$ ist in ihrer Eigenbasis diagonal. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erh"alt man folgende Eigenwerte:
219 \[
220  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
221 \]
222 Daraus folgt:
223 \[
224  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
225 \]
226 F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
227 \[
228  \begin{array}{l}
229   \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
230   \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
231   \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
232  \end{array}
233 \]
234 Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel gr"o"ser ist als $\lambda_-^N$. \\
235 F"ur die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
236 \[
237  \begin{array}{ll}
238   \displaystyle M & \displaystyle = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
239   \displaystyle & \displaystyle = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
240   \displaystyle & \displaystyle \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
241   \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
242   
243  \end{array}
244 \]
245 Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. F"ur sehr grosse Magnetfelder s"attigt sie.
246 \\
247 \setlength{\unitlength}{2cm}
248 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
249  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
250  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
251  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
252  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
253  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
254  \put(0.2,1.4){$M$}
255  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
256  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
257 \end{picture}
258 \\
259 Erkenntnis:\\
260 \begin{itemize}
261 \item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
262 \item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
263 \end{itemize}
264 F"ur $T=0$ kann obere Approximation nicht mehr verwendet werden, da gilt:
265 \[ 
266  \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
267 \]
268 Man kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergang liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
269 \[
270  \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
271 \]
272
273 \section{L"osung f"ur $d=2$}
274 W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
275 \\
276 Hamiltonian:
277 \[
278  H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
279 \]
280 Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
281 \[
282  H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
283 \]
284 wobei
285 \[
286 \begin{array}{ll}
287  \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
288  \displaystyle E(\mu_j)       & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
289  \displaystyle \mu_j          & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
290 \end{array}
291 \]
292 Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
293 \[
294  <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
295 \]
296 Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
297 \[
298  Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
299 \]
300 Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden werden nur die Endresultate betrachtet.\\
301 \\
302 F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
303 \[
304  f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
305 \]
306 mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
307 \[
308  m = \left\{
309  \begin{array}{ll}
310   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
311   0 & : T > T_C
312  \end{array} \right.
313 \]
314 F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
315 \[
316  2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
317 \]
318 In der N"ahe von $T=T_C$ erkennt man eine logarithmische Divergenz der spezifischen W"arme.
319 \[
320 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big) + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
321 \]
322 Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
323 \\
324 Fazit:
325 \begin{itemize}
326 \item es existiert ein Phasen"ubergang zweiter Ordnung
327 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
328 \end{itemize}
329
330 \section{L"osung f"ur $d=3$}
331 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch "uberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
332 \\
333 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange.
334
335 \chapter{Monte Carlo Simulation}
336 Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
337 \\
338 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
339 \[
340 \begin{array}{l}
341  \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
342  \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{, Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
343  \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
344 \end{array}
345 \]
346 Anstatt "uber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
347 \[
348  <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
349 \]
350 $N$ entspricht hierbei der Anzahl der Iterationen in der Computersimulation.
351 \begin{itemize}
352  \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
353  \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
354 \end{itemize}
355 Damit gilt:
356 \[
357  P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
358 \]
359 und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
360 Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
361 \[
362  W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
363 \]
364 und somit gilt:
365 \[
366  \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
367 \]
368 Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
369 \[
370  W(A \rightarrow B) = \left\{
371  \begin{array}{ll}
372   e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
373   1 & : \delta E < 0
374  \end{array} \right.
375 \]
376 Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
377 \begin{itemize}
378 \item Gehe alle Gitterpl"atze durch
379 \item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
380 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
381 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
382 \end{itemize}
383
384 \chapter{Anwendungen}
385 \begin{itemize}
386 \item Spingl"aser [\ref{lit8}]
387  \begin{itemize}
388  \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
389  \item Beobachtungen:
390   \begin{itemize}
391   \item keine spontane Magnetisierung
392   \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
393   \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
394   \end{itemize}
395  \item Modell:
396   \begin{itemize}
397   \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
398   \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
399   \end{itemize}
400  \end{itemize}
401 \newpage
402 \item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
403  \begin{itemize}
404   \item Traveling Salesman Problem:
405    \begin{itemize}
406    \item \dq Aufheizen\dq{} des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
407    \item \dq Abk"uhlen\dq{} des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
408    \end{itemize}
409   \item Ged"achtnis:
410   \begin{itemize}
411   \item Modell:
412    \[
413     \begin{array}{ll}
414      S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
415      S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
416      S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
417      J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
418      \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
419     \end{array}
420    \]
421   \item einige Eigenschaften
422    \begin{itemize}
423    \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
424    \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
425    \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
426    \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
427    \end{itemize}
428   \end{itemize}
429  \end{itemize}
430 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
431  \[
432   \begin{array}{ll}
433    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
434    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
435    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
436    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
437   \end{array}
438  \]
439 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
440  \[
441   \begin{array}{ll}
442    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
443    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
444    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
445   \end{array}
446  \]
447 \item weitere Anwendungen
448  \begin{itemize}
449  \item Quantum Game Theory
450  \item duopoly markets
451  \end{itemize}
452 \end{itemize}
453
454 \appendix
455 \chapter{Quellen}
456 \begin{enumerate}
457 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
458 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
459 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
460 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
461 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
462 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
463 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
464 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
465 \end{enumerate}
466
467 \end{document}