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2
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9
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27
28 \author{Frank Zirkelbach}
29 \title{Das Ising Modell}
30
31 \begin{document}
32
33 \extraslideheight{10in}
34
35 \begin{slide}
36 \maketitle
37 \end{slide}
38
39 \begin{slide}
40 \tableofcontents
41 \end{slide}
42
43 \begin{slide}
44 \section{Einf"uhrung}
45 \end{slide}
46
47 \begin{slide}
48 \slideheading{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
49 Zustandssumme: Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande
50 \[
51  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
52 \]
53 Ableitung wichtiger Gr"o"sen:
54 \begin{itemize}
55 \item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
56 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$ 
57 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
58 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
59 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
60 \end{itemize}
61 \end{slide}
62
63 \begin{slide}
64 \slideheading{Phasen"uberg"ange}
65 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen.\\
66 Beispiele:
67 \begin{itemize}
68 \item Dichte ($H_2O$)
69 \item Magnetisierung (Nickel)
70 \item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
71 \end{itemize}
72 \end{slide}
73
74 \begin{slide}
75 Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen
76 \begin{itemize}
77 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
78 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
79 % \\
80 % \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
81 \end{itemize}
82 \end{slide}
83
84 \begin{slide}
85 \slideheading{Kritische Exponenten}
86 Physikalische Gr"o"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
87 \begin{itemize}
88 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
89 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
90 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
91 \end{itemize}
92 Anmerkung:\\
93 $\rightarrow$ Abh"angig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
94 \end{slide}
95
96 \begin{slide}
97 \slideheading{Idee des Ising Modells}
98 Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
99 Modellannahmen: 
100 \begin{itemize}
101 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
102 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt
103 \[
104  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
105 \]
106 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
107 \end{itemize}
108 Hamilton-Funktion:
109 \[
110  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
111 \]
112 \[
113 (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
114 \]
115 \end{slide}
116
117 \begin{slide}
118 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
119 \begin{itemize}
120 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
121 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
122 \end{itemize}
123 Ergebnis: spontane Magnetisierung unterhalb kritischer Temperatur ohne externes $B$-Feld
124 \end{slide}
125
126 \begin{slide}
127 Molekularfeldn"aherung:\\
128 Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
129 Spin-Wechselwirkungs-Term:
130 \[
131 \begin{array}{ll}
132  S_iS_j & = (S_i-m+m)(S_j-m+m)\\
133         & = m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
134 \end{array}
135 \]
136 wobei:
137 \begin{itemize}
138 \item $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$, mittlere Magnetisierung pro Spin 
139 \item $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ in MFN vernachl"assigt
140 \item Definition: $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, mit $z$  Anzahl der n"achsten Nachbarn
141 \end{itemize}
142 \end{slide}
143
144 \begin{slide}
145 Hamiltonian:
146 \[
147  H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
148 \]
149 Zustandssumme:
150 \[
151 \begin{array}{ll}
152  Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
153     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
154     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
155 \end{array}
156 \]
157 \end{slide}
158
159 \begin{slide}
160 freie Energie und Magnetisierung pro Spin:
161 \[
162 \begin{array}{l}
163  g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
164  m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
165 \end{array}
166 \]
167 implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$:
168 \[
169  \tanh (\beta Jm) = m
170 \]
171 \end{slide}
172
173 \begin{slide}
174 \begin{itemize}
175 \item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$
176 \item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ f"ur $m=0$
177 \end{itemize}
178 % \setlength{\unitlength}{2cm}
179 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
180 %  \put(0,0){\line(1,1){1}}
181 %  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
182 %  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
183 %  \put(2.7,-0.1){$m$}
184 %  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
185 %  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
186 %  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
187 %  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
188 %  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
189 %  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
190 % \end{picture}
191 % \\
192 \includegraphics[width=08cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
193 \end{slide}
194
195 \begin{slide}
196 \begin{itemize}
197 \item Phasen"ubergang unabh"angig von Gitterdimension
198 \item Widerspruch zu exakter $d=1$ L"osung
199 \item Typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie)
200 \end{itemize}
201 \end{slide}
202
203 \begin{slide}
204 \section{L"osungen des Ising Modells}
205 \end{slide}
206
207 \begin{slide}
208 \slideheading{L"osung f"ur $d=1$}
209 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
210 \begin{picture}(10,1)
211  \thicklines
212  \put(0,0.45){$\bullet$}
213  \put(0,0){$1$}
214  \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
215  \put(2,0.45){$\bullet$}
216  \put(2,0){$2$}
217  \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
218  \put(4,0.45){$\bullet$}
219  \put(4,0){$3$}
220  \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
221  \put(6,0.45){$\bullet$}
222  \put(6,0){$N$}
223 \end{picture} \\
224 \\
225 Hamilton-Funktion:
226 \[
227  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
228 \]
229 Annahmen:
230 \begin{itemize}
231  \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
232  \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
233 \end{itemize}
234 Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
235 \end{slide}
236
237 \begin{slide}
238 Energie des Systems:
239 \[
240  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
241 \]
242 % Magnetisierung:
243 % \[
244 %  M = <S_1>
245 % \]
246 Zustandssumme:
247 \[
248  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
249 \]
250 \end{slide}
251
252 \begin{slide}
253 Bestimmung der Zustandssumme mit Transfer-Matrix-Methode: \\
254 \\
255 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
256 \[
257 \begin{array}{l}
258  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
259  \\
260  \textrm{also:} \\
261  \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
262  \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
263  \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
264  \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,}
265  \quad |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
266 \end{array}
267 \]
268 \end{slide}
269
270 \begin{slide}
271 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
272 \[
273  \mathbf{T} =
274  \left(
275  \begin{array}{cc}
276  e^{K+h} & e^{-K} \\
277  e^{-K} & e^{K-h}
278  \end{array}
279  \right)
280  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
281 \]
282 \end{slide}
283
284 \begin{slide}
285 Zustandssumme:
286 \[
287  \begin{array}{ll}
288  \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
289  \displaystyle  & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
290  \displaystyle  & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
291  \end{array}
292 \]
293 \begin{itemize}
294 \item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande
295 \item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
296 \item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
297 \end{itemize}
298 \[
299  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
300 \]
301 \[
302  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
303 \]
304 \end{slide}
305
306 \begin{slide}
307 F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
308 \[
309  \begin{array}{l}
310   \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
311   \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
312   \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
313  \end{array}
314 \]
315 weil $\lambda_+^N$ viel gr"o"ser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
316 Magnetisierung:
317 \[
318  \begin{array}{ll}
319   \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
320   \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
321   \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
322   \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
323  \end{array}
324 \]
325 \end{slide}
326
327 \begin{slide}
328 Abbidlung: 
329 \begin{itemize}
330 \item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld
331 \item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
332 \item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
333 \end{itemize}
334 \setlength{\unitlength}{1cm}
335 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
336  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
337  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
338  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
339  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
340  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
341  \put(0.2,1.4){$M$}
342  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
343  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
344 \end{picture}
345 \end{slide}
346
347 \begin{slide}
348 Erkenntnis:
349 \begin{itemize}
350 \item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
351 \item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
352 \end{itemize}
353 F"ur $T=0$:
354 \[ 
355  \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{, ist obere Approximation nichtmehr g"ultig}
356 \]
357 Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
358 Kritische Exponenten:
359 \[
360  \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
361 \]
362 \end{slide}
363
364 \begin{slide}
365 \slideheading{L"osung f"ur $d=2$}
366 \begin{itemize}
367 \item TFM analog $d=1$ L"osung
368 \item nur L"osung f"ur $B=0$
369 \end{itemize}
370 Hamiltonian:
371 \[
372  H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
373 \]
374 Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins.
375 \end{slide}
376
377 \begin{slide}
378 Abk"urzung:
379 \[
380  H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
381 \]
382 wobei
383 \[
384 \begin{array}{ll}
385  \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
386  \displaystyle E(\mu_j)       & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
387  \displaystyle \mu_j          & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
388 \end{array}
389 \]
390 \end{slide}
391
392 \begin{slide}
393 Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
394 \[
395  <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
396 \]
397 $2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung.\\
398 $[7]$ Kerson Huang, Statistical mechanics\\
399 \\
400 Analog zum $d=1$ Fall gilt:
401 \[
402  Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
403 \]
404 \end{slide}
405
406 \begin{slide}
407 freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$: 
408 \[
409  f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
410 \]
411 mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
412 \\
413 Magnetisierung:
414 \[
415  m = \left\{
416  \begin{array}{ll}
417   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
418   0 & : T > T_C
419  \end{array} \right.
420 \]
421 \end{slide}
422
423 \begin{slide}
424 kritische Temperatur:
425 \[ 
426  2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
427 \]
428 spezifische W"arme: (logarithmische Divergenz)
429 \[
430 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big)
431 + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
432 \]
433 kritische Exponenten:\\
434 $\beta = \frac{1}{8}$ \\
435 $\alpha = 0$
436 \end{slide}
437
438 \begin{slide}
439 Fazit:
440 \begin{itemize}
441 \item Phasen"ubergang zweiter Ordnung
442 \item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
443 \end{itemize}
444 \end{slide}
445
446 \begin{slide}
447 \slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
448 \begin{itemize}
449 \item keine exakte analytische L"osung
450 \item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
451 \item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet
452 \item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange
453 \end{itemize}
454 \end{slide}
455
456 \begin{slide}
457 \section{Monte Carlo Simulation}
458 \end{slide}
459
460 \begin{slide}
461 Simulationen das Ising Modells durch Monte Carlo Simulation.\\
462 \\
463 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
464 \[
465 \begin{array}{l}
466  \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
467  \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
468  \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
469 \end{array}
470 \]
471 \end{slide}
472
473 \begin{slide}
474 important sampling: Aufsummieren einiger zuf"alliger Zust"ande (Boltzmann verteilt).
475 \[
476  <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
477 \]
478 $N \equiv \textrm{Anzahl der Iterationen in der Computersimulation}$
479 \begin{itemize}
480  \item $P(A,t)$, Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
481  \item $W(A \rightarrow B)$, Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
482 \end{itemize}
483 \end{slide}
484
485 \begin{slide}
486 Damit gilt:
487 \[
488  P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
489 \]
490 Vergessen der Anfangskonfiguration f"ur gro"se $t$, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
491 Bedingung f"ur zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung:
492 \[
493  W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
494 \]
495 somit gilt:
496 \[
497  \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
498 \]
499 \end{slide}
500
501 \begin{slide}
502 Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\
503 $[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/
504 \[
505  W(A \rightarrow B) = \left\{
506  \begin{array}{ll}
507   e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
508   1 & : \delta E < 0
509  \end{array} \right.
510 \]
511 Pseudocode:
512 \begin{itemize}
513 \item Gehe alle Gitterpl"atze durch
514 \item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
515 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
516 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
517 \end{itemize}
518 \end{slide}
519
520 \begin{slide}
521 \section{Anwendungen}
522 \end{slide}
523
524 \begin{slide}
525 Spingl"aser ([\ref{lit8}] W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis)
526  \begin{itemize}
527  \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
528  \item Beobachtungen:
529   \begin{itemize}
530   \item keine spontane Magnetisierung
531   \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
532   \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, sehr langsame Relaxation
533   \end{itemize}
534  \item Modell:
535   \begin{itemize}
536   \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
537   \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
538   \end{itemize}
539  \end{itemize}
540 \end{slide}
541
542 \begin{slide}
543 Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
544  \begin{itemize}
545   \item Traveling Salesman Problem:
546    \begin{itemize}
547    \item \dq Aufheizen\dq{} des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
548    \item \dq Abk"uhlen\dq{} des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
549    \end{itemize}
550   \end{itemize}
551 \end{slide}
552
553 \begin{slide}
554  \begin{itemize}
555   \item Ged"achtnis:
556   \begin{itemize}
557   \item Modell:
558    \[
559     \begin{array}{ll}
560      S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
561      S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
562      S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
563      J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
564      \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
565     \end{array}
566    \]
567   \item einige Eigenschaften
568    \begin{itemize}
569    \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
570    \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
571    \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
572    \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis) 
573    \end{itemize}
574   \end{itemize}
575  \end{itemize}
576 \end{slide}
577
578 \begin{slide}
579 \begin{itemize}
580 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
581  \[
582   \begin{array}{ll}
583    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
584    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
585    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
586    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
587   \end{array}
588  \]
589 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
590  \[
591   \begin{array}{ll}
592    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
593    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
594    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
595   \end{array}
596  \]
597 \item weitere Anwendungen
598  \begin{itemize}
599  \item Quantum Game Theory
600  \item duopoly markets
601  \end{itemize}
602 \end{itemize}
603 \end{slide}
604
605 \begin{slide}
606 \section{Quellen}
607 \end{slide}
608
609 \begin{slide}
610 \begin{enumerate}
611 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
612 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
613 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
614 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/
615 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
616 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
617 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
618 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
619 \end{enumerate}
620 \end{slide}
621
622 \end{document}