1 \documentclass{seminar}
4 \usepackage[german]{babel}
5 \usepackage[latin1]{inputenc}
6 \usepackage[T1]{fontenc}
10 \usepackage{calc} % Simple computations with LaTeX variables
11 \usepackage[hang]{caption2} % Improved captions
12 \usepackage{fancybox} % To have several backgrounds
14 \usepackage{fancyhdr} % Headers and footers definitions
15 \usepackage{fancyvrb} % Fancy verbatim environments
16 \usepackage{pstcol} % PSTricks with the standard color package
19 \graphicspath{{./img/}}
21 \usepackage{semcolor} % Seminar colored slides
22 \usepackage{semlayer} % Seminar overlays
23 \usepackage{slidesec} % Seminar sections and list of slides
25 \input{seminar.bug} % Official bugs corrections
26 \input{seminar.bg2} % Unofficial bugs corrections
28 \author{Frank Zirkelbach}
29 \title{Das Ising Modell}
46 \slideheading{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
47 Zustandssumme: Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande
49 Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \, e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
51 Ableitung wichtiger Gr"o"sen:
53 \item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
54 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
55 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
56 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
57 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
62 \slideheading{Phasen"uberg"ange}
63 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen.\\
67 \item Magnetisierung (Nickel)
68 \item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
73 Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen
75 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
76 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
78 % \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
83 \slideheading{Kritische Exponenten}
84 Physikalische Gr"oe"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
86 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
87 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
88 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
91 Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Abhaengig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
95 \slideheading{Idee des Ising Modells}
96 Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
100 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
101 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
103 \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
105 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
109 H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
112 (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
117 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
119 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
120 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
122 Ergebnis: spontane Magnetisierung unterhalb kritischer Temperatur ohne externes $B$-Feld
126 Molekularfeldn"aherung:\\
127 Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
128 Spin-Wechselwirkungs-Term:
130 S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
134 \item $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$, mittlere Magnetisierung pro Spin
135 \item $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ in MFN vernachl"assigt
136 \item Definition: $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, mit $z$ Anzahl der n"achsten Nachbarn
143 H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
148 Z & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
149 & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
150 & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
156 freie Energie und Magnetisierung pro Spin:
159 g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
160 m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
163 implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung mit $B_0=0$:
171 \item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$
172 \item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$
175 % \setlength{\unitlength}{2cm}
176 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
177 % \put(0,0){\line(1,1){1}}
178 % \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
179 % \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
180 % \put(2.7,-0.1){$m$}
181 % \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
182 % \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
183 % \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
184 % \put(0.2,1.4){$f(m)$}
185 % \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
186 % \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
190 \includegraphics[width=08cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
193 \item Phasen"ubergang unabh"angig von Gitterdimension
194 \item Widerspruch zu exakter $d=1$ L"osung
195 \item Typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie)
200 \section{Loesungen des Ising Modells}
204 \slideheading{L"osung f"ur $d=1$}
205 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
206 \begin{picture}(10,1)
208 \put(0,0.45){$\bullet$}
210 \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
211 \put(2,0.45){$\bullet$}
213 \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
214 \put(4,0.45){$\bullet$}
216 \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
217 \put(6,0.45){$\bullet$}
223 H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
227 \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
228 \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
230 Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
236 E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
244 Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
249 Bestimmung der Zustandssumme mit Transfer-Matrix-Methode: \\
251 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
254 <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
257 \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
258 \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
259 \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
260 \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,}
261 \quad |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
264 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
273 \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
281 \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
282 \displaystyle & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
283 \displaystyle & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
287 \item Trick: Vollstaendigkeit der Spinzustaende
288 \item $\mathbf{T}$ diagonalisierbar, Spur Darstellungsunabhaengig
289 \item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
292 \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
295 \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
300 Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
303 \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
304 \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
305 \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
308 weil $\lambda_+^N$ viel groesser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
312 \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
313 \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
314 \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
315 \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
323 \item Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld
324 \item Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
325 \item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
327 \setlength{\unitlength}{2cm}
328 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
329 \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
330 \put(2.7,-0.1){$B_0$}
331 \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
332 \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
333 \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
335 \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
336 \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
343 \item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
344 \item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
348 \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)}
350 Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
351 Kritische Exponenten:
353 \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
358 \slideheading{L"osung f"ur $d=2$}
360 \item TFM analog $d=1$ L"osung
361 \item $B=0$ \, \textrm{L"osung nur ohne vorhandenes Magnetfeld}
365 H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
367 Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins. Abk"urzung:
369 H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
374 \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
375 \displaystyle E(\mu_j) & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
376 \displaystyle \mu_j & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
382 Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
384 <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
386 $2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
388 Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
390 [\ref{lit7}] Kerson Huang, Statistical mechanics
394 freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$:
396 f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
398 mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
403 (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
407 kritische Temperatur:
409 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
411 spezifische W"arme: (logarithmische Divergenz)
413 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big)
414 + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
416 kritische Exponenten:\\
417 $\beta = \frac{1}{8}$ \\
424 \item Phasenuebergang zweiter Ordnung
425 \item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
430 \slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
431 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
433 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
437 \section{Monte Carlo Simulation}
441 Simulationen das Ising Modell durch Monte Carlo Simulation\\
443 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
446 \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
447 \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
448 \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
454 Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
456 <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
458 $N$ entspricht hierbei der Anzahl der Iterationen in der Computersimulation.
460 \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
461 \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
468 P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
470 und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
471 Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
473 W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
477 \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
482 Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus\\
483 [\ref{lit4}] http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
485 W(A \rightarrow B) = \left\{
487 e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
491 Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
493 \item Gehe alle Gitterplaetze durch
494 \item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
495 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
496 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Iterationen ($N^3$))
501 \section{Anwendungen}
505 Spingl"aser ([\ref{lit8}] W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis)
507 \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
510 \item keine spontane Magnetisierung
511 \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
512 \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
516 \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
517 \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
523 Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
525 \item Traveling Salesman Problem:
527 \item \dq Aufheizen \dq des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
528 \item \dq Abk"uhlen \dq des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
535 S_i & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
536 S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
537 S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
538 J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
539 \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
542 \item einige Eigenschaften
544 \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
545 \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
546 \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
547 \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
555 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
558 |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
559 |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
560 k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
561 m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
564 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
567 H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
568 \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
569 S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
572 \item weitere Anwendungen
574 \item Quantum Game Theory
575 \item duopoly markets
586 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
587 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
588 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
589 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
590 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
591 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
592 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
593 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis