1 \documentclass{seminar}
4 \usepackage[german]{babel}
5 \usepackage[latin1]{inputenc}
6 \usepackage[T1]{fontenc}
10 \usepackage{calc} % Simple computations with LaTeX variables
11 \usepackage[hang]{caption2} % Improved captions
12 \usepackage{fancybox} % To have several backgrounds
14 \usepackage{fancyhdr} % Headers and footers definitions
15 \usepackage{fancyvrb} % Fancy verbatim environments
16 \usepackage{pstcol} % PSTricks with the standard color package
19 \graphicspath{{./img/}}
21 \usepackage{semcolor} % Seminar colored slides
22 \usepackage{semlayer} % Seminar overlays
23 \usepackage{slidesec} % Seminar sections and list of slides
25 \input{seminar.bug} % Official bugs corrections
26 \input{seminar.bg2} % Unofficial bugs corrections
28 \author{Frank Zirkelbach}
29 \title{Das Ising Modell}
33 \extraslideheight{10in}
48 \slideheading{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
49 Zustandssumme: Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande
51 Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \, e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
53 Ableitung wichtiger Gr"o"sen:
55 \item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
56 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
57 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
58 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
59 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
64 \slideheading{Phasen"uberg"ange}
65 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen.\\
69 \item Magnetisierung (Nickel)
70 \item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
75 Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen
77 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
78 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
80 % \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
85 \slideheading{Kritische Exponenten}
86 Physikalische Gr"o"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
88 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
89 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
90 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
93 $\rightarrow$ Abh"angig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
97 \slideheading{Idee des Ising Modells}
98 Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
101 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
102 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt
104 \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
106 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
110 H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
113 (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
118 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
120 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
121 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
123 Ergebnis: spontane Magnetisierung unterhalb kritischer Temperatur ohne externes $B$-Feld
127 Molekularfeldn"aherung:\\
128 Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
129 Spin-Wechselwirkungs-Term:
131 S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
135 \item $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$, mittlere Magnetisierung pro Spin
136 \item $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ in MFN vernachl"assigt
137 \item Definition: $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, mit $z$ Anzahl der n"achsten Nachbarn
144 H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
149 Z & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
150 & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
151 & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
157 freie Energie und Magnetisierung pro Spin:
160 g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
161 m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
164 implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$:
172 \item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$
173 \item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$
175 % \setlength{\unitlength}{2cm}
176 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
177 % \put(0,0){\line(1,1){1}}
178 % \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
179 % \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
180 % \put(2.7,-0.1){$m$}
181 % \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
182 % \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
183 % \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
184 % \put(0.2,1.4){$f(m)$}
185 % \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
186 % \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
189 \includegraphics[width=08cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
194 \item Phasen"ubergang unabh"angig von Gitterdimension
195 \item Widerspruch zu exakter $d=1$ L"osung
196 \item Typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie)
201 \section{L"osungen des Ising Modells}
205 \slideheading{L"osung f"ur $d=1$}
206 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
207 \begin{picture}(10,1)
209 \put(0,0.45){$\bullet$}
211 \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
212 \put(2,0.45){$\bullet$}
214 \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
215 \put(4,0.45){$\bullet$}
217 \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
218 \put(6,0.45){$\bullet$}
224 H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
228 \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
229 \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
231 Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
237 E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
245 Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
250 Bestimmung der Zustandssumme mit Transfer-Matrix-Methode: \\
252 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
255 <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
258 \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
259 \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
260 \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
261 \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,}
262 \quad |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
268 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
277 \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
285 \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
286 \displaystyle & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
287 \displaystyle & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
291 \item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande
292 \item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
293 \item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
296 \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
299 \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
304 F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
307 \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
308 \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
309 \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
312 weil $\lambda_+^N$ viel gr"o"ser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
316 \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
317 \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
318 \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
319 \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
327 \item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld
328 \item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
329 \item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
331 \setlength{\unitlength}{1cm}
332 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
333 \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
334 \put(2.7,-0.1){$B_0$}
335 \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
336 \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
337 \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
339 \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
340 \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
347 \item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
348 \item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
352 \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)}
354 Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
355 Kritische Exponenten:
357 \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
362 \slideheading{L"osung f"ur $d=2$}
364 \item TFM analog $d=1$ L"osung
365 \item nur L"osung f"ur $B=0$
369 H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
371 Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins.
377 H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
382 \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
383 \displaystyle E(\mu_j) & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
384 \displaystyle \mu_j & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
390 Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
392 <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
394 $2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung.\\
395 $[7]$ Kerson Huang, Statistical mechanics\\
397 Analog zum $d=1$ Fall gilt:
399 Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
404 freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$:
406 f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
408 mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
414 (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
421 kritische Temperatur:
423 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
425 spezifische W"arme: (logarithmische Divergenz)
427 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big)
428 + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
430 kritische Exponenten:\\
431 $\beta = \frac{1}{8}$ \\
438 \item Phasen"ubergang zweiter Ordnung
439 \item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
444 \slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
446 \item keine exakte analytische L"osung
447 \item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
448 \item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet
449 \item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange
454 \section{Monte Carlo Simulation}
458 Simulationen das Ising Modells durch Monte Carlo Simulation.\\
460 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
463 \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
464 \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
465 \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
471 important sampling: Aufsummieren einiger zuf"alliger Zust"ande (Boltzmann verteilt).
473 <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
475 $N \equiv \textrm{Anzahl der Iterationen in der Computersimulation}$
477 \item $P(A,t)$, Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
478 \item $W(A \rightarrow B)$, Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
485 P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
487 Vergessen der Anfangskonfiguration f"ur gro"se $t$, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
488 Bedingung f"ur zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung:
490 W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
494 \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
499 Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\
500 $[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
502 W(A \rightarrow B) = \left\{
504 e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
510 \item Gehe alle Gitterpl"atze durch
511 \item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
512 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
513 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
518 \section{Anwendungen}
522 Spingl"aser ([\ref{lit8}] W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis)
524 \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
527 \item keine spontane Magnetisierung
528 \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
529 \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, sehr langsame Relaxation
533 \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
534 \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
540 Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
542 \item Traveling Salesman Problem:
544 \item \dq Aufheizen\dq{} des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
545 \item \dq Abk"uhlen\dq{} des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
557 S_i & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
558 S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
559 S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
560 J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
561 \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
564 \item einige Eigenschaften
566 \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
567 \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
568 \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
569 \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
577 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
580 |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
581 |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
582 k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
583 m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
586 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
589 H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
590 \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
591 S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
594 \item weitere Anwendungen
596 \item Quantum Game Theory
597 \item duopoly markets
608 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
609 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
610 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
611 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
612 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
613 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
614 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
615 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis