2 \documentclass[landscape,semhelv]{seminar}
5 \usepackage[german]{babel}
6 \usepackage[latin1]{inputenc}
7 \usepackage[T1]{fontenc}
11 \usepackage{calc} % Simple computations with LaTeX variables
12 \usepackage[hang]{caption2} % Improved captions
13 \usepackage{fancybox} % To have several backgrounds
15 \usepackage{fancyhdr} % Headers and footers definitions
16 \usepackage{fancyvrb} % Fancy verbatim environments
17 \usepackage{pstricks} % PSTricks with the standard color package
20 \graphicspath{{../img/}}
23 \usepackage{semlayer} % Seminar overlays
24 \usepackage{slidesec} % Seminar sections and list of slides
26 \input{seminar.bug} % Official bugs corrections
27 \input{seminar.bg2} % Unofficial bugs corrections
33 \extraslideheight{10in}
39 \def\slideleftmargin{5.1cm}
40 \def\slidetopmargin{-0.6cm}
47 \begin{minipage}{2.0cm}
49 \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
52 \begin{minipage}{8.0cm}
55 Molekulardynamische Simulation\\
60 \begin{minipage}{2.3cm}
62 \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
66 \begin{picture}(350,40)
71 \begin{picture}(350,40)
85 \begin{picture}(350,10)
88 {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von
89 {\color{green} Silizium}
91 \begin{picture}(350,10)
94 \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
95 \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
96 \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
97 \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
103 Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
105 \begin{picture}(350,10)
108 Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
110 \begin{picture}(350,10)
114 \item stochastische Simulation
115 \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
116 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
118 \begin{picture}(350,10)
122 \item deterministische Simulation
123 \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
124 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
126 \begin{picture}(350,10)
128 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
133 Prinzip der MD-Simulation
136 \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
137 \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
138 $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
139 \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
140 \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
142 \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
144 \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
146 Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
148 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
149 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
150 \begin{picture}(350,10)
153 Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
156 \item Methode zum Intgrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
157 \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
158 \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
164 Integration der Bewegungsgleichungen
167 \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
168 \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
170 m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
171 \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
172 m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
175 (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
177 \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
179 \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
182 (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
185 ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
186 ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
189 Anforderungen an den Integrator
192 \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
193 \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
194 \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$