2 \documentclass[landscape,semhelv]{seminar}
5 \usepackage[german]{babel}
6 \usepackage[latin1]{inputenc}
7 \usepackage[T1]{fontenc}
11 \usepackage{calc} % Simple computations with LaTeX variables
12 \usepackage[hang]{caption2} % Improved captions
13 \usepackage{fancybox} % To have several backgrounds
15 \usepackage{fancyhdr} % Headers and footers definitions
16 \usepackage{fancyvrb} % Fancy verbatim environments
17 \usepackage{pstricks} % PSTricks with the standard color package
20 \graphicspath{{../img/}}
23 \usepackage{semlayer} % Seminar overlays
24 \usepackage{slidesec} % Seminar sections and list of slides
26 \input{seminar.bug} % Official bugs corrections
27 \input{seminar.bg2} % Unofficial bugs corrections
33 \extraslideheight{10in}
39 \def\slideleftmargin{5.1cm}
40 \def\slidetopmargin{-0.6cm}
47 \begin{minipage}{2.0cm}
49 \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
52 \begin{minipage}{8.0cm}
55 Molekulardynamische Simulation\\
60 \begin{minipage}{2.3cm}
62 \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
66 \begin{picture}(350,40)
71 \begin{picture}(350,40)
85 \begin{picture}(350,10)
88 {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von
89 {\color{green} Silizium}
91 \begin{picture}(350,10)
94 \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
95 \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
96 \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
97 \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
103 Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
105 \begin{picture}(350,10)
108 Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
110 \begin{picture}(350,10)
114 \item stochastische Simulation
115 \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
116 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
118 \begin{picture}(350,10)
122 \item deterministische Simulation
123 \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
124 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
126 \begin{picture}(350,10)
128 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
133 Prinzip der MD-Simulation
136 \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
137 \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
138 $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
139 \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
140 \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
142 \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
144 \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
146 Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
148 $\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
149 $\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
150 \begin{picture}(350,10)
153 Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
156 \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
157 \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
158 \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
164 Integration der Bewegungsgleichungen
167 \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
168 \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
170 m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
171 \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
172 m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
175 (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
177 \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
179 \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
182 (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
185 ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
186 ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
189 Anforderungen an den Integrator
192 \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
193 \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
194 \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
200 {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
203 \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
205 {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
206 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
207 \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
209 {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
210 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
212 {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
214 {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
217 \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
218 f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
219 $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
220 $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
221 {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
224 {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
225 c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
226 {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
227 c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
228 {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
229 c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
230 {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
231 c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
233 \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
237 The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
240 Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
249 Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
251 {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
252 \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
253 {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
254 {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
258 \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
259 \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
261 {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
263 \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
264 $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
265 \item Update der Geschwindigkeiten
267 {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
268 \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
273 \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
274 \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
275 \item verh"altnism"a"sig pr"azise
281 Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
283 Klassisches Potential:
285 {\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
286 \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
287 \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
290 \begin{minipage}{8.3cm}
292 \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
293 \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
294 (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
295 \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
296 (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
297 \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
298 \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
299 \item nur Paarpotential\\
300 $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
301 $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
304 \begin{minipage}{4cm}
305 \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
307 Cut-Off Radius $r_c$:
309 \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
310 \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
312 \begin{picture}(350,5)
314 Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
319 Wahl/Kontrolle des Ensembles
321 \begin{picture}(350,10)
325 \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
326 \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
327 \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
329 $\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
331 \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
333 \begin{picture}(350,10)
335 F"ur andere Ensembles:
337 \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
338 im gew"unschten Ensemble
344 \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
345 $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
346 Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
347 Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
353 kanonisches Ensemble (NVT)
355 \begin{picture}(350,10)
357 Trick: {\em temperature scaling}
359 \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
360 \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
361 \item eigentlich {\em velocity scaling}
362 \item Berendsen Thermostat:
364 \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
367 $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
368 {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
373 \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
375 \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
376 \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
377 \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
378 (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
384 isothermales isobares Ensemble (NpT)
386 \begin{picture}(350,10)
388 Trick: {\em pressure scaling}
390 \item analog zum {\em temperature scaling}
391 \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
392 \item eigentlich {\em volume scaling}
393 \item Berendsen Barostat:
395 \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
398 \begin{picture}(350,10)
402 \item modifizierte Bewegungsgleichung
403 (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
405 \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
406 =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
407 \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
408 \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
410 \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
411 \item Physikalische Interpretation:\\
412 Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
413 mit externen Druck $\alpha$
414 \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
415 ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
416 m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
418 {\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
423 Die Simulationszelle \& Randbedingungen
427 \item definiert durch Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
428 \item meist orthogonale Simulationszelle
429 \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
430 \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
434 \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte
435 \item periodische Randbedingungen:
436 \item festgehaltene Randatome: unphysikalisch
437 (verwerfen einer gro"sen Region um fixierte Atome)
451 Thermodynamische Gr"o"sen
454 \item Innere Energie: $E = ...$
457 \item W"armekapazit"at
477 Albe Reparametrisierung
483 Zusammenfassung / Ausblick
485 \begin{tabular}{|l|c|lr|}
487 Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
489 {\bf Integrator} & & & \\
490 Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
491 Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
492 {\bf Potential} & & & \\
493 Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
494 Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
495 Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
496 Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
497 & $\bullet\bullet\bullet$ \\
498 EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
499 {\bf Ensembles} & & & \\
500 {\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
501 {\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
502 Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
503 Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
504 {\bf Simulationzelle} & & & \\
505 periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
506 $T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
507 {\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele&$\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\