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1 \chapter{Point defects in silicon}
2
3 Given the conversion mechnism of SiC in crystalline silicon introduced in \ref{section:assumed_prec} the understanding of carbon and silicon interstitial point defects in c-Si is of great interest.
4 Both types of defects are examined in the following both by classical potential as well as density functional theory calculations.
5
6 In case of the classical potential calculations a simulation volume of nine silicon lattice constants in each direction is used.
7 Calculations are performed in an isothermal-isobaric NPT ensemble.
8 Coupling to the heat bath is achieved by the Berendsen thermostat with a time constant of 100 fs.
9 The temperature is set to zero Kelvin.
10 Pressure is controlled by a Berendsen barostat again using a time constant of 100 fs and a bulk modulus of 100 GPa for silicon.
11 To exclude surface effects periodic boundary conditions are applied.
12
13 Due to the restrictions in computer time three silicon lattice constants in each direction are considered sufficiently large enough for DFT calculations.
14 The ions are relaxed by a conjugate gradient method.
15 The cell volume and shape is allowed to change using the pressure control algorithm of Parinello and Rahman \cite{}.
16 Periodic boundary conditions in each direction are applied.
17 All point defects are calculated for the neutral charge state.
18
19 \begin{figure}[h]
20 \begin{center}
21 \includegraphics[width=9cm]{unit_cell_e.eps}
22 \end{center}
23 \caption[Insertion positions for the tetrahedral ({\color{red}$\bullet$}), hexagonal  ({\color{green}$\bullet$}), \hkl<1 0 0> dumbbell ({\color{yellow}$\bullet$}), \hkl<1 1 0> dumbbell ({\color{magenta}$\bullet$}) and bond-centered ({\color{cyan}$\bullet$}) interstitial configuration.]{Insertion positions for the tetrahedral ({\color{red}$\bullet$}), hexagonal  ({\color{green}$\bullet$}), \hkl<1 0 0> dumbbell ({\color{yellow}$\bullet$}), \hkl<1 1 0> dumbbell ({\color{magenta}$\bullet$}) and bond-centered ({\color{cyan}$\bullet$}) interstitial configuration. The black dots ({\color{black}$\bullet$}) correspond to the silicon atoms and the blue lines ({\color{blue}-}) indicate the covalent bonds of the perfect c-Si structure.}
24 \label{fig:defects:ins_pos}
25 \end{figure}
26
27 The interstitial atom positions are displayed in figure \ref{fig:defects:ins_pos}.
28 In seperated simulation runs the silicon or carbon atom is inserted at the
29 \begin{itemize}
30  \item tetrahedral, $\vec{r}=(0,0,0)$, ({\color{red}$\bullet$})
31  \item hexagonal, $\vec{r}=(-1/8,-1/8,1/8)$, ({\color{green}$\bullet$})
32  \item nearly \hkl<1 0 0> dumbbell, $\vec{r}=(-1/4,-1/4,-1/8)$, ({\color{yellow}$\bullet$})
33  \item nearly \hkl<1 1 0> dumbbell, $\vec{r}=(-1/8,-1/8,-1/4)$, ({\color{magenta}$\bullet$})
34  \item bond-centered, $\vec{r}=(-1/8,-1/8,-3/8)$, ({\color{cyan}$\bullet$})
35 \end{itemize}
36 interstitial position.
37 For the dumbbell configurations the nearest silicon atom is displaced by $(0,0,-1/8)$ and $(-1/8,-1/8,0)$ respectively of the unit cell length to avoid too high forces.
38 A vacancy or a substitutional atom is realized by removing one silicon atom and switching the type of one silicon atom respectively.
39
40 From an energetic point of view the free energy of formation $E_{\text{f}}$ is suitable for the characterization of defect structures.
41 For defect configurations consisting of a single atom species the formation energy is defined as
42 \begin{equation}
43 E_{\text{f}}=\left(E_{\text{coh}}^{\text{defect}}
44                   -E_{\text{coh}}^{\text{defect-free}}\right)N
45 \label{eq:defects:ef1}
46 \end{equation}
47 where $N$ and $E_{\text{coh}}^{\text{defect}}$ are the number of atoms and the cohesive energy per atom in the defect configuration and $E_{\text{coh}}^{\text{defect-free}}$ is the cohesive energy per atom of the defect-free structure.
48 The formation energy of defects consisting of two or more atom species is defined as
49 \begin{equation}
50 E_{\text{f}}=E-\sum_i N_i\mu_i
51 \label{eq:defects:ef2}
52 \end{equation}
53 where $E$ is the free energy of the interstitial system and $N_i$ and $\mu_i$ are the amount of atoms and the chemical potential of species $i$.
54 The chemical potential is determined by the cohesive energy of the structure of the specific type in equilibrium at zero Kelvin.
55 For a defect configuration of a single atom species equation \eqref{eq:defects:ef2} is equivalent to equation \eqref{eq:defects:ef1}.
56
57 \section{Silicon self-interstitials}
58
59 Point defects in silicon have been extensively studied, both experimentally and theoretically \cite{fahey89,leung99}.
60 Quantum-mechanical total-energy calculations are an invalueable tool to investigate the energetic and structural properties of point defects since they are experimentally difficult to assess.
61
62 The formation energies of some of the silicon self-interstitial configurations are listed in table \ref{tab:defects:si_self} for both methods used in this work as well as results obtained by former studies \cite{leung99}.
63 \begin{table}[h]
64 \begin{center}
65 \begin{tabular}{l c c c c c}
66 \hline
67 \hline
68  & T & H & \hkl<1 0 0> DB & \hkl<1 1 0> DB & V \\
69 \hline
70  Erhard/Albe MD & 3.40 & 4.48$^*$ & 5.42 & 4.39 & 3.13 \\
71  VASP & 3.77 & 3.42 & 4.41 & 3.39 & 3.63 \\
72  LDA \cite{leung99} & 3.43 & 3.31 & - & 3.31 & - \\
73  GGA \cite{leung99} & 4.07 & 3.80 & - & 3.84 & - \\
74 \hline
75 \hline
76 \end{tabular}
77 \end{center}
78 \caption[Formation energies of silicon self-interstitials in crystalline silicon determined by classical potential molecular dynamics and density functional calculations.]{Formation energies of silicon self-interstitials in crystalline silicon determined by classical potential molecular dynamics and density functional calculations. The formation energies are given in eV. T denotes the tetrahedral, H the hexagonal, B the bond-centered and V the vacancy interstitial configuration. The dumbbell configurations are abbreviated by DB. Formation energies for unstable configurations are marked by an asterisk and determined by using the low kinetic energy configuration shortly before the relaxation into the more favorable configuration starts.}
79 \label{tab:defects:si_self}
80 \end{table}
81 The final configurations obtained after relaxation are presented in figure \ref{fig:defects:conf}.
82 \begin{figure}[h]
83 \begin{center}
84 %\hrule
85 %\vspace*{0.2cm}
86 %\begin{flushleft}
87 %\begin{minipage}{5cm}
88 %\underline{\hkl<1 1 0> dumbbell}\\
89 %$E_{\text{f}}=3.39\text{ eV}$\\
90 %\includegraphics[width=3.0cm]{si_pd_vasp/110_2333.eps}
91 %\end{minipage}
92 %\begin{minipage}{5cm}
93 %\underline{Hexagonal}\\
94 %$E_{\text{f}}=3.42\text{ eV}$\\
95 %\includegraphics[width=3.0cm]{si_pd_vasp/hex_2333.eps}
96 %\end{minipage}
97 %\begin{minipage}{5cm}
98 %\underline{Tetrahedral}\\
99 %$E_{\text{f}}=3.77\text{ eV}$\\
100 %\includegraphics[width=3.0cm]{si_pd_vasp/tet_2333.eps}
101 %\end{minipage}\\[0.2cm]
102 %\begin{minipage}{5cm}
103 %\underline{\hkl<1 0 0> dumbbell}\\
104 %$E_{\text{f}}=4.41\text{ eV}$\\
105 %\includegraphics[width=3.0cm]{si_pd_vasp/100_2333.eps}
106 %\end{minipage}
107 %\begin{minipage}{5cm}
108 %\underline{Vacancy}\\
109 %$E_{\text{f}}=3.63\text{ eV}$\\
110 %\includegraphics[width=3.0cm]{si_pd_vasp/vac_2333.eps}
111 %\end{minipage}
112 %\begin{minipage}{5cm}
113 %\begin{center}
114 %VASP\\
115 %calculations\\
116 %\end{center}
117 %\end{minipage}
118 %\end{flushleft}
119 %\vspace*{0.2cm}
120 %\hrule
121 \begin{flushleft}
122 \begin{minipage}{5cm}
123 \underline{Tetrahedral}\\
124 $E_{\text{f}}=3.40\text{ eV}$\\
125 \includegraphics[width=4.0cm]{si_pd_albe/tet.eps}
126 \end{minipage}
127 \begin{minipage}{10cm}
128 \underline{Hexagonal}\\[0.1cm]
129 \begin{minipage}{4cm}
130 $E_{\text{f}}^*=4.48\text{ eV}$\\
131 \includegraphics[width=4.0cm]{si_pd_albe/hex_a.eps}
132 \end{minipage}
133 \begin{minipage}{0.8cm}
134 \begin{center}
135 $\Rightarrow$
136 \end{center}
137 \end{minipage}
138 \begin{minipage}{4cm}
139 $E_{\text{f}}=3.96\text{ eV}$\\
140 \includegraphics[width=4.0cm]{si_pd_albe/hex.eps}
141 \end{minipage}
142 \end{minipage}\\[0.2cm]
143 \begin{minipage}{5cm}
144 \underline{\hkl<1 0 0> dumbbell}\\
145 $E_{\text{f}}=5.42\text{ eV}$\\
146 \includegraphics[width=4.0cm]{si_pd_albe/100.eps}
147 \end{minipage}
148 \begin{minipage}{5cm}
149 \underline{\hkl<1 1 0> dumbbell}\\
150 $E_{\text{f}}=4.39\text{ eV}$\\
151 \includegraphics[width=4.0cm]{si_pd_albe/110.eps}
152 \end{minipage}
153 \begin{minipage}{5cm}
154 \underline{Vacancy}\\
155 $E_{\text{f}}=3.13\text{ eV}$\\
156 \includegraphics[width=4.0cm]{si_pd_albe/vac.eps}
157 \end{minipage}
158 \end{flushleft}
159 %\hrule
160 \end{center}
161 \caption[Relaxed silicon self-interstitial defect configurations obtained by classical potential calculations.]{Relaxed silicon self-interstitial defect configurations obtained by classical potential calculations. The silicon atoms and the bonds (only for the interstitial atom) are illustrated by yellow spheres and blue lines.}
162 \label{fig:defects:conf}
163 \end{figure}
164
165 There are differences between the various results of the quantum-mechanical calculations but the consesus view is that the \hkl<1 1 0> dumbbell followed by the hexagonal and tetrahedral defect is the lowest in energy.
166 This is nicely reproduced by the DFT calculations performed in this work.
167
168 It has turned out to be very difficult to capture the results of quantum-mechanical calculations in analytical potential models.
169 Among the established analytical potentials only the EDIP \cite{} and Stillinger-Weber \cite{} potential reproduce the correct order in energy of the defects.
170 However, these potenitals show shortcomings concerning the description of other physical properties and are unable to describe the C-C and C-Si interaction.
171 In fact the Erhard/Albe potential calculations favor the tetrahedral defect configuration.
172 The hexagonal configuration is not stable opposed to results of the authors of the potential \cite{albe_sic_pot}.
173 In the first two pico seconds while kinetic energy is decoupled from the system the Si interstitial seems to condense at the hexagonal site.
174 The formation energy of 4.48 eV is determined by this low kinetic energy configuration shortly before the relaxation process starts.
175 The Si interstitial atom then begins to slowly move towards an energetically more favorable position very close to the tetrahedral one but slightly displaced along the three coordinate axes.
176 The formation energy of 3.96 eV for this type of interstitial is equal to the result for the hexagonal one in the original work \cite{albe_sic_pot}.
177 Obviously the authors did not carefully check the relaxed results assuming a hexagonal configuration.
178 In figure \ref{fig:defects:kin_si_hex} the relaxation process is shown on the basis of the kinetic energy plot.
179 \begin{figure}[h]
180 \begin{center}
181 \includegraphics[width=10cm]{e_kin_si_hex.ps}
182 \end{center}
183 \caption{Kinetic energy plot of the relaxation process of the hexagonal silicon self-interstitial defect simulation using the Erhard/Albe classical potential.}
184 \label{fig:defects:kin_si_hex}
185 \end{figure}
186 To exclude failures in the implementation of the potential or the MD code itself the hexagonal defect structure was double-checked with the PARCAS MD code \cite{}.
187 The same type of interstitial arises using random insertions.
188 In addition, variations exist in which the displacement is only along two \hkl<1 0 0> axes ($E_\text{f}=3.8\text{ eV}$) or along a single \hkl<1 0 0> axes ($E_\text{f}=3.6\text{ eV}$) successively approximating the tetdrahedral configuration and formation energy.
189 The existence of these local minima located near the tetrahedral configuration seems to be an artifact of the analytical potential without physical authenticity revealing basic problems of analytical potential models for describing defect structures.
190 However, the energy barrier is small (DAS MAL DURCHRECHNEN).
191 Hence these artifacts should have a negligent influence in finite temperature simulations.
192
193 The bond-centered configuration is unstable and the \hkl<1 0 0> dumbbell interstitial is the most unfavorable configuration for both, the Erhard/Albe and VASP calculations.
194
195 In the case of the classical potential simulations bonds between atoms are displayed if there is an interaction according to the potential model, that is if the distance of two atoms is within the cutoff region $S_{ij}$ introduced in equation \eqref{eq:basics:fc}.
196 For the tetrahedral and the slightly displaced configurations four bonds to the atoms located in the center of the planes of the unit cell exist in addition to the four tetrahedral bonds.
197 The length of these bonds are, however, close to the cutoff range and thus are weak interactions not constituting actual chemical bonds.
198 The same applies to the bonds between the interstitial and the upper two atoms in the \hkl<1 1 0> dumbbell configuration.
199
200 A more detailed description of the chemical bonding is achieved by quantum-mechanical calculations by investigating the accumulation of negative charge between the nuclei.
201 Todo: Plot the electron density for these types of defect to derive conclusions of existing bonds ...
202
203 \section{Carbon related point defects}
204
205 Carbon is a common and technologically important impurity in silicon.
206 Concentrations as high as $10^{18}\text{ cm}^{-3}$ occur in Czochralski-grown silicon samples.
207 It is well established that carbon and other isovalent impurities prefer to dissolve substitutionally in silicon.
208 However, radiation damage can generate carbon interstitials \cite{watkins76} which have enough mobility at room temeprature to migrate and form defect complexes.
209
210 Formation energies of the most common carbon point defects in crystalline silicon are summarized in table \ref{tab:defects:c_ints} and the relaxed configurations obtained by classical potential calculations visualized in figure \ref{fig:defects:c_conf}.
211 The type of reservoir of the carbon impurity to determine the formation energy of the defect was chosen to be SiC.
212 This is consistent with the methods used in the articles \cite{tersoff90,dal_pino93}, which the results are compared to in the following.
213 Hence, the chemical potential of silicon and carbon is determined by the cohesive energy of silicon and silicon carbide.
214 \begin{table}[h]
215 \begin{center}
216 \begin{tabular}{l c c c c c c}
217 \hline
218 \hline
219  & T & H & \hkl<1 0 0> DB & \hkl<1 1 0> DB & S & B \\
220 \hline
221  Erhard/Albe MD & 6.09 & 9.05$^*$ & 3.88 & 5.18 & 0.75 & 5.59$^*$ \\
222  %VASP & unstable & unstable & 3.15 & 3.60 & 1.39 & 4.10 \\
223  VASP & unstable & unstable & 3.72 & 4.16 & 1.95 & 4.66 \\
224  Tersoff \cite{tersoff90} & 3.8 & 6.7 & 4.6 & 5.9 & 1.6 & 5.3 \\
225  ab initio & - & - & x & - & 1.89 \cite{dal_pino93} & x+2.1 \cite{capaz94} \\
226 \hline
227 \hline
228 \end{tabular}
229 \end{center}
230 \caption[Formation energies of carbon point defects in crystalline silicon determined by classical potential molecular dynamics and density functional calculations.]{Formation energies of carbon point defects in crystalline silicon determined by classical potential molecular dynamics and density functional calculations. The formation energies are given in eV. T denotes the tetrahedral, H the hexagonal, B the bond-centered and S the substitutional interstitial configuration. The dumbbell configurations are abbreviated by DB.  Formation energies for unstable configurations are marked by an asterisk and determined by using the low kinetic energy configuration shortly before the relaxation into the more favorable configuration starts.}
231 \label{tab:defects:c_ints}
232 \end{table}
233 \begin{figure}[h]
234 \begin{center}
235 \begin{flushleft}
236 \begin{minipage}{4cm}
237 \underline{Hexagonal}\\
238 $E_{\text{f}}^*=9.05\text{ eV}$\\
239 \includegraphics[width=4.0cm]{c_pd_albe/hex.eps}
240 \end{minipage}
241 \begin{minipage}{0.8cm}
242 \begin{center}
243 $\Rightarrow$
244 \end{center}
245 \end{minipage}
246 \begin{minipage}{4cm}
247 \underline{\hkl<1 0 0>}\\
248 $E_{\text{f}}=3.88\text{ eV}$\\
249 \includegraphics[width=4.0cm]{c_pd_albe/100.eps}
250 \end{minipage}
251 \begin{minipage}{0.5cm}
252 \hfill
253 \end{minipage}
254 \begin{minipage}{5cm}
255 \underline{Tetrahedral}\\
256 $E_{\text{f}}=6.09\text{ eV}$\\
257 \includegraphics[width=4.0cm]{c_pd_albe/tet.eps}
258 \end{minipage}\\[0.2cm]
259 \begin{minipage}{4cm}
260 \underline{Bond-centered}\\
261 $E_{\text{f}}^*=5.59\text{ eV}$\\
262 \includegraphics[width=4.0cm]{c_pd_albe/bc.eps}
263 \end{minipage}
264 \begin{minipage}{0.8cm}
265 \begin{center}
266 $\Rightarrow$
267 \end{center}
268 \end{minipage}
269 \begin{minipage}{4cm}
270 \underline{\hkl<1 1 0> dumbbell}\\
271 $E_{\text{f}}=5.18\text{ eV}$\\
272 \includegraphics[width=4.0cm]{c_pd_albe/110.eps}
273 \end{minipage}
274 \begin{minipage}{0.5cm}
275 \hfill
276 \end{minipage}
277 \begin{minipage}{5cm}
278 \underline{Substitutional}\\
279 $E_{\text{f}}=0.75\text{ eV}$\\
280 \includegraphics[width=4.0cm]{c_pd_albe/sub.eps}
281 \end{minipage}
282 \end{flushleft}
283 \end{center}
284 \caption[Relaxed carbon point defect configurations obtained by classical potential calculations.]{Relaxed carbon point defect configurations obtained by classical potential calculations. The silicon/carbon atoms and the bonds (only for the interstitial atom) are illustrated by yellow/grey spheres and blue lines.}
285 \label{fig:defects:c_conf}
286 \end{figure}
287
288 Substitutional carbon in silicon is found to be the lowest configuration in energy for all potential models.
289 An experiemntal value of the formation energy of substitutional carbon was determined by a fit to solubility data yielding a concentration of $3.5 \times 10^{24} \exp{(-2.3\text{ eV}/k_{\text{B}}T)} \text{ cm}^{-3}$ \cite{bean71}.
290 However, there is no particular reason for treating the prefactor as a free parameter in the fit to the experimental data.
291 It is simply given by the atomic density of pure silicon, which is $5\times 10^{22}\text{ cm}^{-3}$.
292 Tersoff \cite{tersoff90} and Dal Pino et al. \cite{dal_pino93} pointed out that by combining this prefactor with the calculated values for the energy of formation ranging from 1.6 to 1.89 eV an excellent agreement with the experimental solubility data within the entire temeprature range of the experiment is obtained.
293 This reinterpretation of the solubility data, first proposed by Tersoff and later on reinforced by Dal Pino et al. is in good agreement with the results of the quantum-mechanical calculations performed in this work.
294 Unfortunately the Erhard/Albe potential undervalues the formation energy roughly by a factor of two.
295
296 Except for Tersoff's tedrahedral configuration results the \hkl<1 0 0> dumbbell is the energetically most favorable interstital configuration.
297 The low energy of formation for the tetrahedral interstitial in the case of the Tersoff potential is believed to be an artifact of the abrupt cutoff set to 2.5 \AA{} (see ref. 11 and 13 in \cite{tersoff90}) and the real formation energy is, thus, supposed to be located between 3 and 10 eV.
298 Keeping these considerations in mind, the \hkl<1 0 0> dumbbell is the most favorable interstitial configuration for all interaction models.
299 In addition to the theoretical results compared to in table \ref{tab:defects:c_ints} there is experimental evidence of the existence of this configuration \cite{watkins76}.
300 It is frequently generated in the classical potential simulation runs in which carbon is inserted at random positions in the c-Si matrix.
301 In quantum-mechanical simulations the unstable tetrahedral and hexagonal configurations undergo a relaxation into the \hkl<1 0 0> dumbbell configuration.
302 Thus, this configuration is of great importance and discussed in more detail in section \ref{subsection:100db}.
303
304 The highest energy is observed for the hexagonal interstitial configuration using classical potentials.
305 Quantum-mechanical calculations reveal this configuration to be unstable, which is also reproduced by the Erhard/Albe potential.
306 In both cases a relaxation towards the \hkl<1 0 0> dumbbell configuration is observed.
307 In fact the stability of the hexagonal interstitial could not be reproduced in simulations performed in this work using the unmodifed Tersoff potential parameters.
308 Unfortunately, apart from the modified parameters, no more conditions specifying the relaxation process are given in Tersoff's study on carbon point defects in silicon \cite{tersoff90}.
309
310 The tetrahedral is the second most unfavorable interstitial configuration using classical potentials and keeping in mind the abrupt cutoff effect in the case of the Tersoff potential as discussed earlier.
311 Again, quantum-mechanical results reveal this configuration unstable.
312 The fact that the tetrahedral and hexagonal configurations are the two most unstable configurations in classical potential calculations and, thus, are less likely to arise in MD simulations acts in concert with the fact that these configurations are found to be unstable in the more accurate quantum-mechanical calculations.
313
314 Just as for the Si self-interstitial a carbon \hkl<1 1 0> dumbbell configuration exists.
315 For the Erhard/Albe potential the formation energy is situated in the same order as found by quantum-mechanical results.
316 Similar structures arise in both types of simulations with the silicon and carbon atom sharing a silicon lattice site aligned along \hkl[1 1 0] where the carbon atom is localized slightly closer to the next nearest silicon atom located in the opposite direction to the site-sharing silicon atom even forming a bond to the next but one silicon atom in this direction.
317
318 The bond-centered configuration is unstable for the Erhard/Albe potential.
319 The system moves into the \hkl<1 1 0> interstitial configuration.
320 This, like in the hexagonal case, is also true for the unmodified Tersoff potential and the given relaxation conditions.
321 Quantum-mechanical results of this configuration are discussed in more detail in section \ref{subsection:bc}.
322 In another ab inito study Capaz et al. \cite{capaz94} determined this configuration as an intermediate saddle point structure of a possible migration path, which is 2.1 eV higher than the \hkl<1 0 0> dumbbell configuration.
323 In calculations performed in this work the bond-centered configuration in fact is a real local minimum and an energy barrier is needed to reach this configuration starting from the \hkl<1 0 0> dumbbell configuration, which is discussed in section \ref{subsection:100mig}.
324
325 \subsection[\hkl<1 0 0> dumbbell interstitial configuration]{\boldmath\hkl<1 0 0> dumbbell interstitial configuration}
326 \label{subsection:100db}
327
328 As the \hkl<1 0 0> dumbbell interstitial is the lowest configuration in energy it is the most probable hence important interstitial configuration of carbon in silicon.
329 It was first identified by infra-red (IR) spectroscopy \cite{bean70} and later on by electron paramagnetic resonance (EPR) spectroscopy \cite{watkins76}.
330
331 Figure \ref{fig:defects:100db_cmp} schematically shows the \hkl<1 0 0> dumbbell structure and table \ref{tab:defects:100db_cmp} lists the details of the atomic displacements, distances and bond angles obtained by analytical potential and quantum-mechanical calculations.
332 For comparison, the obtained structures for both methods visualized out of the atomic position data are presented in figure \ref{fig:defects:100db_vis_cmp}.
333 \begin{figure}[h]
334 \begin{center}
335 \includegraphics[width=12cm]{100-c-si-db_cmp.eps}
336 \end{center}
337 \caption[Sketch of the \hkl<1 0 0> dumbbell structure.]{Sketch of the \hkl<1 0 0> dumbbell structure. Atomic displacements, distances and bond angles are listed in table \ref{tab:defects:100db_cmp}.}
338 \label{fig:defects:100db_cmp}
339 \end{figure}
340 %
341 \begin{table}[h]
342 \begin{center}
343 Displacements\\
344 \begin{tabular}{l c c c c c c c c c}
345 \hline
346 \hline
347  & & & & \multicolumn{3}{c}{Atom 2} & \multicolumn{3}{c}{Atom 3} \\
348  & $a$ & $b$ & $|a|+|b|$ & $\Delta x$ & $\Delta y$ & $\Delta z$ & $\Delta x$ & $\Delta y$ & $\Delta z$ \\
349 \hline
350 Erhard/Albe & 0.084 & -0.091 & 0.175 & -0.015 & -0.015 & -0.031 & -0.014 & 0.014 & 0.020 \\
351 VASP & 0.109 & -0.065 & 0.174 & -0.011 & -0.011 & -0.024 & -0.014 & 0.014 & 0.025 \\
352 \hline
353 \hline
354 \end{tabular}\\[0.5cm]
355 \end{center}
356 \begin{center}
357 Distances\\
358 \begin{tabular}{l c c c c c c c c r}
359 \hline
360 \hline
361  & $r(1C)$ & $r(2C)$ & $r(3C)$ & $r(12)$ & $r(13)$ & $r(34)$ & $r(23)$ & $r(25)$ & $a_{\text{Si}}^{\text{equi}}$\\
362 \hline
363 Erhard/Albe & 0.175 & 0.329 & 0.186 & 0.226 & 0.300 & 0.343 & 0.423 & 0.425 & 0.543 \\
364 VASP & 0.174 & 0.341 & 0.182 & 0.229 & 0.286 & 0.347 & 0.422 & 0.417 & 0.548 \\
365 \hline
366 \hline
367 \end{tabular}\\[0.5cm]
368 \end{center}
369 \begin{center}
370 Angles\\
371 \begin{tabular}{l c c c c }
372 \hline
373 \hline
374  & $\theta_1$ & $\theta_2$ & $\theta_3$ & $\theta_4$ \\
375 \hline
376 Erhard/Albe & 140.2 & 109.9 & 134.4 & 112.8 \\
377 VASP & 130.7 & 114.4 & 146.0 & 107.0 \\
378 \hline
379 \hline
380 \end{tabular}\\[0.5cm]
381 \end{center}
382 \caption[Atomic displacements, distances and bond angles of the \hkl<1 0 0> dumbbell structure obtained by the Erhard/Albe potential and VASP calculations.]{Atomic displacements, distances and bond angles of the \hkl<1 0 0> dumbbell structure obtained by the Erhard/Albe potential and VASP calculations. The displacements and distances are given in nm and the angles are given in degrees. Displacements, distances and angles are schematically displayed in figure \ref{fig:defects:100db_cmp}. In addition, the equilibrium lattice constant for crystalline silicon is listed.}
383 \label{tab:defects:100db_cmp}
384 \end{table}
385 \begin{figure}[h]
386 \begin{center}
387 \begin{minipage}{6cm}
388 \begin{center}
389 \underline{Erhard/Albe}
390 \includegraphics[width=5cm]{c_pd_albe/100_cmp.eps}
391 \end{center}
392 \end{minipage}
393 \begin{minipage}{6cm}
394 \begin{center}
395 \underline{VASP}
396 \includegraphics[width=5cm]{c_pd_vasp/100_cmp.eps}
397 \end{center}
398 \end{minipage}
399 \end{center}
400 \caption{Comparison of the visualized \hkl<1 0 0> dumbbel structures obtained by Erhard/Albe potential and VASP calculations.}
401 \label{fig:defects:100db_vis_cmp}
402 \end{figure}
403 \begin{figure}[h]
404 \begin{center}
405 \includegraphics[height=10cm]{c_pd_vasp/eden.eps}
406 \includegraphics[height=12cm]{c_pd_vasp/100_2333_ksl.ps}
407 \end{center}
408 \caption[Charge density isosurface and Kohn-Sham levels of the C \hkl<1 0 0> dumbbell structure obtained by VASP calculations.]{Charge density isosurface and Kohn-Sham levels of the C \hkl<1 0 0> dumbbell structure obtained by VASP calculations. Yellow and grey spheres correspond to silicon and carbon atoms. The blue surface is the charge density isosurface. In the energy level diagram red and green lines and dots mark occupied and unoccupied states.}
409 \label{img:defects:charge_den_and_ksl}
410 \end{figure}
411 The silicon atom numbered '1' and the C atom compose the dumbbell structure.
412 They share the lattice site which is indicated by the dashed red circle and which they are displaced from by length $a$ and $b$ respectively.
413 The atoms no longer have four tetrahedral bonds to the silicon atoms located on the alternating opposite edges of the cube.
414 Instead, each of the dumbbell atoms forms threefold coordinated bonds, which are located in a plane.
415 One bond is formed to the other dumbbell atom.
416 The other two bonds are bonds to the two silicon edge atoms located in the opposite direction of the dumbbell atom.
417 The distance of the two dumbbell atoms is almost the same for both types of calculations.
418 However, in the case of the VASP calculation, the dumbbell structure is pushed upwards compared to the Erhard/Albe results.
419 This is easily identified by comparing the values for $a$ and $b$ and the two structures in figure \ref{fig:defects:100db_vis_cmp}.
420 Thus, the angles of bonds of the silicon dumbbell atom ($\theta_1$ and $\theta_2$) are closer to $120^{\circ}$ signifying the predominance of $sp^2$ hybridization.
421 On the other hand, the carbon atom forms an almost collinear bond ($\theta_3$) with the two silicon edge atoms implying the predominance of $sp$ bonding.
422 This is supported by the image of the charge density isosurface in figure \ref{img:defects:charge_den_and_ksl}.
423 The two lower Si atoms are $sp^3$ hybridised and form $\sigma$ bonds to the silicon dumbbell atom.
424 The same is true for the upper two silicon atoms and the C dumbbell atom.
425 In addition the dumbbell atoms form $\pi$ bonds.
426 However, due to the increased electronegativity of the carbon atom the electron density is attracted by and thus localized around the carbon atom.
427 In the same figure the Kohn-Sham levels are shown.
428 There is no magnetization density.
429 An acceptor level arises at approximately $E_v+0.35\text{ eV}$ while a band gap of about 0.75 eV can be estimated from the Kohn-Sham level diagram for plain silicon.
430
431 \subsection{Bond-centered interstitial configuration}
432 \label{subsection:bc}
433
434 \begin{figure}[h]
435 \begin{center}
436 \begin{minipage}{8cm}
437 \includegraphics[width=8cm]{c_pd_vasp/bc_2333.eps}\\
438 \hrule
439 \vspace*{0.2cm}
440 \includegraphics[width=8cm]{c_100_mig_vasp/im_spin_diff.eps}
441 \end{minipage}
442 \begin{minipage}{7cm}
443 \includegraphics[width=7cm]{c_pd_vasp/bc_2333_ksl.ps}
444 \end{minipage}
445 \end{center}
446 \caption[Structure, charge density isosurface and Kohn-Sham level diagram of the bond-centered interstitial configuration.]{Structure, charge density isosurface and Kohn-Sham level diagram of the bond-centered interstitial configuration. Gray, green and blue surfaces mark the charge density of spin up, spin down and the resulting spin up electrons in the charge density isosurface, in which the carbon atom is represented by a red sphere. In the energy level diagram red and green lines mark occupied and unoccupied states.}
447 \label{img:defects:bc_conf}
448 \end{figure}
449 In the bond-centerd insterstitial configuration the interstitial atom is located inbetween two next neighboured silicon atoms forming linear bonds.
450 In former studies this configuration is found to be an intermediate saddle point configuration determining the migration barrier of one possibe migration path of a \hkl<1 0 0> dumbbel configuration into an equivalent one \cite{capaz94}.
451 This is in agreement with results of the Erhard/Albe potential simulations which reveal this configuration to be unstable relaxing into the \hkl<1 1 0> configuration.
452 However, this fact could not be reproduced by spin polarized VASP calculations performed in this work.
453 Present results suggest this configuration to be a real local minimum.
454 In fact, an additional barrier has to be passed to reach this configuration starting from the \hkl<1 0 0> interstitital configuration, which is investigated in section \ref{subsection:100mig}.
455 After slightly displacing the carbon atom along the \hkl<1 0 0> (equivalent to a displacement along \hkl<0 1 0>), \hkl<0 0 1> and \hkl<1 -1 0> direction the resulting structures relax back into the bond-centered configuration.
456 As we will see in later migration simulations the same would happen to structures where the carbon atom is displaced along the migration direction, which approximately is the \hkl<1 1 0> direction.
457 These relaxations indicate that the bond-cenetered configuration is a real local minimum instead of an assumed saddle point configuration.
458 Figure \ref{img:defects:bc_conf} shows the structure, the charge density isosurface and the Kohn-Sham levels of the bond-centered configuration.
459 The linear bonds of the carbon atom to the two silicon atoms indicate the $sp$ hybridization of the carbon atom.
460 Two electrons participate to the linear $\sigma$ bonds with the silicon neighbours.
461 The other two electrons constitute the $2p^2$ orbitals resulting in a net magnetization.
462 This is supported by the charge density isosurface and the Kohn-Sham levels in figure \ref{img:defects:bc_conf}.
463 The blue torus, reinforcing the assumption of the p orbital, illustrates the resulting spin up electron density.
464 In addition, the energy level diagram shows a net amount of two spin up electrons.
465
466 \section[Migration of the carbon \hkl<1 0 0> interstitial]{\boldmath Migration of the carbon \hkl<1 0 0> interstitial}
467 \label{subsection:100mig}
468
469 In the following the problem of interstitial carbon migration in silicon is considered.
470 Since the carbon \hkl<1 0 0> dumbbell interstitial is the most probable hence most important configuration the migration simulations focus on this defect.
471
472 There are different methods of computing migration paths and energies.
473 Methods and shortcomings.
474
475 Three different migration paths are accounted in this work.
476 In the first path the carbon atom 
477
478 Results and comparison with diffusion experiments.
479
480 \section{Combination of point defects}
481