\documentclass{report}

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\author{Frank Zirkelbach}
\title{Das Ising Modell}

\begin{document}
\frontmatter
\maketitle
\tableofcontents

\mainmatter
\chapter{Einfuehrung}

\section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
\[
 Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Spur} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
\]
Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
\begin{eqnarray}
 \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \nonumber\\
 \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \nonumber\\
 \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H} \nonumber
\end{eqnarray}

\section{Phasenuebergaenge}
Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
\begin{itemize}
\item Dichte
\item Magnetisierung
\item elektrische Leitfaehigkeit
\end{itemize}
Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
\begin{itemize}
\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
\end{itemize}

\section{Idee des Ising Modells}
Modellannahmen: 
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
\[
 \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
\]
\item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
\end{itemize}
Dann lautet die Hamilton-Funktion:
\[
 H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \qquad \textrm{,mit}
\]
\[
(i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
\]
Man erkennt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
\begin{itemize}
\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
\end{itemize}
Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen. (Divergenz von $\chi$)

\chapter{Loesungen des Ising Modells}
\section{1-dimensionale Loesung}
there are solutions for 1d \ldots
\section{2-dimensionale Loesung}
in 2d \ldots
\section{3-dimensionale Loesung}
und in 3d auch?

\chapter{Simulation}
we can easily implement it in c

\chapter{Anwendungen}
getho, here is how it comes \ldots

\chapter{Zusammenfassung}
i dont care, though this is powered by \LaTeX

\appendix
\chapter{Quellen}
Baxter, Nolting, Kampf ;)

\end{document}
