\documentclass{report}

\usepackage{verbatim}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ae}

\usepackage{graphicx}
\graphicspath{{./img/}}

\author{Frank Zirkelbach}
\title{Das Ising Modell}

\begin{document}
\frontmatter
\maketitle
\tableofcontents

\mainmatter
\chapter{Einfuehrung}

\section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
\[
 Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
\]
Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
\[
\begin{array}{l}
 \textrm{Wahrscheinlichkeit fuer Zustand} \, i \quad P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta} \\
 \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \\
 \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \\
 \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H}
\end{array}
\]

\section{Phasenuebergaenge}
Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
\begin{itemize}
\item Dichte
\item Magnetisierung
\item elektrische Leitfaehigkeit
\end{itemize}
Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
\begin{itemize}
\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
\end{itemize}

\section{Idee des Ising Modells}
Modellannahmen: 
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
\[
 \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
\]
\item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
\end{itemize}
Dann lautet die Hamilton-Funktion:
\[
 H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
\]
\[
(i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
\]
Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
\begin{itemize}
\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
\end{itemize}
Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).

\chapter{Loesungen des Ising Modells}

\section{1-dimensionale Loesung}
\setlength{\unitlength}{0.5cm}
\begin{picture}(10,2)
 \thicklines
 \put(0,0.7){$\bullet$}
 \put(0,0){$1$}
 \put(0.1,0.9){\line(1,0){2}}
 \put(2,0.7){$\bullet$}
 \put(2,0){$2$}
 \put(2.1,0.9){\line(1,0){2}}
 \put(4,0.7){$\bullet$}
 \put(4,0){$3$}
 \put(4.1,0.8){\ldots \ldots}
 \put(6,0.7){$\bullet$}
 \put(6,0){$N$}
\end{picture} \\
\\
Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
\[
 H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
\]
Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
\\
Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
\[
 E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
\]
Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
\[
 M = <S_1>
\]
Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
\[
 Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
\]
Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
\\
Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
\[
\begin{array}{l}
 <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 \\
 \textrm{also:} \\
 <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
 <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
 <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
 \\
 wobei: \\
 \begin{array}{ll}
  |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
  |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
 \end{array}
\end{array}
\]
Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
\[
 \mathbf{T} =
 \left(
 \begin{array}{cc}
 e^{K+h} & e^{-K} \\
 e^{-K} & e^{K-h}
 \end{array}
 \right)
 \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
\]
Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
\[
 \begin{array}{ll}
 Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
   & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
   & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 \end{array}
\]
Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
\[
 \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
\]
Daraus folgt:
\[
 \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
\]
Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
\[
 \begin{array}{l}
  \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
  Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
  F = -k_B T \, \textrm{ln} \. Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 \end{array}
\]
Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
\[
 \begin{array}{ll}
  M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
    & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
    & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
    & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
  
 \end{array}
\]
Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
\\
\setlength{\unitlength}{2cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \put(0.2,1.4){$M$}
 \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
\end{picture}
\\
Erkenntnis:\\
\begin{itemize}
\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell
\end{itemize}

\section{2-dimensionale Loesung}
Waehrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu loesen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale hoechst nichttrivial. Es wird auf eine genau Loesung verzichtet. Eine Loesung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
\\
Hamiltonian und Zustandssumme:
\[
\begin{array}{l}
 H = -J \sum_{(i,j)} S_i S_j \\
 Z = \sum_{\{S_i\}} e^{-\beta H} \qquad \textrm{Summation erfasst alle $2^N$ Spinkonfigurationen}
\end{array}
\]
Weil die $S_i$ nur die Werte $+1$ oder $-1$ annehmen koennne folgt:
\[
 (S_i S_j)^{2n} = 1 \, \textrm{;} \qquad (S_i S_j)^{2n+1} = S_i S_j
\]
und damit koennen wir fuer die Exponentialfunktion schreiben:
\[
 e^{\beta J S_i S_j} = \cosh (\beta J) + (S_i S_j) \sinh (\beta J) = \cosh (\beta J) (1 + \upsilon (S_i S_j)) \, \textrm{,} \qquad \upsilon = \tanh (\beta J)
\]
Weil jeder Ising Spin $4$ naechste Nachbarn hat, gibt es $\frac{4 N}{2} = 2N$ verschiedene Nachbarpaare. Damit erhaelt man fuer die Zustandssumme:
\[
 Z = \sum_{\{S_i\}} \prod_{(i,j)} e^{\beta J S_i S_j}
\]
Durch hier nicht weiter ausgefuehrte grafische Ueberlegungen zu den Spinprodukten und einer laenglichen Rechnung [\ref{lit1}] folgt:
\[
 Z = 2^N \cosh^{2N} (\beta J) \Big( \prod_{q_1,q_2} \big( (1 + \upsilon^2)^2 - 2 \upsilon (1 - \upsilon^2) (\cos q_1 + \cos q_2) \big) \Big)^{\frac{1}{2}}
\]
Schaut man sich nun die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ an, so erhaelt man einen Ausdruck eines Logarithmus unter einem nicht weiter analytisch behandelbaren Doppelintegrals. Der Phasenuebergang findet findet statt, wenn das Argument des Logarithmus verschwindet. Man findet folgende Bedingung:
\[
 1 \stackrel{!}{=} \sinh \frac{2 J}{k_B T_C} \, \qquad \textrm{$T_C$ ist kritische Temperatur}
\]
Fuer die spontane Magnetisierung gilt:
\[
 M = \left\{
 \begin{array}{ll}
  (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
  0 & : T > T_C
 \end{array} \right.
\]
Fazit:
\begin{itemize}
\item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
\item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
\end{itemize}


\section{3-dimensionale Loesung}
Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch geloest werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten Loesung keine weiteren Informationen mehr.\\
\\
Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenuebergaenge.

\chapter{Simulation}
... noch in arbeit\\
\\
xising zeigen, besser: dfb-ising coden!
\\
grob: (pseudocode) [\ref{lit4}]\\
\begin{itemize}
\item gehe alle gitterplaetze durch
\item berechne $\delta E$ fuer Spinflip (naechste nachbarn anschauen)
\item wenn kleiner 0 flip, ansonsten nur wenn zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
\item Spins aufsummieren, entsprcht magnetisierung (nach genuegend vielen itterationen ($N^3$)
\end{itemize}

\chapter{Anwendungen}
\begin{itemize}
\item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 \[
  \begin{array}{ll}
   |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
   |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
   k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
   m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
  \end{array}
 \]
\item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 \[
  \begin{array}{ll}
   H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
   \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
   S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
  \end{array}
 \]
\item weitere Anwendungen
 \begin{itemize}
 \item Quantum Game Theory
 \item duopoly markets
 \end{itemize}
\end{itemize}

\appendix
\chapter{Quellen}
\begin{enumerate}
\item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
\item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
\item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
\item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
\item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
\end{enumerate}

\end{document}
