\documentclass{report}

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\author{Frank Zirkelbach}
\title{Das Ising Modell}

\begin{document}
\frontmatter
\maketitle
\tableofcontents

\mainmatter
\chapter{Einführung}

\section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
\[
 Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
\]
Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
\begin{itemize}
\item Wahrscheinlichkeit fuer Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
\item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$ 
\item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
\item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
\item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
\end{itemize}

\section{Phasen"uberg"ange}
Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "aussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
\begin{itemize}
\item Dichte
\item Magnetisierung
\item elektrische Leitf"ahigkeit
\end{itemize}
Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Ubrg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Ubergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
\begin{itemize}
\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
\end{itemize}

\section{Kritische Exponenten}
In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
\begin{itemize}
\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^\gamma$
\end{itemize}
Anmerkung:\\
Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung und Spindimensionalit"at ab, und nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.

\section{Idee des Ising Modells}
Modellannahmen: 
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
\[
 \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
\]
\item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
\end{itemize}
Dann lautet die Hamilton-Funktion:
\[
 H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
\]
\[
(i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
\]
Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
\begin{itemize}
\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
\end{itemize}
Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
\\
\\
Molekularfeldn"aherung:\\
Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>)$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
\[
 S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
\]
wobei $m=\frac{1}{N}(sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
\[
 H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
\]
und Zustandssumme:
\[
\begin{array}{ll}
 Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
    & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
    & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
\end{array}
\]
Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
\[
\begin{array}{l}
 g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
 m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
\end{array}
\]
Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
\[
 \tanh (\beta Jm) = m
\]
die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die Anfangssteigung der linken Seite der Gleichung gr"o"ser $1$ ist. F"ur die kritische Temperatur gilt somit $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$.
\\
\setlength{\unitlength}{2cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 \put(0,0){\line(1,1){1}}
 \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
 \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 \put(2.7,-0.1){$m$}
 \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \put(0.2,1.4){$f(m)$}
 \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
 \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
\end{picture}
\\
Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).

\chapter{Loesungen des Ising Modells}

\section{1-dimensionale L"osung}
\setlength{\unitlength}{1.5cm}
\begin{picture}(10,1)
 \thicklines
 \put(0,0.45){$\bullet$}
 \put(0,0){$1$}
 \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
 \put(2,0.45){$\bullet$}
 \put(2,0){$2$}
 \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
 \put(4,0.45){$\bullet$}
 \put(4,0){$3$}
 \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
 \put(6,0.45){$\bullet$}
 \put(6,0){$N$}
\end{picture} \\
\\
Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
\[
 H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
\]
Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
\\
Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
\[
 E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
\]
Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
\[
 M = <S_1>
\]
Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
\[
 Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
\]
Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
\\
Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
\[
\begin{array}{l}
 <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 \\
 \textrm{also:} \\
 <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
 <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
 <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
 \\
 wobei: \\
 \begin{array}{ll}
  |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
  |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
 \end{array}
\end{array}
\]
Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
\[
 \mathbf{T} =
 \left(
 \begin{array}{cc}
 e^{K+h} & e^{-K} \\
 e^{-K} & e^{K-h}
 \end{array}
 \right)
 \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
\]
Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
\[
 \begin{array}{ll}
 Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
   & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
   & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 \end{array}
\]
Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
\[
 \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
\]
Daraus folgt:
\[
 \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
\]
Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
\[
 \begin{array}{l}
  \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
  Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
  F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 \end{array}
\]
Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
\[
 \begin{array}{ll}
  M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
    & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
    & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
    & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
  
 \end{array}
\]
Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
\\
\setlength{\unitlength}{2cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \put(0.2,1.4){$M$}
 \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
\end{picture}
\\
Erkenntnis:\\
\begin{itemize}
\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
\end{itemize}
F"ur $T=0$ kann obere Approximation nichtmehr verwendet werden, da gilt:
\[ 
 \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
\]
Mann kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergagng liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
\[
 \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
\]

\section{2-dimensionale L"osung}
W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
\\
Hamiltonian:
\[
 H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
\]
Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
\[
 H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
\]
wobei
\[
\begin{array}{ll}
 E(\mu_j,\mu_k) & \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\
 E(\mu_j)       & \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\
 \mu_j          & \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
\end{array}
\]
Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
\[
 <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
\]
Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
\[
 Z = \textrm{Sp} \, mathbf{T}^N
\]
Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden Werden nur die Endresultate betrachtet.\\
\\
F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
\[
 f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
\]
mit $K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
\[
 m = \left\{
 \begin{array}{ll}
  (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
  0 & : T > T_C
 \end{array} \right.
\]
F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
\[
 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
\]
In der N"ahe von $T=T_C$ erkennt man eine logarithmische Divergenz der spezifischen W"arme.
\[
C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big) + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
\]
Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
\\
Fazit:
\begin{itemize}
\item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
\item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
\end{itemize}

\section{3-dimensionale L"osung}
Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
\\
Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.

\chapter{Monte Carlo Simulation}
Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
\\
Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
\[
\begin{array}{l}
 <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\
 p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\
 E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
\end{array}
\]
Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht.
\[
 <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
\]
$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in einer Computersimulation. Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung biette der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
\\
Pseudocode:
\begin{itemize}
\item Gehe alle Gitterplaetze durch
\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
\item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Itterationen ($N^3$))
\end{itemize}

\chapter{Anwendungen}
\begin{itemize}
\item Spingl"aser
\item Optimierung und Ged"achtnis
\item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 \[
  \begin{array}{ll}
   |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
   |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
   k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
   m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
  \end{array}
 \]
\item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 \[
  \begin{array}{ll}
   H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
   \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
   S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
  \end{array}
 \]
\item weitere Anwendungen
 \begin{itemize}
 \item Quantum Game Theory
 \item duopoly markets
 \end{itemize}
\end{itemize}

\appendix
\chapter{Quellen}
\begin{enumerate}
\item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
\item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
\item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
\item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
\item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
\item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
\end{enumerate}

\end{document}
