\documentclass{seminar}

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\author{Frank Zirkelbach}
\title{Das Ising Modell}

\begin{document}

\begin{slide}
\maketitle
\end{slide}

\begin{slide}
\tableofcontents
\end{slide}

\begin{slide}
\section{Einf"uhrung}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
Zustandssumme: Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande
\[
 Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
\]
Ableitung wichtiger Gr"o"sen:
\begin{itemize}
\item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
\item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$ 
\item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
\item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
\item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{Phasen"uberg"ange}
Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen.\\
Beispiele:
\begin{itemize}
\item Dichte ($H_2O$)
\item Magnetisierung (Nickel)
\item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen
\begin{itemize}
\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
% \\
% \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{Kritische Exponenten}
Physikalische Gr"oe"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
\begin{itemize}
\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
\end{itemize}
Anmerkung:\\
Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Abhaengig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{Idee des Ising Modells}
Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
\\
Modellannahmen: 
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
\[
 \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
\]
\item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
\end{itemize}
Hamilton-Funktion:
\[
 H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
\]
\[
(i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
\begin{itemize}
\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
\end{itemize}
Ergebnis: spontane Magnetisierung unterhalb kritischer Temperatur ohne externes $B$-Feld
\end{slide}

\begin{slide}
Molekularfeldn"aherung:\\
Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
Spin-Wechselwirkungs-Term:
\[
 S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
\]
wobei:
\begin{itemize}
\item $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$, mittlere Magnetisierung pro Spin 
\item $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ in MFN vernachl"assigt
\item Definition: $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, mit $z$  Anzahl der n"achsten Nachbarn
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
Hamiltonian:
\[
 H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
\]
Zustandssumme:
\[
\begin{array}{ll}
 Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
    & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
    & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
\end{array}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
freie Energie und Magnetisierung pro Spin:
\[
\begin{array}{l}
 g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
 m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
\end{array}
\]
implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung mit $B_0=0$:
\[
 \tanh (\beta Jm) = m
\]
\end{slide}

\begin{slide}
\begin{itemize}
\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$
\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$
\end{itemize}

% \setlength{\unitlength}{2cm}
% \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
%  \put(0,0){\line(1,1){1}}
%  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
%  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
%  \put(2.7,-0.1){$m$}
%  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
%  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
%  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
%  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
%  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
%  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
% \end{picture}
% \\

\includegraphics[width=08cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}

\begin{itemize}
\item Phasen"ubergang unabh"angig von Gitterdimension
\item Widerspruch zu exakter $d=1$ L"osung
\item Typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie)
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\section{Loesungen des Ising Modells}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{L"osung f"ur $d=1$}
\setlength{\unitlength}{1.5cm}
\begin{picture}(10,1)
 \thicklines
 \put(0,0.45){$\bullet$}
 \put(0,0){$1$}
 \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
 \put(2,0.45){$\bullet$}
 \put(2,0){$2$}
 \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
 \put(4,0.45){$\bullet$}
 \put(4,0){$3$}
 \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
 \put(6,0.45){$\bullet$}
 \put(6,0){$N$}
\end{picture} \\
\\
Hamilton-Funktion:
\[
 H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
\]
Annahmen:
\begin{itemize}
 \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
 \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
\end{itemize}
Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
\end{slide}

\begin{slide}
Energie des Systems:
\[
 E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
\]
% Magnetisierung:
% \[
%  M = <S_1>
% \]
Zustandssumme:
\[
 Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Bestimmung der Zustandssumme mit Transfer-Matrix-Methode: \\
\\
Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
\[
\begin{array}{l}
 <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 \\
 \textrm{also:} \\
 \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
 \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
 \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
 \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,}
 \quad |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{array}
\]
Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
\[
 \mathbf{T} =
 \left(
 \begin{array}{cc}
 e^{K+h} & e^{-K} \\
 e^{-K} & e^{K-h}
 \end{array}
 \right)
 \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Zustandssumme:
\[
 \begin{array}{ll}
 \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
 \displaystyle  & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
 \displaystyle  & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 \end{array}
\]
\begin{itemize}
\item Trick: Vollstaendigkeit der Spinzustaende
\item $\mathbf{T}$ diagonalisierbar, Spur Darstellungsunabhaengig
\item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
\end{itemize}
\[
 \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
\]
\[
 \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
\[
 \begin{array}{l}
  \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
  \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
  \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 \end{array}
\]
weil $\lambda_+^N$ viel groesser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
Magnetisierung:
\[
 \begin{array}{ll}
  \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
  \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
  \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
  \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
 \end{array}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Abbidlung: 
\begin{itemize}
\item Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld
\item Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
\item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
\end{itemize}
\setlength{\unitlength}{2cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \put(0.2,1.4){$M$}
 \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
\end{picture}
\end{slide}

\begin{slide}
Erkenntnis:\\
\begin{itemize}
\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
\end{itemize}
F"ur $T=0$:
\[ 
 \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)}
\]
Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
Kritische Exponenten:
\[
 \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
\]
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{L"osung f"ur $d=2$}
\begin{itemize}
\item TFM analog $d=1$ L"osung
\item $B=0$ \, \textrm{L"osung nur ohne vorhandenes Magnetfeld}
\end{itemize}
Hamiltonian:
\[
 H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
\]
Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins. Abk"urzung:
\[
 H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
\]
wobei
\[
\begin{array}{ll}
 \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
 \displaystyle E(\mu_j)       & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
 \displaystyle \mu_j          & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
\end{array}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
\[
 <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
\]
$2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
\[
 Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
\]
[\ref{lit7}] Kerson Huang, Statistical mechanics
\end{slide}

\begin{slide}
freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$: 
\[
 f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
\]
mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
Magnetisierung:
\[
 m = \left\{
 \begin{array}{ll}
  (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
  0 & : T > T_C
 \end{array} \right.
\]
kritische Temperatur:
\[ 
 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
\]
spezifische W"arme: (logarithmische Divergenz)
\[
C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big)
+ \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
\]
kritische Exponenten:\\
$\beta = \frac{1}{8}$ \\
$\alpha = 0$
\end{slide}

\begin{slide}
Fazit:
\begin{itemize}
\item Phasenuebergang zweiter Ordnung
\item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
\\
Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
\end{slide}

\begin{slide}
\section{Monte Carlo Simulation}
\end{slide}

\begin{slide}
Simulationen das Ising Modell durch Monte Carlo Simulation\\
\\
Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
\[
\begin{array}{l}
 \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
 \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
 \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
\end{array}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
\[
 <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
\]
$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Iterationen in der Computersimulation.
\begin{itemize}
 \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
 \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
Damit gilt:
\[
 P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
\]
und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
\[
 W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
\]
und somit gilt:
\[
 \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus\\
[\ref{lit4}] http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
\[
 W(A \rightarrow B) = \left\{
 \begin{array}{ll}
  e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
  1 & : \delta E < 0
 \end{array} \right.
\]
Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
\begin{itemize}
\item Gehe alle Gitterplaetze durch
\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
\item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Iterationen ($N^3$))
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\section{Anwendungen}
\end{slide}

\begin{slide}
Spingl"aser ([\ref{lit8}] W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis)
 \begin{itemize}
 \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
 \item Beobachtungen:
  \begin{itemize}
  \item keine spontane Magnetisierung
  \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
  \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
  \end{itemize}
 \item Modell:
  \begin{itemize}
  \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
  \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
  \end{itemize}
 \end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
 \begin{itemize}
  \item Traveling Salesman Problem:
   \begin{itemize}
   \item \dq Aufheizen \dq des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
   \item \dq Abk"uhlen \dq des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
   \end{itemize}
  \item Ged"achtnis:
  \begin{itemize}
  \item Modell:
   \[
    \begin{array}{ll}
     S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
     S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
     S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
     J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
     \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
    \end{array}
   \]
  \item einige Eigenschaften
   \begin{itemize}
   \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
   \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
   \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
   \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
   \end{itemize}
  \end{itemize}
 \end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\begin{itemize}
\item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 \[
  \begin{array}{ll}
   |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
   |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
   k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
   m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
  \end{array}
 \]
\item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 \[
  \begin{array}{ll}
   H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
   \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
   S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
  \end{array}
 \]
\item weitere Anwendungen
 \begin{itemize}
 \item Quantum Game Theory
 \item duopoly markets
 \end{itemize}
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\section{Quellen}
\end{slide}

\begin{slide}
\begin{enumerate}
\item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
\item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
\item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
\item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
\item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
\item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
\item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
\end{enumerate}
\end{slide}

\end{document}
