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\author{Frank Zirkelbach}
\title{Das Ising Modell}

\begin{document}

\extraslideheight{10in}

\begin{slide}
\maketitle
\end{slide}

\begin{slide}
\tableofcontents
\end{slide}

\begin{slide}
\section{Einf"uhrung}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
Zustandssumme: Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande
\[
 Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
\]
Ableitung wichtiger Gr"o"sen:
\begin{itemize}
\item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
\item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$ 
\item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
\item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
\item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{Phasen"uberg"ange}
Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen.\\
Beispiele:
\begin{itemize}
\item Dichte ($H_2O$)
\item Magnetisierung (Nickel)
\item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen
\begin{itemize}
\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
% \\
% \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{Kritische Exponenten}
Physikalische Gr"o"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
\begin{itemize}
\item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
\item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
\item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
\end{itemize}
Anmerkung:\\
$\rightarrow$ Abh"angig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{Idee des Ising Modells}
Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
Modellannahmen: 
\begin{itemize}
\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellm"oglichkeiten an jedem Gitterpunkt
\[
 \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
\]
\item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
\end{itemize}
Hamilton-Funktion:
\[
 H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
\]
\[
(i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
\begin{itemize}
\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
\end{itemize}
Ergebnis: spontane Magnetisierung unterhalb kritischer Temperatur ohne externes $B$-Feld
\end{slide}

\begin{slide}
Molekularfeldn"aherung:\\
Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
Spin-Wechselwirkungs-Term:
\[
 S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
\]
wobei:
\begin{itemize}
\item $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$, mittlere Magnetisierung pro Spin 
\item $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ in MFN vernachl"assigt
\item Definition: $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, mit $z$  Anzahl der n"achsten Nachbarn
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
Hamiltonian:
\[
 H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
\]
Zustandssumme:
\[
\begin{array}{ll}
 Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
    & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
    & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
\end{array}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
freie Energie und Magnetisierung pro Spin:
\[
\begin{array}{l}
 g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
 m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
\end{array}
\]
implizite Bestimmungsgleichung f"ur $B_0=0$:
\[
 \tanh (\beta Jm) = m
\]
\end{slide}

\begin{slide}
\begin{itemize}
\item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$
\item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ f"ur $m=0$
\end{itemize}
% \setlength{\unitlength}{2cm}
% \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
%  \put(0,0){\line(1,1){1}}
%  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
%  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
%  \put(2.7,-0.1){$m$}
%  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
%  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
%  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
%  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
%  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
%  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
% \end{picture}
% \\
\includegraphics[width=08cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
\end{slide}

\begin{slide}
\begin{itemize}
\item Phasen"ubergang unabh"angig von Gitterdimension
\item Widerspruch zu exakter $d=1$ L"osung
\item Typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie)
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\section{L"osungen des Ising Modells}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{L"osung f"ur $d=1$}
\setlength{\unitlength}{1.5cm}
\begin{picture}(10,1)
 \thicklines
 \put(0,0.45){$\bullet$}
 \put(0,0){$1$}
 \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
 \put(2,0.45){$\bullet$}
 \put(2,0){$2$}
 \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
 \put(4,0.45){$\bullet$}
 \put(4,0){$3$}
 \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
 \put(6,0.45){$\bullet$}
 \put(6,0){$N$}
\end{picture} \\
\\
Hamilton-Funktion:
\[
 H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
\]
Annahmen:
\begin{itemize}
 \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
 \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
\end{itemize}
Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
\end{slide}

\begin{slide}
Energie des Systems:
\[
 E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
\]
% Magnetisierung:
% \[
%  M = <S_1>
% \]
Zustandssumme:
\[
 Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Bestimmung der Zustandssumme mit Transfer-Matrix-Methode: \\
\\
Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
\[
\begin{array}{l}
 <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 \\
 \textrm{also:} \\
 \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
 \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
 \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
 \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,}
 \quad |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{array}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
\[
 \mathbf{T} =
 \left(
 \begin{array}{cc}
 e^{K+h} & e^{-K} \\
 e^{-K} & e^{K-h}
 \end{array}
 \right)
 \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Zustandssumme:
\[
 \begin{array}{ll}
 \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
 \displaystyle  & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
 \displaystyle  & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 \end{array}
\]
\begin{itemize}
\item Trick: Vollst"andigkeit der Spinzust"ande
\item $\textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N$ ist Darstellungsunabh"angig
\item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
\end{itemize}
\[
 \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
\]
\[
 \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
\]
\end{slide}

\begin{slide}
F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
\[
 \begin{array}{l}
  \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
  \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
  \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 \end{array}
\]
weil $\lambda_+^N$ viel gr"o"ser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
Magnetisierung:
\[
 \begin{array}{ll}
  \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
  \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
  \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
  \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
 \end{array}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Abbidlung: 
\begin{itemize}
\item Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld
\item Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
\item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
\end{itemize}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 \put(0.2,1.4){$M$}
 \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
\end{picture}
\end{slide}

\begin{slide}
Erkenntnis:
\begin{itemize}
\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
\end{itemize}
F"ur $T=0$:
\[ 
 \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)}
\]
Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
Kritische Exponenten:
\[
 \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
\]
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{L"osung f"ur $d=2$}
\begin{itemize}
\item TFM analog $d=1$ L"osung
\item nur L"osung f"ur $B=0$
\end{itemize}
Hamiltonian:
\[
 H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
\]
Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins.
\end{slide}

\begin{slide}
Abk"urzung:
\[
 H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
\]
wobei
\[
\begin{array}{ll}
 \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
 \displaystyle E(\mu_j)       & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
 \displaystyle \mu_j          & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
\end{array}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
\[
 <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
\]
$2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung.\\
$[7]$ Kerson Huang, Statistical mechanics\\
\\
Analog zum $d=1$ Fall gilt:
\[
 Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
\]
\end{slide}

\begin{slide}
freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$: 
\[
 f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
\]
mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
\\
Magnetisierung:
\[
 m = \left\{
 \begin{array}{ll}
  (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
  0 & : T > T_C
 \end{array} \right.
\]
\end{slide}

\begin{slide}
kritische Temperatur:
\[ 
 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
\]
spezifische W"arme: (logarithmische Divergenz)
\[
C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big)
+ \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
\]
kritische Exponenten:\\
$\beta = \frac{1}{8}$ \\
$\alpha = 0$
\end{slide}

\begin{slide}
Fazit:
\begin{itemize}
\item Phasen"ubergang zweiter Ordnung
\item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
\begin{itemize}
\item keine exakte analytische L"osung
\item "uberzeugende Resultate durch Approximation und Monte Carlo Simulation
\item keine wieteren Informationen aus exakter L"osung erwartet
\item $d=3$ Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\section{Monte Carlo Simulation}
\end{slide}

\begin{slide}
Simulationen das Ising Modells durch Monte Carlo Simulation.\\
\\
Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
\[
\begin{array}{l}
 \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
 \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
 \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
\end{array}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
important sampling: Aufsummieren einiger zuf"alliger Zust"ande (Boltzmann verteilt).
\[
 <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
\]
$N \equiv \textrm{Anzahl der Iterationen in der Computersimulation}$
\begin{itemize}
 \item $P(A,t)$, Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
 \item $W(A \rightarrow B)$, Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
Damit gilt:
\[
 P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
\]
Vergessen der Anfangskonfiguration f"ur gro"se $t$, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
Bedingung f"ur zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung:
\[
 W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
\]
somit gilt:
\[
 \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
\]
\end{slide}

\begin{slide}
Realisierung einer Boltzmannverteilung: Metropolis Algorithmus\\
$[4]$ http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
\[
 W(A \rightarrow B) = \left\{
 \begin{array}{ll}
  e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
  1 & : \delta E < 0
 \end{array} \right.
\]
Pseudocode:
\begin{itemize}
\item Gehe alle Gitterpl"atze durch
\item Berechne $\delta E$ f"ur Spinflip (N"achste Nachbarn anschauen)
\item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach gen"ugend vielen Iterationen ($N^3$))
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\section{Anwendungen}
\end{slide}

\begin{slide}
Spingl"aser ([\ref{lit8}] W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis)
 \begin{itemize}
 \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
 \item Beobachtungen:
  \begin{itemize}
  \item keine spontane Magnetisierung
  \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
  \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, sehr langsame Relaxation
  \end{itemize}
 \item Modell:
  \begin{itemize}
  \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
  \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zuf"allige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
  \end{itemize}
 \end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis
 \begin{itemize}
  \item Traveling Salesman Problem:
   \begin{itemize}
   \item \dq Aufheizen\dq{} des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
   \item \dq Abk"uhlen\dq{} des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
   \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
 \begin{itemize}
  \item Ged"achtnis:
  \begin{itemize}
  \item Modell:
   \[
    \begin{array}{ll}
     S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
     S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
     S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
     J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
     \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
    \end{array}
   \]
  \item einige Eigenschaften
   \begin{itemize}
   \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
   \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
   \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
   \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis) 
   \end{itemize}
  \end{itemize}
 \end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\begin{itemize}
\item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 \[
  \begin{array}{ll}
   |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
   |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
   k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
   m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
  \end{array}
 \]
\item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 \[
  \begin{array}{ll}
   H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
   \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
   S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
  \end{array}
 \]
\item weitere Anwendungen
 \begin{itemize}
 \item Quantum Game Theory
 \item duopoly markets
 \end{itemize}
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
\section{Quellen}
\end{slide}

\begin{slide}
\begin{enumerate}
\item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
\item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
\item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
\item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
\item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
\item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
\item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
\item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
\end{enumerate}
\end{slide}

\end{document}
