\chapter{Grundlagen}

  \section{Monte-Carlo-Simulation}

  Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithemn basieren.
  Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
  Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
  Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.

    \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}

    Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3,$ \ldots aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
    Dabei gilt folgende Vorschrift:
    \begin{equation} \label{eq:kon_m}
    I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
    \end{equation}
    \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
    Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
    Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
    Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
    Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
    \begin{equation} \label{eq:kon_v}
    a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
    \end{equation}
    einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht.
    Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.

    \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}

    Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
    Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
    \begin{equation}
    p(x)dx = \left\{
      \begin{array}{ll}
      dx & 0 \leq x < 1 \\
      0  & \textrm{sonst}
      \end{array} \right.
    \end{equation}
    gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
    \begin{equation}
    \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
    \end{equation}
    Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
    Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.

      \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}

      Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
      \begin{equation}
      z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
      \end{equation}

      \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}

      Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
      \begin{equation}
      p(z) = \left\{
        \begin{array}{ll}
	az + b & 0 \leq z < Z \\
	0 & \textrm{sonst}
	\end{array} \right.
      \end{equation}
      realisiert man durch folgende Transformation:
      \begin{eqnarray}
        p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
        \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
        x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
      \end{eqnarray}
      Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
      \begin{equation}
      z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
      Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
      \begin{equation}
      z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
      \end{equation}
      berechnet werden.

      \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}

      Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
      Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
      Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
      Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
      Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
      \begin{enumerate}
        \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
	\item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
      \end{enumerate}
      \begin{figure}
        \begin{center}
        \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps}
	\caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$}
	\label{img:rej_meth}
        \end{center}
      \end{figure}
      Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
      Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen. 
      Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
      Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
      Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.

  \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}

  Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
  Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein.
  Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
  Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.

    \subsection{Abbremsung von Ionen}

    Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
    Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
    Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
    Die Abbremsung der Ionen durch St"o"se mit den Atomkernen bezeichnet man als nukleare Bremskraft, die mit den Elektronen als elektronische Bremskraft.

      \subsubsection{Bremsquerschnitt}

      Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt.
      \begin{equation}
      S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
      \end{equation}
      Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt, wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
      $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
      Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
      \begin{equation}
      - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
      Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
      \begin{equation}
      R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.

      \subsubsection{Nukleare Bremskraft}

      Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
      Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
      Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
      Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelatische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
      Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.

      Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden. 
      Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
      Aus der Energieerhaltung folgt:
      \begin{equation}
      \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
      \end{equation}
      Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
      Aus der Impulserhaltung folgt,
      \begin{eqnarray}
      \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
      \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
      \end{eqnarray}
      wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist. 
      \begin{figure}
        \begin{center}
        \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps}
	\caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem}
	\label{img:scatter_lc}
        \end{center}
      \end{figure}

      Mit Hilfe der Transformation ins Schwerpunktsystem kann gezeigt werden, dass die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden kann, wenn nur Kr"afte zwischen den beiden Teilchen wirken.
      \begin{figure}
        \begin{center}
        \includegraphics[width=10cm]{scatter_cm2.eps}
	\caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem}
	\label{img:scatter_cm}
        \end{center}
      \end{figure}
      Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
      \begin{equation}
      M_1 v_0 = ( M_1 + M_2 ) v_c \quad \textrm{,}
      \label{eq:imp_cons_cm}
      \end{equation}
      wobei $v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist, so dass der Gesamtimpuls des Systems Null ist.
      Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
      \begin{equation}
      \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
      \end{equation}
      also
      \begin{equation}
      M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
      \label{eq:m_red}
      \end{equation}
      erh"alt man f"ur die Schwerpunktsbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
      \begin{equation}
      v_c = \frac{v_0 M_c}{M_2} \quad \textrm{.}
      \label{eq:v_sp}
      \end{equation}
      Weiterhin erkennt man, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen und unabh"angig vom Streuwinkel sind:
      \begin{equation}
      \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
      \label{eq:inv_prop}
      \end{equation}
      Durch eine einfache geometrische "Uberlegung und der Bedingung, dass der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist, erh"alt man folgenden Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunkt- und Laborsystem (Abbildung \ref{img:angle_conv}):
      \begin{equation}
      \Phi = 2 \phi \quad \textrm{.}
      \label{eq:angle_conv}
      \end{equation}
      \begin{figure}
        \begin{center}
        \includegraphics[width=10cm]{angle_conv.eps}
	\caption{Zusammenhang der Ablenkwinkel des Targetatoms im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot)}
	\label{img:angle_conv}
        \end{center}
      \end{figure}
      F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
      \begin{equation}
      T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      Mit $v_2 = 2 v_c cos(\phi)$ und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
      \begin{equation}
      T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
      \label{eq:delta_e}
      \end{equation}
      Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$. 
      Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist und mit \eqref{eq:angle_conv} und einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
      \begin{equation}
      T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
      \label{eq:final_delta_e}
      \end{equation}
      Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
      \begin{equation}
      T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
      \label{eq:delta_e_max}
      \end{equation}
     
      Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
      Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
      Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
      Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
      Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
      \begin{equation}
      \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
      \end{equation}
      Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung
      \begin{equation}
      \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
      \label{eq:ang_mom_exp}
      \end{equation}
      F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
      \begin{equation}
      l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
      \label{eq:ang_mom_val}
      \end{equation}
      L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
      \begin{equation}
      E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
      \end{equation}
      nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
      \begin{equation}
      \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
      \end{equation}
      und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
      \begin{equation}
      dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
      \end{equation}
      kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens darstellen.
      \begin{equation}
      \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
      \end{equation}
      Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
      \begin{equation}
      \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
      \label{eq:theta_of_p}
      \end{equation}
      Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
      Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden.

      F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
      \[
      V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
      \]
      Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
     Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbessertebn Methoden, unter anderem dem Anfitten von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.

      \subsubsection{Elektronische Bremskraft}

      Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
      Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation des Targets.


    \subsection{Implantationsprofil}

    \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}

    \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
