\chapter{Modell}
\label{chapter:modell}

  %\section{Formulierung des Modells}

  Im Folgenden soll auf das Modell zur Bildung dieser geordneten amorphen Ausscheidungen eingegangen werden.
  Es wurde erstmals in \cite{vorstellung_modell} vorgestellt.
  Die Idee des Modells ist schematisch in Abbildung \ref{img:modell} gezeigt.
  \begin{figure}[h]
  \includegraphics[width=12cm]{model1_s_german.eps}
  \caption{Schematische Abbildung des Modells zur Erkl"arung der Selbstorganisation amorpher $SiC_x$-Ausscheidungen und ihre Entwicklung zu gerodneten Lamellen auf Grund vorhandener Druckspannungen mit zunehmender Dosis in $C^+$-implantierten Silizium}
  \label{img:modell}
  \end{figure}

  Die Implantation unter den oben genannten Bedingungen f"uhrt bei sehr hohen Dosen zur Bildung einer amorphen Phase.
  Auf Grund der niedrigen nuklearen Bremskraft der leichten Kohlenstoff Ionen im Silizium ist bei den gegebenen Temperaturen keine Amorphisierung zu erwarten \cite{lindner_appl_phys}.
  Tats"achlich wurde in \cite{linnross} gezeigt, dass reines amorphes Silizium bei Temperaturen "uber $130 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ ionenstrahl-induziert epitaktisch rekristallisiert.
  Die Amorphisierung bei den gegebenen Temperaturen muss also dem Vorhandensein von Kohlenstoff zugeschrieben werden, der die amorphe Phase stabilisiert \cite{kennedy}.
  Die Tatsache, dass die $SiC_x$ -Ausscheidungen in amorpher Form vorliegen, l"asst sich durch den Unterschied in der Gitterkonstante von kristallinen Silizium ($a=5,43 \textrm{\AA}$) und kubischen $3C-SiC$ ($a=4,36 \textrm{\AA}$) erkl"aren.
  Auf Grund des Unterschiedes von fast $20\%$ in der Gitterkonstante, hat die Nukleation von kubischen Siliziumkarbid in kristallinen Silizium eine hohe Grenzfl"achenenergie zur Folge, die in \cite{taylor} zu $2-8 \times 10^{-4} J cm^{-2}$ abgesch"atzt wird.
  Es ist also energetisch g"unstiger, wenn eine der beiden Substanzen in amorpher Form vorliegt.
  Energie-gefilterte Transmissionselektronenmikroskopie \cite{eftem_tbp} hat gezeigt, dass die amorphe Phase in der Tat kohlenstoffreicher als deren kristalline Umgebung ist.
  Weiterhin best"atigten Temperexperimente \cite{maik_temper}, dass die amorphen Gebiete selbst weit "uber der Rekristallisationstemperatur stabil sind.
  Bei l"angeren Tempervorg"angen bei  $900 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ entstehen geordnete Ketten von abwechselnd amorphen und kristallinen $3C-SiC$ Ausscheidungen, was nochmal die kohlenstoffreiche Natur der amorphen Phase zeigt.
  Mit zunehmender Dosis wird also eine S"attigungsgrenze von Kohlenstoff in kristallinen Silizium "uberschritten, was zur Nukleation sph"arischer amorpher $SiC_x$-Ausscheidungen f"uhrt.
  Dieser, zur Amorphisierung beitragende Mechanismus, wird im Folgenden als kohlenstoffinduzierte Amorphisierung bezeichnet.

  Amorphes $SiC$ ($a-SiC$) hat eine $20$ bis $30\%$ geringere Dichte im Vergleich zu kubischen Siliziumkarbid ($3C-SiC$) \cite{horton,skorupa}.
  Dasselbe wird f"ur die Dichte von nicht st"ochiometrischen $SiC_x$ zu kristallinen Silizium ($c-Si$) angenommen.
  Die amorphen Gebiete sind demnach bestrebt sich auszudehnen und "uben Druckspannungen auf die kristalline Umgebung aus.
  Diese sind in Abbildung \ref{img:modell} durch die von $R$ ausgehenden Pfeile dargestellt.
  Da sich die Ausscheidungen relativ nah an der Oberfl"ache des Targets befinden, kann der vertikale Anteil der Spannungen durch Expansion des Targets relaxieren.
  Dies gilt nicht f"ur die horizontale Komponente.
  Es verbleiben laterale Druckspannungen parallel zur Oberfl"ache.
  Diese beg"unstigen Amorphisierung in der Nachbarschaft der Ausscheidung, da im Falle einer Sto"skaskade die versetzten Atome auf Grund der vorhandenen Spannungen nur erschwert auf ihre regul"aren Gitterpl"atze zur"uckkehren k"onnen.
  Im Gegensatz dazu wird $a-Si$ in einer kristallinen Nachbarschaft unter den gegebenen Bedingungen sehr wahrscheinlich rekristallisieren.
  Dieser Amorphisierungsbeitrag wird im Folgenden als spannungsinduzierte Amorphisierung bezeichnet.

  Zus"atzlich dienen die amorphen Gebiete als Senke f"ur Kohlenstoff, der von der kristallinen Umgebung in die amorphe Ausscheidung diffundieren kann.
  Die kristallinen Gebiete reduzieren damit die "Ubers"attigung mit Kohlenstoff, dessen L"oslichkeit in $c-Si$ bei Raumtemperatur nahezu Null ist.
  Die amorphen Gebiete reichern sich mit Kohlenstoff an und erh"ohen wiederum die lateralen Spannungen auf die Umgebung.
  Da in experimentellen Ergebnissen von Implantationen bei weitaus h"oheren Temperaturen \cite{reiber}, bei denen sich keine amorphe Phase bildet, keine Verbreiterung des Kohlenstoffprofils durch Diffusion beobachtet wird, wird Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete ausgeschlossen. 
  
  Mit zunehmender Dosis bilden sich so durchgehende kohlenstoffreiche amorphe Lamellen.
  Wegen der Diffusion von Kohlenstoff von den oberhalb und unterhalb dieser Lamellen liegenden Gebieten, rekristallisiert dort zuf"allig amorphisiertes (im Folgenden ballistische Amorphisierung genannt) $a-Si$ mit sehr gro"ser Wahrscheinlichkeit.
  So entstehen abwechselnd amorphe und kristalline Lamellen.

