\documentclass{book}

\usepackage{verbatim}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ae}

\usepackage[dvips]{graphicx}
\graphicspath{{./img/}}

\usepackage{./graphs}

\author{Frank Zirkelbach}

\title{Nanolamellare Selbstordnungsprozesse bei Kohlenstoffimplantation in $(100)$-orientiertes Silizium bei Temperaturen kleiner $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$}

\begin{document}
\frontmatter
\maketitle
\tableofcontents

\mainmatter

\chapter{Einleitung}
In der folgenden Arbeit soll die Entstehung und Selbstorganisation amorpher lamellarer Einschl"usse bei Hochdosis Kohlenstoffimplantation in $(100)$-orientiertes Silizium untersucht werden. Solche Einschl"usse findet man bei Targettemperaturen kleiner $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ und einer Dosis von $8,5 \times 10^{17} \frac{C}{cm^2}$ oberhalb des Implantationspeaks. "Ahnliche Strukturen beobachtet man auch bei Hochdosis-Sauerstoff-Implantation in Silizium.

Der Hauptteil der Arbeit befasst sich mit der Beschreibung des, f"ur diese Selbstorganisationsprozesse zugrundeliegenden Modells und einer daraus erarbeiteten Simulation. Die Arbeit ist wie folgt geliedert.

Im ertsen Teil dieser Arbeit werden die n"otigen Grundlagen der Ionenimplantation wiederholt, um sp"ater angestellte Annahmen besser zu verstehen. Danach wird das Modell konkret formuliert und die Implementierung diskutiert. Im dritten Teil werden die Ergebnisse der Simulation besprochen. Dabei werden die erzeugten Bilder mit TEM Aufnahmen verglichen. Der letzte Teil gibt eine Zusammenfassung und m"ogliche Anwendungsgebiete, die vom genaueren Verst"andniss dieser Selbstorganisationprozesse profitieren.

Die Simulation ist in der Programmiersprache C geschrieben. Dabei wurden Funktionen die unter den POSIX Standard fallen verwendet. Desweiteren wurde zur Visualisierung die DirectFB API verwendet. Eine Portierung auf Microsoft Windows ist deshalb nicht geplant.

\chapter{Grundlagen der Ionenimplantation}
Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation muss die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden. Durch St"osse mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein. Eine weitere Folge sind durch die Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden. Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
\section{Abbremsung von Ionen}
Die Abbremsung der Ionen im Festk"orper kommt haupts"achlich durch inelastische Wechselwirkung mit den Targetelektronen und elastische Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets zustande. Man geht davon aus, da"s diese unabh"angig voneinander sind. Andere Wechselwirkungen k"onnen vernachl"assigt werden.
\subsection{Bremsquerschnitt}
Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt:
\[
 S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
\]
mit:
\[
\begin{array}{ll}
 N & \equiv \textrm{atomare Dichte} \\
 E & \equiv \textrm{Energie des Ions} \\
 x & \equiv \textrm{zur"uckgelegter Weg}
\end{array}
\]
Wegen der Unabh"angigkeit der Wechselwirkungsprozesse erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Weg:
\[
 - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big)
\]
Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie bekommt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions. Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
\[
 R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{\partial E}{S_e(E) + S_n(E)}
\]
Um die Reichweite des Ions zu berechnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.

\subsection{nukleare Bremskraft}
Wie bereits erw"ahnt, kann die Wechelswirkung mit den Atomkernen des Targets durch einen elastischen Streuproze"s beschrieben werden. F"ur den Energie"ubertrag beim Sto"s gilt,
\[
 T_n(E) = E \frac{2 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} (1 - \sin \theta)
\]
wobei $M_1$ und $E$ Masse und Energie des einfallenden Ions, $M_2$ die Masse des ruhenden Targetatoms und $T_n$ der Energie"ubertrag ist. $\theta$ entspricht dem Streuwinkel im Schwerpunktsystem.

Integriert man nun "uber alle m"oglichen Energie"ubertr"age gewichtet mit deren Wahrscheinlichkeit, so erh"alt man f"ur den Bremsquerschnitt:
\[
 S_n(E) = \int_0^\infty T_n(E,p) 2 \pi p \partial p = \int_0^{T_{max}} T \sigma(E,T_n) \partial \sigma
\]
Hierbei ist $\partial \sigma = 2 \pi p \partial p$ der differentille Wirkungsquerschnitt und
\[
 T_{max} = T_n(E,0) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2}
\]
die maximale beim zentralen Sto"s "ubertragene Energie.
Zur Bestimmung von $\theta$ ben"otigt man ein geeignetes Potential, welches die Wechselwirkung beschreibt. Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment liefern das abgeschirmte Coulombpotential und das sogenannte \dq Universal Potential\dq{}. Ersteres lautet:
\[
 V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
\]
$\Phi(\frac{r}{a})$ ist eine geeignete Abschirmfunktion, $a$ der Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.

\subsection{elektronische Bremskraft}
Durch inelastische St"o"se mit den Targetelektronen verliert das Ion an Energie. Diese Energie kann zur Anregung oder Ionisation sowohl des Targets als auch des eingeschossenen Ions f"uhren.

Prinzipiell ist eine Entwicklung f"ur die elektronische Bremskraft aus fundierten physikalischen "Uberlegungen m"oglich, da die Beschreibung jedoch viel komplizierter als die von elastischen St"o"sen sind, werden haupts"achlich empirische Ans"atze verwendet.

F"ur niedrige Teilchenenergien findet man in der LSS-Theorie sowie der Firsov-Theorie eine lineare Abh"angigkeit zwischen elektronischer Bremskraft und Geschwindigkeit des Ions.
\[
 S_n(E) \sim v_{Ion} \sim \sqrt{E}
\]
F"ur hohe, nicht-relativistische Energien beschreibt die Bethe-Bloch-Gleichung den Energieverlust am besten.
\[
 S_e(E) = N \frac{4 \pi Z_1^2 Z_2^2 e^2}{m_e v_0^2} \textrm{ln} \, \Big( \frac{2 m_e v_0^2}{I} \Big)
\]
$v_0$ entspricht der Geschwindigkeit des Ions, $m_e$ ist die Elektronenmasse und $I = I_0 Z^2$ die mittlere Ionisationsenergie ($I_0 \simeq 11eV$). 

\section{Implantationsprofil}
Nun kann mit $S_e$ und $S_n$ die mittlere Reichweite berechnet werden. Allerdings entspricht dies nicht der mittleren Tiefe in der das Ion im Target zur Ruhe kommt, da es im Allgemeinen Richtungs"anderungen erfahren wird. Lindhard, Scharff und Schiott n"aherten das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung:
\[
 N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi} \Delta R_p} e^{ \Big( - \frac{(x-R_p)^2}{2 \Delta R_p^2} \Big)}
\]
$D$ entspricht hier der Dosis, also die Zahl der implantierten Ionen pro Fl"ache, $\Delta R_p$ ist die Standardabweichung der projezierten Reichweite $R_p$.

Folgende Abbildung zeigt ein tiefenabh"angiges Implantationsprofil zusammen mit elektronischen und nuklearen Energieverlust, ermittelt durch das Monte-Carlo-Simulationsprogramm TRIM.\\
\includegraphics{implsim_.eps}

\section{Amorphisierung}
Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen. Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen. Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden. Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease zu
\[
 N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
\]
abgesch"atzt werden.

Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren. Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht. Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen. Dieser kann an amorph/kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren.

F"ur die weitere Arbeit von Bedeutung, ist der experimentelle Befund, da"s sich die Intensit"at der Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt.


\chapter{Modell und Simulation}

\section{Gegenstand der Simulation}
Wie bereits in der Einleitung erw"ahnt, soll in dieser Arbeit nur die Entstehung und Selbstorganisation lamellarer amorpher Ausscheidungen oberhalb des Implantationsmaximums behandelt werden. Diese beobachtet man bei Implantationen in $(100)$-orientiertes Silizium bei niedrigen Targettemperaturen, typischerweise $T<400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$. "Ahnliches wurde auch bei der Hochdosis-Sauerstoff-Implantation in Silizium gefunden.

Implantationsprofile oder nukleare Bremskr"afte, so wie weitere verwendete Ergebnisse werden nicht simuliert. Im Gegenteil, diese Gr"o"sen werden schon existierenden Simulationsprogrammen wie TRIM entnommen.

Folgende Abbildung zeigt eine TEM-Aufnahme einer mit $4,3 \times 10^{17} \frac{C}{cm^2}$ implantiertenProbe bei einer Targettemperatur von $150 \, ^{\circ} \mathrm{C}$. Da die amorphe $SiC_x$-Schicht nicht weiter von Interesse ist, beschr"ankt sich das Simulationsfenster von Anfang der Probe bis zu Beginn der durchgehenden amorphen Schicht (hier ca. $310nm$). Ziel ist es, die in der rechten Vergr"o"serung gut zu erkennenden lamellaren und sph"arischen Einschl"u"se zu reproduzieren.\\
\includegraphics[width=10cm]{k393abild1.eps}

\section{Das Modell}
Im Folgenden wird ein Modell vorgestellt, welches die Bildung und Selbstorganisation der beobachteten lamellaren Strukturen zu erkl"aren versucht. Die untenstehende Grafik soll das Modell veranschaulichen.\\
\\
\includegraphics[width=12cm]{model1_.eps}
\\
Die sehr geringe L"oslichkeit von Kohlenstoff in Silizium bei Raumtemperatur, f"uhrt bei gen"ugend hoher Kohlenstoffkonzentration zu sph"arischen $SiC_x$-Ausscheidungen. Da die Gitterkonstante von kubischen Siliziumkarbid ($4,36$\AA) fast um $20\%$ kleiner als die von reinen kristallinen Silizium ($5,43$\AA) ist, hat die Nukleation von kristallinen $3C-SiC$ in $c-Si$ eine hohe Grenzfl"chenenergie zur Folge. Daher ist es energetisch g"unstiger wenn eins der beiden Substanzen in amorpher Form besteht. Da reines amorphes Silizium instabil unter den gegebenen Bedingungen ist und ionenstrahlinduziert epitaktisch rekristallisiert, wird die kohlenstoffreichere Phase in amorpher Form vorliegen.

Weil $SiC$ im amorphen Zustand eine $20-30\%$ geringere Dichte als im kristallinen Zustand besitzt, ist dies auch f"ur amorphes $SiC_x$ anzunehmen. Dies f"uhrt zum Bestreben der amorphen Gebiete sich auszudehnen, weshalb Druckspannungen auf die Umgebung wirken. Da es sich um eine sehr d"unne Probe handelt, k"onnen die Druckspannungen in vertikaler Richtung relaxieren. In horizontaler Richtung erschweren die Druckspannungen den Wiedereinbau der durch Sto"skaskaden verlagerten Atome auf ihre regul"aren Gitterpl"atze. Somit werden bevorzugt Gebiete zwischen schon amorphen Einschl"ussen amorphisiert. Dies f"uhrt zur Stabilisierung der selbstorganisierten lamellaren Struktur.

Eine weitere M"oglichkeit des Systems zur Energieminimierung ist Diffusion. Dabei wird durch Diffusion von Kohlenstoff in amorphe Gebiete eine Reduzierung der Kohlenstoff"ubers"attigung in kristallinen Gebieten erreicht.

\section{Die Simulation}
Zur Realisierung des Selbstorganisationsprozesses auf dem Rechner wird das Monte-Carlo-Verfahren verwendet. Monte-Carlo-Simulationen bedienen sich der M"oglichkeit des Computers Pseudozufallszahlen zu generieren. Diese entscheiden dann "uber Amorphisierung/Rekristallisation sowie die Kohlenstoffverteilung und noch weitere Ereignisse. Um die oben genannten Modellvorstellungen m"oglichst einfach zu realisieren werden im folgenden noch einige N"aherungen und Einschr"ankungen diskutiert. Danach wird ein Ablaufschema des Programms pr"asentiert und erl"autert.
\subsection{weitere Modellannahmen}
F"ur die Simulation sind noch weitere Annahmen n"otig, die im folgenden erkl"art werden. Dabei mu"s beachtet werden, da"s die Simulation nur das Gebiet vor der amorphen $SiC_x$-Schicht betrachtet.
\subsubsection{Strahlensch"adigung und nukleare Bremskraft}
Wichtig f"ur diese Arbeit ist die Tatsache, da"s sich die Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt. In dem Bereich des Simulationsfensters kann diese als linear angenommen werden.
\subsubsection{Druckspannung und Amorphisierung}
Die Druckspannungen auf ein Gebiet erh"ohen die Wahrscheinlichkeit, da"s es nacheinem Sto"sprozess amorph wird. Die Druckspannungen sollten proportional zur Kohlenstoffkonzentration der amorphen Umgebung sein, und mit $\frac{1}{r^2}$ abnehmen (Druck = Kraft / Fl"ache), wobei $r$ der Abstand zum betreffenden Gebiet ist. Desweiteren nimmt die Wahrscheinlichkeit eines Gebietes, amorph zu werden, mit der eigenen Kohlenstoffkonzentration linear zu.
\subsubsection{Implantationsprofil und Kohlenstoffverteilung}
Analog zur nuklearen Bremskraft kann das Implantationsprofil linear gen"ahert werden. Die Kohlenstoffkonzentration sollte also proportional zur Tiefe zunehmen.
\subsubsection{Diffusionsprozesse}
In der Simulation werden zwei Diffusionsprozesse ber"ucksichtigt, die Diffusion von Kohlenstoff von kristalline in amorphe Gebiete, so wie Diffusionsprozesse zwischen kristallinen Gebieten. Diffusion findet stets zwischen zwei benachbarten Gebieten statt und resultiert im letzteren Fall aus einem Dichtegradienten, im ersten Fall aus der Kohlenstoff"ubers"attigung der kristallinen Zelle. Eine wichtige Annahme ist, da"s keine Diffusion aus amorphen in kristalline Gebiete m"oglich ist. Daher kann f"ur den erstgenannten Fall auch Diffusion in vertikaler Richtung stattfinden, nicht jedoch fuer letzteren, um die linear steigende Kohlenstoffkonzentration zu garantieren. Da eine ausschliesslich in horizontal stattfindende Diffusion zwischen krystallinen Gebieten physikalisch nicht sinnvoll begr"undet werden kann, gibt es einen Switch um diesen Diffusionsproze"s nicht auszuf"uhren.
\subsection{Simulationsablauf}
Mit dem vorgestellten Modell und den weiteren Annahmen kann nun der Simulationsablauf erl"autert werden. Ein Aublaufschema und die Bedienung des Programms sind in den folgenden Kapiteln zu finden. F"ur das Verst"andniss des Simulationsablaufs ist es sinnvoll zun"achst einige der wichtigsten einstellbaren Parameter des Programms und ihre Bedeutung aufzulisten. Eine komplette Auflistung findet sich im Kapitel "uber die Bedienung des Programms.
\subsubsection{wichtige Parameter der Simulation}
\begin{itemize}
 \item $a_{el} \textrm{, } b_{el}$\\
  Steigung und $y$-Achsenabschnitt der linear gen"aherten nuklearen Bremskraft
 \item $a_{ap} \textrm{, } b_{ap}$\\
  Proportionalit"atskonstante zwischen Wahrscheinlichkeit der Amorphisierung und Einflu"s des Drucks der amorphen Umgebung
 \item $a_{cp}$\\
  Proportionalit"atskonstante zwischen Kohlenstoffkonzentration und Wahrscheinlichkeit amorph zu werden
 \item $a_{cd} \textrm{, } b_{cd}$\\
  Steigung und $y$-Achsenabschnitt der in $z$-Richtung linear gen"aherten Kohlenstoffverteilung
 \item $c_{ratio}$\\
  Verh"altnis von Kohlenstoff in Simulationsfenster und gesamten Kohlenstoff (ermittelt durch TRIM)
 \item $dr_{cc}$\\
  Diffusionsrate von kristallinen in kritalline Gebiete
 \item $dr_{ac}$\\
  Diffusionsrate von kristallinen in amorphe Gebiete
 \item $d_v$\\
  Diffusionsgeschwindigkeit (Diffusion alle $d_v$ Durchl"aufe)
\end{itemize}
  
\subsubsection{Der Simulationsalgorithmus}
Das Silizium-Target wird in Zellen aufgeteilt, deren Anzahl als Parameter "ubergeben werden kann. In dieser Arbeit wurde $x=50 \textrm{, } y=50 \textrm{, } z=100$ gew"ahlt, was auch die Default Werte des Programms sind. Diese Zelle ist die kleinste Einheit und h"alt folgende Eigenschaften/Informationen:
\begin{itemize}
 \item Kantenl"ange $3nm$ (Implantationsfenster ist $~300nm$ tief bei 100 Zellen)
 \item Zustand: amorph (rot) oder kristallin (blau)
 \item Kohlenstoffkonzentration
\end{itemize}
Der Simulationsalgorithmus kann in drei Teile gegliedert werden, jeder Ducrchlauf entspricht dabei einem implantierten Kohlenstoffion.
\begin{itemize}
 \item Amorphisierung/Rekristallation:
  \begin{itemize}
   \item Zuf"allige Wahl der Koordinaten f"ur einen Sto"sproze"s:\\
    Da sich die Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt, nimmt die Wahrscheinlichkeit f"ur einen Sto"sproze"s mit zunehmender Tiefe linear zu. $x$ und $y$ sind gleichverteilt.\\
    $p(x)dx=dx \textrm{, } p(y)dy=dy \textrm{, } p(z)dz=(a_{el}*z+b_{el})dz$
   \item Berechnung der Amorphisierungs bzw. Rekristallationswahrscheinlichkeit:\\
    Die Wahrscheinlichkeit der Amorphisierung einer Zelle soll proportional zur Druckspannung auf das Gebiet und der eigenen Kohlenstoffkonzentartion sein. Daher gilt:\\
    $\displaystyle p_{c \rightarrow a}=\sum_{amorphe Nachbarn} \frac{a_{ap}}{\textrm{Abstand}^2} + b_{ap} + a_{cp}c_{\textrm{Kohlenstoff}}$\\
    Die Koordinaten f"ur den Sto"sproze"s werden durch ausw"urfeln von drei Zufallszahlen erzeugt.
    Die Rekristallisation sollte sich genau entgegengesetzt verhalten und wird zur Vereinfachung als $\displaystyle p_{a \rightarrow c}=1-p_{c \rightarrow a}$ angenommen. Eine weitere Zufallszahl entscheidet ob das Gebiet amorph wird, rekristallisiert oder den derzeitigen Zustand beibeh"alt.
  \end{itemize}
 \item Einbau des implantierten Kohlenstoffions ins Silizium Target:\\
  Das implantierte Teilchen wird nicht am Ort des Sto"sproze"ses zur Ruhe kommen. Es wird eine Richtungs"anderung erfahren und weitere Sto"sproze"se vollziehen. Mit gro"ser Wahrscheinlichkeit wird es erst in der amorphen $SiC_x$ Schicht zur Ruhe kommen.  Deshalb wird zu Beginn des Programms das Verh"atnis von Kohlenstoff im Simulationsfenster zum gesamten Kohlenstoff durch Auslesen eines Konzentrationsprofils, ermittelt durch TRIM, berechnet. Da die Kohlenstoffverteilung im Bereich des Implantationsfensters linear gen"ahert wird, sieht die Prozedur wie folgt aus:
  \begin{itemize}
   \item Kohlenstoff innerhalb des Simulationsfesnters:\\
    Ist die Anzahl, des im Simulationsfenster enthaltenen Kohlenstoffs kleiner dem bisher gesamt implnatierten multipliziert mit oberen Verh"altnis, so wird der n"achste Schritt ausgef"uhrt.\\
    ($\textrm{gesamter Kohlenstoff} < \textrm{steps} * c_{ratio}$)
   \item zuf"allige Wahl von Koordinaten f"ur Kohlenstofferh"ohung:\\
    Analog zur Bestimmung der Sto"skoordinaten wird durch 3 Zufallszahlen das Gebiet in dem die lokale Kohlenstoffkonzentration inkremeniert wird ausgew"ahlt. Es gilt:\\
    $p(x)dx=dx \textrm{, } p(y)dy=dy \textrm{, } p(z)dz=(a_{cd}*z+b_{cd})dz$
  \end{itemize}
 \item Diffusion:\\
  Die Diffusionsroutinen werden alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt, dies ist somit ein Ma"s f"ur die Diffusionsgeschwindigkeit.
  \begin{itemize}
   \item Kohlenstoff Diffusion von kristalline in amorphe Gebiete:\\
    Im Programmablauf wird jede Zelle des Targets betrachtet. Ist diese amorph, so werden aus den umliegenden kristallinen Nachbarzellen $c_C(Nachbar)*dr_{ac}$ Kohlenstoffionen transportiert. $dr_{ac}$ entspricht somit einer Diffusionsrate. Bisher gibt es keine Beschr"ankungen, wie zum Beispiel eine S"attigungskonzentartion.
   \item Kohlenstoff Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete:\\
    Ist eine betrachtete Zelle kristallin, und hat sie kristalline Nachbarn, so werden $\frac{\textrm{Differenz}}{2}*dr_{cc}$ Kohlenstoffionen transferiert. Da ein lineares Konzentrationsverhalten garantiert werden muss, darf diese Diffusion nur in der horizontalen Ebene stattfinden. Dies ist physiklaisch nicht sinnvoll begr"undbar, daher kann die rein kristalline Diffusion weggelassen werden.
  \end{itemize}
  Die Diffusion ist der rechenintensivste Schritt der Simulation. Sie macht aus dem bisherigen $O(n)$-Problem ein $O(n^2)$-Problem.
\end{itemize}

\subsection{Ablaufschema}
Im Folgenden ist der Simulationsablauf in Form eines Ablaufschemas dargestellt. Die weiter oben erw"ahnte Dreiteilung der Programmablaufs ist durch die gestrichenen Linien hervorgehoben.
\originalTeX
\begin{figure}[thbp]
\begin{center}
\begin{graph}(8,30)
 \graphnodecolour{1}
 \textnode{start}(4,30){nlsop start}
 \rectnode{rand1}[6,3](4,27.5)
 \freetext(4,28.5){zufaellige Wahl der Koordinaten:}
 \freetext(4,27.5){$p(x)dx=dx$}
 \freetext(4,27){$p(y)dy=dy$}
 \freetext(4,26.5){$p(z)dz=(a_{el}*z+b_{el})dz$}
 \diredge{start}{rand1}
 \rectnode{p_ac_ca}[9,3](4,23.5)
 \freetext(4,24.5){Berechnung der $p_{a \rightarrow c}$ bzw. $p_{c \rightarrow a}$:}
 \freetext(4,23.5){$\displaystyle p_{c \rightarrow a}=\sum_{amorphe Nachbarn} \frac{a_{ap}}{\textrm{Abstand}^2} + b_{ap} + a_{cp}c_{\textrm{Kohlenstoff}}$}
 \freetext(4,22.5){$\displaystyle p_{a \rightarrow c}=1-p_{c \rightarrow a}$}
 \diredge{rand1}{p_ac_ca}
 \textnode{ac}(4,21){Zelle $(x,y,z)$ amorph?}
 \diredge{p_ac_ca}{ac}
 \textnode{d_c}(2,19.5){Zufallszahl $< p_{a \rightarrow c}$ ?}
 \textnode{d_a}(6,19.5){Zufallszahl $< p_{c \rightarrow a}$ ?}
 \diredge{ac}{d_a}
 \edgetext{ac}{d_a}{nein}
 \diredge{ac}{d_c}
 \edgetext{ac}{d_c}{ja}
 \textnode{amount_c}(4,16.5){$\textrm{gesamter Kohlenstoff} < \textrm{steps} * c_{ratio}$ ?}
 \diredge{d_c}{amount_c}
 \diredge{d_a}{amount_c}
 \textnode{make_c}(1,18){Zelle $(x,y,z) = \textrm{kristallin}$}
 \textnode{make_a}(7,18){Zelle $(x,y,z) = \textrm{amorph}$}
 \diredge{d_c}{make_c}
 \edgetext{d_c}{make_c}{ja}
 \diredge{d_a}{make_a}
 \edgetext{d_a}{make_a}{ja}
 \diredge{make_c}{amount_c}
 \diredge{make_a}{amount_c}
 \rectnode{rand2}[5,3](1.5,14)
 \freetext(1.5,15){zufaellige Koordinaten:}
 \freetext(1.5,14){$p(x)dx=dx$}
 \freetext(1.5,13.5){$p(y)dy=dy$}
 \freetext(1.5,13){$p(z)dz=(a_{cd}*z+b_{cd})dz$}
 \diredge{amount_c}{rand2}
 \freetext(3,16){ja}
 \rectnode{inc_c}[5,1.5](1.5,11)
 \freetext(1.5,11){Erhoehe $c_{Kohlenstoff}(x,y,z)$}
 \freetext(1.5,10.5){Erhoehe gesamten Kohlenstoff}
 \diredge{rand2}{inc_c}
 \textnode{d_d}(5,9.5){Diffusion}
 \diredge{inc_c}{d_d}
 \diredge{amount_c}{d_d}
 \edgetext{amount_c}{d_d}{nein}
\end{graph}
\end{center}
\germanTeX
\caption{ablaufschema}
\end{figure}

\begin{figure}[thpb]
\begin{center}
\begin{graph}(8,30)
 \graphnodecolour{1}
 \textnode{n_start}(4,30){Diffusion}
 \textnode{d_d}(4,29){steps vielfaches von $d_v$?}
 \diredge{n_start}{d_d}
 \textnode{diff_for_loop}(2,28){Gehe verbleibende Zellen durch}
 \diredge{d_d}{diff_for_loop}
 \edgetext{d_d}{diff_for_loop}{ja}
 \textnode{d_c}(2,27){Zelle kristallin?}
 \diredge{diff_for_loop}{d_c}
 \textnode{c_diff}(0.5,26){Gehe alle Nachbarn durch}
 \diredge{d_c}{c_diff}
 \edgetext{d_c}{c_diff}{ja}
 \textnode{c2a_diff}(5.5,26){Gehe alle Nachbarn durch}
 \diredge{d_c}{c2a_diff}
 \edgetext{d_c}{c2a_diff}{nein}
 \textnode{n_c}(0.5,25){Nachbar kristallin?}
 \diredge{c_diff}{n_c}
 \textnode{n_c2}(5.5,25){Nachbar kristallin?}
 \diredge{c2a_diff}{n_c2}
 \rectnode{c2c_d}[4,1.5](0.5,23.5)
 \freetext(0.5,23.5){Bewege $\frac{\textrm{Differenz}}{2}*dr_{cc}$}
 \freetext(0.5,23){der Kohlenstoffatome}
 \diredge{n_c}{c2c_d}
 \freetext(0.7,24.5){ja}
 \rectnode{c2a_d}[4,1.5](6,23.5)
 \freetext(6,24){Bewege}
 \freetext(6,23.5){$c_C(Nachbar)*dr_{ac}$}
 \freetext(6,23){der Kohlenstoffatome}
 \diredge{n_c2}{c2a_d}
 \freetext(6.2,24.5){ja}
 \textnode{ne1}(0.5,22){Alle Nachbarn durch?}
 \diredge{c2c_d}{ne1}
 \dirbow{n_c}{ne1}{-0.8}
 \freetext(-2,24.5){nein}
 \dirbow{ne1}{c_diff}{-0.6}
 \freetext(2.5,22.5){nein}
 \textnode{ne2}(6,22){Alle Nachbarn durch?}
 \diredge{c2a_d}{ne2}
 \dirbow{n_c2}{ne2}{0.9}
 \freetext(8,24.5){nein}
 \dirbow{ne2}{c2a_diff}{0.6}
 \freetext(4,22.5){nein}
 \textnode{ze}(3,21){Alle Zellen durch?}
 \dirbow{ze}{diff_for_loop}{-0.1}
 \freetext(3,25){nein}
 \diredge{ne1}{ze}
 \edgetext{ne1}{ze}{ja}
 \diredge{ne2}{ze}
 \edgetext{ne2}{ze}{ja}
 \textnode{test_sf}(3,20){steps vielfaches von save intervall?}
 \diredge{ze}{test_sf}
 \edgetext{ze}{test_sf}{ja}
 \dirbow{d_d}{test_sf}{0.6}
 \bowtext{d_d}{test_sf}{0.6}{nein}
 \textnode{sf}(1,19){save data}
 \diredge{test_sf}{sf}
 \edgetext{test_sf}{sf}{ja}
 \textnode{test_display}(3,18){steps vielfaches von display intervall?}
 \diredge{sf}{test_display}
 \diredge{test_sf}{test_display}
 \edgetext{test_sf}{test_display}{nein}
 \textnode{display}(1.5,17){display}
 \diredge{test_display}{display}
 \edgetext{test_display}{display}{ja}
 \textnode{test_end}(3,16){$\textrm{steps} = \textrm{max steps}$?}
 \diredge{display}{test_end}
 \diredge{test_display}{test_end}
 \edgetext{test_display}{test_end}{nein}
 \textnode{nlsop_start}(7,16){nlsop start}
 \diredge{test_end}{nlsop_start}
 \edgetext{test_end}{nlsop_start}{nein}
 \textnode{sf2}(3,15){save data}
 \diredge{test_end}{sf2}
 \edgetext{test_end}{sf2}{ja}
 \textnode{display2}(3,14){user interaction?}
 \diredge{sf2}{display2}
 \textnode{nlsop_end}(1.5,13){nlsop end}
 \diredge{display2}{nlsop_end}
 \edgetext{display2}{nlsop_end}{nein}
 \textnode{d_a_w_f_e}(5.5,13){display and wait for event}
 \diredge{display2}{d_a_w_f_e}
 \edgetext{display2}{d_a_w_f_e}{ja}
 \textnode{test_event}(5.5,12){event $=$ quit?}
 \diredge{d_a_w_f_e}{test_event}
 \diredge{test_event}{nlsop_end}
 \edgetext{test_event}{nlsop_end}{ja}
 \textnode{ea}(5.5,11){eventaction}
 \diredge{test_event}{ea}
 \edgetext{test_event}{ea}{nein}
 \dirbow{ea}{d_a_w_f_e}{-0.6}
\end{graph}
\end{center}
\germanTeX
\caption{ablaufschema 2}
\end{figure}
 
\section{Bedienung des Programms}
Im folgenden soll die Bedienung des Simultionsprogramms erkl"art werden. Das Programm muss immer per Kommandozeile getsartet werden. Auf Systemen die DirectFB installiert und den Simulationscode entsprechend "ubersetzt haben, hat man die M"oglichkeit die Simulation grafisch zu verfolgen oder auch fertige gespeicherte Simulationen zu betrachten. Auf Beides wird im folgenden eingegangen.
Der Leser der nur an der Funktionsweise und den Ergebnissen interessiert ist kann dieses Kapitel getrost "uberspringen.
\subsection{Kommandozeilen Argumente}
\subsection{Die grafische Oberfl"ache}


\section{Ergebnisse der Simulation}

\chapter{Ausblick}

\end{document}
