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\author{Frank Zirkelbach}

\title{Nanolamellare Selbstordnungsprozesse bei Kohlenstoffimplantation in $(100)$-orientiertes Silizium bei Temperaturen kleiner $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$}

\begin{document}
\frontmatter
\maketitle
\tableofcontents

\mainmatter

\chapter{Einleitung}
In der folgenden Arbeit soll die Entstehung und Selbstorganisation amorpher lamellarer Einschl"usse bei Hochdosis Kohlenstoffimplantation in $(100)$-orientiertes Silizium untersucht werden. Solche Einschl"usse findet man bei Targettemperaturen kleiner $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ und einer Dosis von $8,5 \times 10^{17} \frac{C}{cm^2}$ oberhalb des Implantationspeaks. "Ahnliche Strukturen beobachtet man auch bei Hochdosis-Sauerstoff-Implantation in Silizium.

Der Hauptteil der Arbeit befasst sich mit der Beschreibung des, f"ur diese Selbstorganisationsprozesse zugrundeliegenden Modells und einer daraus erarbeiteten Simulation. Die Arbeit ist wie folgt geliedert.

Im ertsen Teil dieser Arbeit werden die n"otigen Grundlagen der Ionenimplantation wiederholt, um sp"ater angestellte Annahmen besser zu verstehen. Danach wird das Modell konkret formuliert und die Implementierung diskutiert. Im dritten Teil werden die Ergebnisse der Simulation besprochen. Dabei werden die erzeugten Bilder mit TEM Aufnahmen verglichen. Der letzte Teil gibt eine Zusammenfassung und m"ogliche Anwendungsgebiete, die vom genaueren Verst"andniss dieser Selbstorganisationprozesse profitieren.

Die Simulation ist in der Programmiersprache C geschrieben. Dabei wurden Funktionen die unter den POSIX Standard fallen verwendet. Eine Portierung auf Microsoft Windows ist nicht geplant, da auf solchen propriet"aren Betriebssystemn wissenschaftliches Arbeiten sowieso nicht m"oglich ist.

\chapter{Grundlagen der Ionenimplantation}
Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation muss die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden. Durch St"osse mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein. Eine weitere Folge sind durch die Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden. Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
\section{Abbremsung von Ionen}
Die Abbremsung der Ionen im Festk"orper kommt haupts"achlich durch inelastische Wechselwirkung mit den Targetelektronen und elastische Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets zustande. Man geht davon aus, da"s diese unabh"angig voneinander sind. Andere Wechselwirkungen k"onnen vernachl"assigt werden.
\subsection{Bremsquerschnitt}
Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt:
\[
 S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
\]
mit:
\[
\begin{array}{ll}
 N & \equiv \textrm{atomare Dichte} \\
 E & \equiv \textrm{Energie des Ions} \\
 x & \equiv \textrm{zur"uckgelegter Weg}
\end{array}
\]
Wegen der Unabh"angigkeit der Wechselwirkungsprozesse erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Weg:
\[
 - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big)
\]
Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie bekommt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions. Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
\[
 R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{\partial E}{S_e(E) + S_n(E)}
\]
Um die Reichweite des Ions zu berechnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.

\subsection{nukleare Bremskraft}
Wie bereits erw"ahnt, kann die Wechelswirkung mit den Atomkernen des Targets durch einen elastischen Streuproze"s beschrieben werden. F"ur den Energie"ubertrag beim Sto"s gilt,
\[
 T_n(E) = E \frac{2 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} (1 - \sin \theta)
\]
wobei $M_1$ und $E$ Masse und Energie des einfallenden Ions, $M_2$ die Masse des ruhenden Targetatoms und $T_n$ der Energie"ubertrag ist. $\theta$ entspricht dem Streuwinkel im Schwerpunktsystem.

Integriert man nun "uber alle m"oglichen Energie"ubertr"age gewichtet mit deren Wahrscheinlichkeit, so erh"alt man f"ur den Bremsquerschnitt:
\[
 S_n(E) = \int_0^\infty T_n(E,p) 2 \pi p \partial p = \int_0^{T_{max}} T \sigma(E,T_n) \partial \sigma
\]
Hierbei ist $\partial \sigma = 2 \pi p \partial p$ der differentille Wirkungsquerschnitt und
\[
 T_{max} = T_n(E,0) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2}
\]
die maximale beim zentralen Sto"s "ubertragene Energie.
Zur Bestimmung von $\theta$ ben"otigt man ein geeignetes Potential, welches die Wechselwirkung beschreibt. Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment liefern das abgeschirmte Coulombpotential und das sogenannte \dq Universal Potential\dq{}. Ersteres lautet:
\[
 V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
\]
$\Phi(\frac{r}{a})$ ist eine geeignete Abschirmfunktion, $a$ der Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.

\subsection{elektronische Bremskraft}
Durch inelastische St"o"se mit den Targetelektronen verliert das Ion an Energie. Diese Energie kann zur Anregung oder Ionisation sowohl des Targets als auch des eingeschossenen Ions f"uhren.

Prinzipiell ist eine Entwicklung f"ur die elektronische Bremskraft aus fundierten physikalischen "Uberlegungen m"oglich, da die Beschreibung jedoch viel komplizierter als die von elastischen St"o"sen sind, werden haupts"achlich empirische Ans"atze verwendet.

F"ur niedrige Teilchenenergien findet man in der LSS-Theorie sowie der Firsov-Theorie eine lineare Abh"angigkeit zwischen elektronischer Bremskraft und Geschwindigkeit des Ions.
\[
 S_n(E) \sim v_{Ion} \sim \sqrt{E}
\]
F"ur hohe, nicht-relativistische Energien beschreibt die Bethe-Bloch-Gleichung den Energieverlust am besten.
\[
 S_e(E) = N \frac{4 \pi Z_1^2 Z_2^2 e^2}{m_e v_0^2} \textrm{ln} \, \Big( \frac{2 m_e v_0^2}{I} \Big)
\]
$v_0$ entspricht der Geschwindigkeit des Ions, $m_e$ ist die Elektronenmasse und $I = I_0 Z^2$ die mittlere Ionisationsenergie ($I_0 \simeq 11eV$). 

\section{Implantationsprofil}
Nun kann mit $S_e$ und $S_n$ die mittlere Reichweite berechnet werden. Allerdings entspricht dies nicht der mittleren Tiefe in der das Ion im Target zur Ruhe kommt, da es im Allgemeinen Richtungs"anderungen erfahren wird. Lindhard, Scharff und Schiott n"aherten das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung:
\[
 N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi} \Delta R_p} e^{ \Big( - \frac{(x-R_p)^2}{2 \Delta R_p^2} \Big)}
\]
$D$ entspricht hier der Dosis, also die Zahl der implantierten Ionen pro Fl"ache, $\Delta R_p$ ist die Standardabweichung der projezierten Reichweite $R_p$.

Folgende Abbildung zeigt ein tiefenabh"angiges Implantationsprofil zusammen mit elektronischen und nuklearen Energieverlust, ermittelt durch das Monte-Carlo-Simulationsprogramm TRIM.\\
\includegraphics{implsim_.eps}

\section{Amorphisierung}
Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen. Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen. Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden. Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease zu
\[
 N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
\]
abgesch"atzt werden.

Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren. Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht. Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen. Dieser kann an amorph/kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren.

F"ur die weitere Arbeit von Bedeutung, ist der experimentelle Befund, da"s sich die Intensit"at der Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt.


\chapter{Modell und Simulation}

\section{Gegenstand der Simulation}
Wie bereits in der Einleitung erw"ahnt, soll in dieser Arbeit nur die Entstehung und Selbstorganisation lamellarer amorpher Ausscheidungen oberhalb des Implantationsmaximums behandelt werden. Diese beobachtet man bei Implantationen in $(100)$-orientiertes Silizium bei niedrigen Targettemperaturen, typischerweise $T<400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$. "Ahnliches wurde auch bei der Hochdosis-Sauerstoff-Implantation in Silizium gefunden.

Implantationsprofile oder nukleare Bremskr"afte, so wie weitere verwendete Ergebnisse werden nicht simuliert. Im Gegenteil, diese Gr"o"sen werden aus schon existierenden Simulationsprogrammen wie TRIM entnommen.

Folgende Abbildung zeigt eine TEM-Aufnahme einer mit $4,3 \times 10^{17} \frac{C}{cm^2}$ implantiertenProbe bei einer Targettemperatur von $150 \, ^{\circ} \mathrm{C}$. Da die amorphe $SiC_x$-Schicht nicht weiter von Interesse ist, beschr"ankt sich das Simulationsfenster von Anfang der Probe bis zu Beginn der durchgehenden amorphen Schicht (hier ca. $310nm$). Ziel ist es, die in der rechten Vergr"o"serung gut zu erkennenden lamellaren und sph"arischen Einschl"u"se zu reproduzieren.\\
\includegraphics[width=10cm]{k393abild1.eps}

\section{Das Modell}
Im Folgenden wird ein Modell vorgestellt, welches die Bildung und Selbstorganisation der beobachteten lamellaren Strukturen zu erkl"aren versucht. Die untenstehende Grafik soll das Modell veranschaulichen.\\
\\
\includegraphics[width=12cm]{model1_.eps}
\\
Die sehr geringe L"oslichkeit von Kohlenstoff in Silizium bei Raumtemperatur, f"uhrt bei gen"ugend hoher Kohlenstoffkonzentration zu sph"arischen $SiC_x$-Ausscheidungen. Da die Gitterkonstante von kubischen Siliziumkarbid ($4,36$\AA) fast um $20\%$ kleiner als die von reinen kristallinen Silizium ($5,43$\AA) ist, hat die Nukleation von kristallinen $3C-SiC$ in $c-Si$ eine hohe Grenzfl"chenenergie zur Folge. Daher ist es energetisch g"unstiger wenn eins der beiden Substanzen in amorpher Form besteht. Da reines amorphes Silizium instabil unter den gegebenen Bedingungen ist und ionenstrahlinduziert epitaktisch rekristallisiert, wird die kohlenstoffreichere Phase in amorpher Form vorliegen.

Weil $SiC$ im amorphen Zustand eine $20-30\%$ geringere Dichte als im kristallinen Zustand besitzt, ist dies auch f"ur amorphes $SiC_x$ anzunehmen. Dies f"uhrt zum Bestreben der amorphen Gebiete sich auszudehnen, weshalb Druckspannungen auf die Umgebung wirken. Da es sich um eine sehr d"unne Probe handelt, k"onnen die Druckspannungen in vertikaler Richtung relaxieren. In horizontaler Richtung erschweren die Druckspannungen den Wiedereinbau der durch Sto"skaskaden verlagerten Atome auf ihre regul"aren Gitterpl"atze. Somit werden bevorzugt Gebiete zwischen schon amorphen Einschl"ussen amorphisiert. Dies f"uhrt zur Stabilisierung der selbstorganisierten lamellaren Struktur.

Eine weitere M"oglichkeit des Systems zur Energieminimierung ist Diffusion. Dabei wird durch Diffusion von Kohlenstoff in amorphe Gebiete eine Reduzierung der Kohlenstoff"ubers"attigung in kristallinen Gebieten erreicht.

\section{weitere Modellannahmen}
\subsection{Strahlensch"adigung und nukleare Bremskraft}
\subsection{Druckspannung und Amorphisierung}
\subsection{Implantationsprofil und Kohlenstoffverteilung}
\subsection{Diffusionsprozesse}

\section{Simulation}
\subsection{Vom Modell zur Simulation}
\subsection{Ablaufschema}
\originalTeX
\begin{figure}[thbp]
\begin{center}
\begin{graph}(8,30)
 \graphnodecolour{1}
 \textnode{start}(4,30){nlsop start}
 \rectnode{rand1}[6,3](4,27.5)
 \freetext(4,28.5){zufaellige Wahl der Koordinaten:}
 \freetext(4,27.5){$p(x)dx=dx$}
 \freetext(4,27){$p(y)dy=dy$}
 \freetext(4,26.5){$p(z)dz=(a_{el}*z+b_{el})dz$}
 \diredge{start}{rand1}
 \rectnode{p_ac_ca}[9,3](4,23.5)
 \freetext(4,24.5){Berechnung der $p_{a \rightarrow c}$ bzw. $p_{c \rightarrow a}$:}
 \freetext(4,23.5){$\displaystyle p_{c \rightarrow a}=\sum_{amorphe Nachbarn} \frac{a_{ap}}{\textrm{Abstand}^2} + b_{ap} + a_{cp}c_{\textrm{Kohlenstoff}}$}
 \freetext(4,22.5){$\displaystyle p_{a \rightarrow c}=1-p_{c \rightarrow a}$}
 \diredge{rand1}{p_ac_ca}
 \textnode{ac}(4,21){Zelle $(x,y,z)$ amorph?}
 \diredge{p_ac_ca}{ac}
 \textnode{d_c}(2,19.5){Zufallszahl $< p_{a \rightarrow c}$ ?}
 \textnode{d_a}(6,19.5){Zufallszahl $< p_{c \rightarrow a}$ ?}
 \diredge{ac}{d_a}
 \edgetext{ac}{d_a}{nein}
 \diredge{ac}{d_c}
 \edgetext{ac}{d_c}{ja}
 \textnode{amount_c}(4,16.5){$\textrm{gesamter Kohlenstoff} < \textrm{steps} * c_{ratio}$ ?}
 \diredge{d_c}{amount_c}
 \diredge{d_a}{amount_c}
 \textnode{make_c}(1,18){Zelle $(x,y,z) = \textrm{kristallin}$}
 \textnode{make_a}(7,18){Zelle $(x,y,z) = \textrm{amorph}$}
 \diredge{d_c}{make_c}
 \edgetext{d_c}{make_c}{ja}
 \diredge{d_a}{make_a}
 \edgetext{d_a}{make_a}{ja}
 \diredge{make_c}{amount_c}
 \diredge{make_a}{amount_c}
 \rectnode{rand2}[5,3](1.5,14)
 \freetext(1.5,15){zufaellige Koordinaten:}
 \freetext(1.5,14){$p(x)dx=dx$}
 \freetext(1.5,13.5){$p(y)dy=dy$}
 \freetext(1.5,13){$p(z)dz=(a_{cd}*z+b_{cd})dz$}
 \diredge{amount_c}{rand2}
 \freetext(3,16){ja}
 \rectnode{inc_c}[5,1.5](1.5,11)
 \freetext(1.5,11){Erhoehe $c_{Kohlenstoff}(x,y,z)$}
 \freetext(1.5,10.5){Erhoehe gesamten Kohlenstoff}
 \diredge{rand2}{inc_c}
 \textnode{d_d}(5,9.5){Diffusion}
 \diredge{inc_c}{d_d}
 \diredge{amount_c}{d_d}
 \edgetext{amount_c}{d_d}{nein}
\end{graph}
\end{center}
\germanTeX
\caption{ablaufschema}
\end{figure}

\begin{figure}[thpb]
\begin{center}
\begin{graph}(8,30)
 \graphnodecolour{1}
 \textnode{n_start}(4,30){Diffusion}
 \textnode{d_d}(4,29){steps vielfaches von diffrate?}
 \diredge{n_start}{d_d}
 \textnode{diff_for_loop}(2,28){Gehe verbleibende Zellen durch}
 \diredge{d_d}{diff_for_loop}
 \edgetext{d_d}{diff_for_loop}{ja}
 \textnode{d_c}(2,27){Zelle kristallin?}
 \diredge{diff_for_loop}{d_c}
 \textnode{c_diff}(0.5,26){Gehe alle Nachbarn durch}
 \diredge{d_c}{c_diff}
 \edgetext{d_c}{c_diff}{ja}
 \textnode{c2a_diff}(5.5,26){Gehe alle Nachbarn durch}
 \diredge{d_c}{c2a_diff}
 \edgetext{d_c}{c2a_diff}{nein}
 \textnode{n_c}(0.5,25){Nachbar kristallin?}
 \diredge{c_diff}{n_c}
 \textnode{n_c2}(5.5,25){Nachbar kristallin?}
 \diredge{c2a_diff}{n_c2}
 \rectnode{c2c_d}[4,1.5](0.5,23.5)
 \freetext(0.5,23.5){Bewege $\frac{\textrm{Differenz}}{2}*\textrm{dr cc}$}
 \freetext(0.5,23){der Kohlenstoffatome}
 \diredge{n_c}{c2c_d}
 \freetext(0.7,24.5){ja}
 \rectnode{c2a_d}[4,1.5](6,23.5)
 \freetext(6,24){Bewege}
 \freetext(6,23.5){$c_C(Nachbar)*\textrm{dr ac}$}
 \freetext(6,23){der Kohlenstoffatome}
 \diredge{n_c2}{c2a_d}
 \freetext(6.2,24.5){ja}
 \textnode{ne1}(0.5,22){Alle Nachbarn durch?}
 \diredge{c2c_d}{ne1}
 \dirbow{n_c}{ne1}{-0.8}
 \freetext(-2,24.5){nein}
 \dirbow{ne1}{c_diff}{-0.6}
 \freetext(2.5,22.5){nein}
 \textnode{ne2}(6,22){Alle Nachbarn durch?}
 \diredge{c2a_d}{ne2}
 \dirbow{n_c2}{ne2}{0.9}
 \freetext(8,24.5){nein}
 \dirbow{ne2}{c2a_diff}{0.6}
 \freetext(4,22.5){nein}
 \textnode{ze}(3,21){Alle Zellen durch?}
 \dirbow{ze}{diff_for_loop}{-0.1}
 \freetext(3,25){nein}
 \diredge{ne1}{ze}
 \edgetext{ne1}{ze}{ja}
 \diredge{ne2}{ze}
 \edgetext{ne2}{ze}{ja}
 \textnode{test_sf}(3,20){steps vielfaches von save intervall?}
 \diredge{ze}{test_sf}
 \edgetext{ze}{test_sf}{ja}
 \dirbow{d_d}{test_sf}{0.6}
 \bowtext{d_d}{test_sf}{0.6}{nein}
 \textnode{sf}(1,19){save data}
 \diredge{test_sf}{sf}
 \edgetext{test_sf}{sf}{ja}
 \textnode{test_display}(3,18){steps vielfaches von display intervall?}
 \diredge{sf}{test_display}
 \diredge{test_sf}{test_display}
 \edgetext{test_sf}{test_display}{nein}
 \textnode{display}(1.5,17){display}
 \diredge{test_display}{display}
 \edgetext{test_display}{display}{ja}
 \textnode{test_end}(3,16){$\textrm{steps} = \textrm{max steps}$?}
 \diredge{display}{test_end}
 \diredge{test_display}{test_end}
 \edgetext{test_display}{test_end}{nein}
 \textnode{nlsop_start}(7,16){nlsop start}
 \diredge{test_end}{nlsop_start}
 \edgetext{test_end}{nlsop_start}{nein}
 \textnode{sf2}(3,15){save data}
 \diredge{test_end}{sf2}
 \edgetext{test_end}{sf2}{ja}
 \textnode{display2}(3,14){user interaction?}
 \diredge{sf2}{display2}
 \textnode{nlsop_end}(1.5,13){nlsop end}
 \diredge{display2}{nlsop_end}
 \edgetext{display2}{nlsop_end}{nein}
 \textnode{d_a_w_f_e}(5.5,13){display and wait for event}
 \diredge{display2}{d_a_w_f_e}
 \edgetext{display2}{d_a_w_f_e}{ja}
 \textnode{test_event}(5.5,12){event $=$ quit?}
 \diredge{d_a_w_f_e}{test_event}
 \diredge{test_event}{nlsop_end}
 \edgetext{test_event}{nlsop_end}{ja}
 \textnode{ea}(5.5,11){eventaction}
 \diredge{test_event}{ea}
 \edgetext{test_event}{ea}{nein}
 \dirbow{ea}{d_a_w_f_e}{-0.6}
\end{graph}
\end{center}
\germanTeX
\caption{ablaufschema 2}
\end{figure}
 


\end{document}
