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\begin{document}

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\slideheight 19.6cm 

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% topic

\begin{slide}
%\centerslidesfalse
\begin{center}
 \begin{minipage}{2.0cm}
  \begin{center}
  \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
  \end{center}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{8.0cm}
  \begin{center}
  {\large\bf
  Molekulardynamische Simulation\\
  von Silizium
  }
  \end{center}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{2.3cm}
  \begin{center}
  \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
  \end{center}
 \end{minipage}
\end{center}
\begin{picture}(350,40)
\end{picture}
\begin{center}
Frank Zirkelbach
\end{center}
\begin{picture}(350,40)
\end{picture}
\begin{center}
 {\small 14.06.2007}
\end{center}
\end{slide}

% start of content
\ptsize{8}

\begin{slide}
{\large\bf
 "Uberblick
}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
\begin{center}
 {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von 
 {\color{green} Silizium}
\end{center}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
\begin{itemize}
 \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
 \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
 \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
 \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
\begin{center}
 Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
\end{center}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
MC:
\begin{itemize}
 \item stochastische Simulation
 \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
\end{itemize}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
MD:
\begin{itemize}
 \item deterministische Simulation
 \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
\end{itemize}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Prinzip der MD-Simulation
}
\begin{itemize}
 \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
 \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
       $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
 \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
 \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
       \[
       \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
       \qquad
       \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
       \]\\
       Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
\end{itemize}
$\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
$\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
{\large\bf
 Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
}
\begin{itemize}
 \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
 \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
 \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Integration der Bewegungsgleichungen
}
\begin{itemize}
 \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
 \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
       \[
       m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
       \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
       m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
       \]
       \begin{center}
       (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
       \end{center}
 \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
       \[
       \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
       \]
       \begin{center}
        (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
       \end{center}
       Beispiel Euler:\\
       ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
       ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
\end{itemize}
{\large\bf
 Anforderungen an den Integrator
}  
\begin{itemize}
 \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
 \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
 \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
}
\begin{itemize}
 \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
       \begin{eqnarray}
       {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
                                \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
                                \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
                                \nonumber \\
       {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
                                \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
                                \nonumber \\
       {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
                                \nonumber \\
       {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
                                \nonumber
       \end{eqnarray}
 \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
       f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
       $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
       $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
       {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
 \item Korrektur:
       \begin{eqnarray}
       {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
                                   c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
       {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
                                   c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
       {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
                                   c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
       {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
                                   c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
       \end{eqnarray}
 \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
\end{itemize}
{\scriptsize
 C. W. Gear.
 The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
 (1966)\\
 C. W. Gear.
 Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
 (1971)
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Velocity Verlet
}\\
Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
\begin{eqnarray}
 {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
                         \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
 {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
                         {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
\end{eqnarray}
Alogrithmus:
\begin{itemize}
 \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
 \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
       \[
       {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
       \]
 \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
       $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
 \item Update der Geschwindigkeiten
       \[
       {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
                             \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
       \]
\end{itemize}
Eigenschaften:
\begin{itemize}
 \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
 \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
 \item verh"altnism"a"sig pr"azise
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
}\\
Klassisches Potential:
\[
{\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
               \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
               \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
               \ldots
\]
\begin{minipage}{8.3cm}
\begin{itemize}
 \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
 \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
                         (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
 \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
       (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
 \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
 \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
 \item nur Paarpotential\\
       $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
       $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
 \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
\end{minipage}
Cut-Off Radius $r_c$:
\begin{itemize}
 \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
 \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
\end{itemize}
\begin{picture}(350,5)
\end{picture}
Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Wahl/Kontrolle des Ensembles
}\\
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
Erinnerung:
\begin{itemize}
 \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
 \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
 \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
\end{itemize}
$\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
\[
 \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
\]
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
F"ur andere Ensembles:
\begin{itemize}
 \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
       im gew"unschten Ensemble
\end{itemize}
\begin{center}
{\color{red} oder}
\end{center}
\begin{itemize}
 \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
       $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
       Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
       Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 kanonisches Ensemble (NVT)
}\\
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
Trick: {\em temperature scaling}
\begin{itemize}
 \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
 \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
 \item eigentlich {\em velocity scaling}
 \item Berendsen Thermostat:
       \[
       \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
       \]
       \begin{center}
       $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
       {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
       \end{center}
\end{itemize}
Andersen:
\begin{itemize}
 \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
       der Temperatur
 \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
 \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
 \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
       (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 isothermales isobares Ensemble (NpT)
}\\
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
Trick: {\em pressure scaling}
\begin{itemize}
 \item analog zum {\em temperature scaling}
 \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
 \item eigentlich {\em volume scaling}
 \item Berendsen Barostat:
       \[
       \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
       \]
\end{itemize}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
Andersen:
\begin{itemize}
 \item modifizierte Bewegungsgleichung
       (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
       \[
       \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
                  =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
                   \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
                   \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
       \]
 \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
 \item Physikalische Interpretation:\\
       Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
       mit externen Druck $\alpha$
 \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
       ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
                 m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
\end{itemize}
{\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Die Simulationszelle \& Randbedingungen
}\\
Simulationszelle:
\begin{itemize}
 \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
 \item meist orthogonale Simulationszelle
 \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
 \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
\end{itemize}
Randbedingungen:
\begin{itemize}
 \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
       (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
 \item besser: periodische Randbedingungen
\end{itemize}
\begin{center}
 \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
\end{center}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
}\\
Simulation von Oberfl"achen:
\begin{itemize}
 \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
 \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
 \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
\end{itemize}
\includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 $SiC$-Ausscheidung in Silizium
}\\
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
\begin{minipage}{8cm}
\includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
\begin{itemize}
 \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
       (schaffrierter Bereich)\\
       $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
 \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
       (blauer Bereich)\\
       $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
 \item feste Randatome, Bulk\\
       (schwarzer Bereich)
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Die Zell-Methode
}\\
Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
\begin{itemize}
 \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
       \begin{itemize}
        \item gehe alle Atome $j$ durch
        \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
       \end{itemize}
       $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
 \item Zell-Methode:\\
       \begin{minipage}{6cm}
       \begin{itemize}
        \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
              $M \times M \times M$ Subzellen\\
              mit L"ange $l=L/M>r_c$
        \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
              $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
        \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
              $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
              $N/M^3$ Materialkonstante
       \end{itemize}
       $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
       \end{minipage}
       \begin{minipage}{5cm}
        \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
       \end{minipage}
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Thermodynamische Gr"o"sen
}
\begin{itemize}
 \item Innere Energie:
       \[
       E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{|{\bf p}_i|^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
       \]
 \item Temperatur:
       \[
       E_{kin}=<K>=\frac{3}{2}Nk_BT
       \Rightarrow T=\frac{1}{3Nk_B} \sum_i \frac{|{\bf p}_i|^2}{m_i}
       \]
 \item Druck
 \item W"armekapazit"at
 \item Struktur Werte
 \item Diffusion
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Tersoff
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 EAM
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Albe Reparametrisierung
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Zusammenfassung / Ausblick
}\\
\begin{tabular}{|l|c|lr|}
\hline
Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
\hline
{\bf Integrator} & & & \\
Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
{\bf Potential} & & & \\
Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
                                 &  $\bullet\bullet\bullet$ \\
EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
{\bf Ensembles} & & & \\
{\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
{\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
{\bf Simulationzelle} & & & \\
periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
$T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
                                & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{slide}

\end{document}
