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\begin{document}

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% topic

\begin{slide}
%\centerslidesfalse
\begin{center}
 \begin{minipage}{2.0cm}
  \begin{center}
  \includegraphics[height=1.6cm]{uni-logo.eps}
  \end{center}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{8.0cm}
  \begin{center}
  {\large\bf
  Molekulardynamische Simulation\\
  von Silizium
  }
  \end{center}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}{2.3cm}
  \begin{center}
  \includegraphics[height=1.5cm]{Lehrstuhl-Logo.eps}
  \end{center}
 \end{minipage}
\end{center}
\begin{picture}(350,40)
\end{picture}
\begin{center}
Frank Zirkelbach
\end{center}
\begin{picture}(350,40)
\end{picture}
\begin{center}
 {\small 14.06.2007}
\end{center}
\end{slide}

% start of content
\ptsize{8}

\begin{slide}
{\large\bf
 "Uberblick
}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
\begin{center}
 {\color{blue} Molekulardynamische Simulation} von 
 {\color{green} Silizium}
\end{center}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
\begin{itemize}
 \item {\color{blue} Grundlagen} der {\color{blue}MD-Simulation}
 \item MD in der Praxis - die Numerik im Detail
 \item {\color{green} Potential} f"ur {\color{green} kovalent gebundene Materialien}
 \item Zusammengefasst: Die {\em moldyn} Bibliothek
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Atomistische Simulationen - Unterschied MC / MD
}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
\begin{center}
 Methoden zur Beschreibung eines Vielteilchen-Systems\\
\end{center}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
MC:
\begin{itemize}
 \item stochastische Simulation
 \item Abrastern des Phasenraums durch Metropolis Algorithmus
 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Monte Carlo Schritten
\end{itemize}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
MD:
\begin{itemize}
 \item deterministische Simulation
 \item N"achster Phasenraumpunkt bestimmt durch Bewegungsgleichung
 \item Systemgr"o"se: Mittelwert aus allen Zeitschritten
\end{itemize}
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Prinzip der MD-Simulation
}
\begin{itemize}
 \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
 \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
       $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
 \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
 \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
       \[
       \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
       \qquad
       \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
       \]\\
       Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
\end{itemize}
$\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
$\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
\begin{picture}(350,10)
\end{picture}
{\large\bf
 Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
}
\begin{itemize}
 \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
 \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
 \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Integration der Bewegungsgleichungen
}
\begin{itemize}
 \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
 \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
       \[
       m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
       \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
       m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
       \]
       \begin{center}
       (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
       \end{center}
 \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
       \[
       \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
       \]
       \begin{center}
        (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
       \end{center}
       Beispiel Euler:\\
       ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
       ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
\end{itemize}
{\large\bf
 Anforderungen an den Integrator
}  
\begin{itemize}
 \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
 \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
 \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
}
\begin{itemize}
 \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
       \begin{eqnarray}
       {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
                                \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
                                \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
                                \nonumber \\
       {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
                                \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
                                \nonumber \\
       {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
                                \nonumber \\
       {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
                                \nonumber
       \end{eqnarray}
 \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
       f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
       $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
       $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
       {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
 \item Korrektur:
       \begin{eqnarray}
       {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
                                   c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
       {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
                                   c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
       {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
                                   c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
       {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
                                   c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
       \end{eqnarray}
 \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
\end{itemize}
{\scriptsize
 C. W. Gear.
 The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
 (1966)\\
 C. W. Gear.
 Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
 (1971)
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Velocity Verlet
}\\
Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
\begin{eqnarray}
 {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
                         \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
 {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
                         {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
\end{eqnarray}
Alogrithmus:
\begin{itemize}
 \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
 \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
       \[
       {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
       \]
 \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
       $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
 \item Update der Geschwindigkeiten
       \[
       {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
                             \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
       \]
\end{itemize}
Eigenschaften:
\begin{itemize}
 \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
 \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
 \item verh"altnism"a"sig pr"azise
\end{itemize}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
}\\
Klassisches Potential:
\[
{\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
               \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
               \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
               \ldots
\]
\begin{minipage}{8.3cm}
\begin{itemize}
 \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
 \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
                         (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
 \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
       (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
 \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
 \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
 \item nur Paarpotential\\
       $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
       $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{4cm}
 \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
\end{minipage}
Cut-Off Radius $r_c$:
\begin{itemize}
 \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
 \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
\end{itemize}
\begin{picture}(350,5)
\end{picture}
Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Wahl/Kontrolle des Ensembles
}
Erinnerung:\\
Stichproben
Bisher: NVE-Ensemble
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 kanonisches Ensemble (NVT)
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 isothermales isobares Ensemble (NpT)
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Die Simulationszelle \& Randbedingungen
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Trick: Nachbarlisten \& Zell-Methode
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Thermodynamische Gr"o"sen
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 3-K"orper Potentiale
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Brenner / Tersoff
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 EAM
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Albe Reparametrisierung
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Zusammenfassung
}
\end{slide}

\begin{slide}
{\large\bf
 Ausblick
}
\end{slide}

\end{document}
