+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Prinzip der MD-Simulation
+}
+\begin{itemize}
+ \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
+ \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
+ $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
+ \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
+ \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
+ \[
+ \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
+ \qquad
+ \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
+ \]\\
+ Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
+\end{itemize}
+$\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
+$\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+{\large\bf
+ Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
+}
+\begin{itemize}
+ \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
+ \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
+ \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Integration der Bewegungsgleichungen
+}
+\begin{itemize}
+ \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
+ \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
+ \[
+ m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
+ \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
+ m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
+ \]
+ \begin{center}
+ (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
+ \end{center}
+ \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
+ \[
+ \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
+ \]
+ \begin{center}
+ (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
+ \end{center}
+ Beispiel Euler:\\
+ ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
+ ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
+\end{itemize}
+{\large\bf
+ Anforderungen an den Integrator
+}
+\begin{itemize}
+ \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
+ \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
+ \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
+}
+\begin{itemize}
+ \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
+ \begin{eqnarray}
+ {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
+ \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber
+ \end{eqnarray}
+ \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
+ f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
+ $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
+ $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
+ {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
+ \item Korrektur:
+ \begin{eqnarray}
+ {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
+ c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
+ c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
+ c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
+ c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
+ \end{eqnarray}
+ \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
+\end{itemize}
+{\scriptsize
+ C. W. Gear.
+ The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
+ (1966)\\
+ C. W. Gear.
+ Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
+ (1971)
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Velocity Verlet
+}\\
+Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
+\begin{eqnarray}
+ {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
+ {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
+ {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
+\end{eqnarray}
+Alogrithmus:
+\begin{itemize}
+ \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
+ \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
+ \[
+ {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
+ \]
+ \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
+ $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
+ \item Update der Geschwindigkeiten
+ \[
+ {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
+ \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
+ \]
+\end{itemize}
+Eigenschaften:
+\begin{itemize}
+ \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
+ \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
+ \item verh"altnism"a"sig pr"azise
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
+}\\
+Klassisches Potential:
+\[
+{\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
+ \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
+ \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
+ \ldots
+\]
+\begin{minipage}{8.3cm}
+\begin{itemize}
+ \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
+ \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
+ (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
+ \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
+ (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
+ \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
+ \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
+ \item nur Paarpotential\\
+ $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
+ $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+ \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
+\end{minipage}
+Cut-Off Radius $r_c$:
+\begin{itemize}
+ \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
+ \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,5)
+\end{picture}
+Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Wahl/Kontrolle des Ensembles
+}\\
+Erinnerung:
+\begin{itemize}
+ \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum
+ \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
+ \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
+\end{itemize}
+$\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
+\[
+ \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
+\]
+F"ur ander Ensembles:
+\begin{itemize}
+ \item Anpassung der Bewegungsgleichungen
+ \item Tricks
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ kanonisches Ensemble (NVT)
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ isothermales isobares Ensemble (NpT)
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Die Simulationszelle \& Randbedingungen
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Trick: Nachbarlisten \& Zell-Methode
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Thermodynamische Gr"o"sen
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ 3-K"orper Potentiale
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Brenner / Tersoff
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ EAM
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Albe Reparametrisierung
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Zusammenfassung
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Ausblick
+}
+\end{slide}
+