+\setlength{\unitlength}{0.5cm}
+\begin{picture}(10,2)
+ \thicklines
+ \put(0,0.7){$\bullet$}
+ \put(0,0){$1$}
+ \put(0.1,0.9){\line(1,0){2}}
+ \put(2,0.7){$\bullet$}
+ \put(2,0){$2$}
+ \put(2.1,0.9){\line(1,0){2}}
+ \put(4,0.7){$\bullet$}
+ \put(4,0){$3$}
+ \put(4.1,0.8){\ldots \ldots}
+ \put(6,0.7){$\bullet$}
+ \put(6,0){$N$}
+\end{picture} \\
+\\
+Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
+\[
+ H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
+\]
+Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
+Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
+\\
+Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
+\[
+ E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
+\]
+Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
+\[
+ M = <S_1>
+\]
+Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
+\[
+ Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
+\]
+Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
+\\
+Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
+\[
+\begin{array}{l}
+ <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
+ \\
+ \textrm{also:} \\
+ <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
+ <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
+ <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
+ \\
+ wobei: \\
+ \begin{array}{ll}
+ |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
+ |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
+ \end{array}
+\end{array}
+\]
+Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
+\[
+ \mathbf{T} =
+ \left(
+ \begin{array}{cc}
+ e^{K+h} & e^{-K} \\
+ e^{-K} & e^{K-h}
+ \end{array}
+ \right)
+ \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
+\]
+Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
+\[
+ \begin{array}{ll}
+ Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
+ & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
+ & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
+ \end{array}
+\]
+Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
+\[
+ \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
+\]
+Daraus folgt:
+\[
+ \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
+\]
+Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
+\[
+ \begin{array}{l}
+ \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
+ Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
+ F = -k_B T \, \textrm{ln} \. Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
+ \end{array}
+\]
+Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
+Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
+\[
+ \begin{array}{ll}
+ M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
+ & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
+ & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
+ & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
+
+ \end{array}
+\]
+Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
+\\
+\setlength{\unitlength}{2cm}
+\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
+ \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
+ \put(2.7,-0.1){$B_0$}
+ \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
+ \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \put(0.2,1.4){$M$}
+ \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
+ \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
+\end{picture}
+\\
+Erkenntnis:\\
+\begin{itemize}
+\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
+\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell
+\end{itemize}
+