@@ -137,7+137,7 @@ die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die An
Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
@@ -244,7+244,7 @@ Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
\end{array}
\]
\end{array}
\]
-Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
+Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. F"ur sehr grosse Magnetfelder s"attigt sie.
\\
\setlength{\unitlength}{2cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
\\
\setlength{\unitlength}{2cm}
\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
@@ -260,8+260,8 @@ Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die
\\
Erkenntnis:\\
\begin{itemize}
\\
Erkenntnis:\\
\begin{itemize}
-\item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
-\item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
+\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
+\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
\end{itemize}
F"ur $T=0$ kann obere Approximation nicht mehr verwendet werden, da gilt:
\[
\end{itemize}
F"ur $T=0$ kann obere Approximation nicht mehr verwendet werden, da gilt:
\[
@@ -325,14+325,14 @@ Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
\\
Fazit:
\begin{itemize}
\\
Fazit:
\begin{itemize}
-\item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
+\item es existiert ein Phasen"ubergang zweiter Ordnung
\item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
\end{itemize}
\section{L"osung f"ur $d=3$}
\item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
\end{itemize}
\section{L"osung f"ur $d=3$}
-Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
+Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch "uberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
\\
\\
-Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
+Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasen"uberg"ange.
\chapter{Monte Carlo Simulation}
Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
\chapter{Monte Carlo Simulation}
Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
@@ -345,7+345,7 @@ Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
\displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
\end{array}
\]
\displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
\end{array}
\]
-Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
+Anstatt "uber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
\[
<A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
\]
\[
<A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
\]
@@ -377,10+377,10 @@ Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algori
\]
Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
\begin{itemize}
\]
Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen: