]> hackdaworld.org Git - lectures/latex.git/commitdiff
finished solutions 2
authorhackbard <hackbard@sage.physik.uni-augsburg.de>
Mon, 2 Jun 2008 14:11:02 +0000 (16:11 +0200)
committerhackbard <hackbard@sage.physik.uni-augsburg.de>
Mon, 2 Jun 2008 14:11:02 +0000 (16:11 +0200)
solid_state_physics/tutorial/2_02s.tex [new file with mode: 0644]
solid_state_physics/tutorial/sc_mfield.gpi [new file with mode: 0644]

diff --git a/solid_state_physics/tutorial/2_02s.tex b/solid_state_physics/tutorial/2_02s.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..8c12196
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,115 @@
+\pdfoutput=0
+\documentclass[a4paper,11pt]{article}
+\usepackage[activate]{pdfcprot}
+\usepackage{verbatim}
+\usepackage{a4}
+\usepackage{a4wide}
+\usepackage[german]{babel}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{ae}
+\usepackage{aecompl}
+\usepackage[dvips]{graphicx}
+\graphicspath{{./img/}}
+\usepackage{color}
+\usepackage{pstricks}
+\usepackage{pst-node}
+\usepackage{rotating}
+
+\setlength{\headheight}{0mm} \setlength{\headsep}{0mm}
+\setlength{\topskip}{-10mm} \setlength{\textwidth}{17cm}
+\setlength{\oddsidemargin}{-10mm}
+\setlength{\evensidemargin}{-10mm} \setlength{\topmargin}{-1cm}
+\setlength{\textheight}{26cm} \setlength{\headsep}{0cm}
+
+\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
+\renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumii})}
+\renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii})}
+
+\begin{document}
+
+% header
+\begin{center}
+ {\LARGE {\bf Materials Physics II}\\}
+ \vspace{8pt}
+ Prof. B. Stritzker\\
+ SS 2008\\
+ \vspace{8pt}
+ {\Large\bf Tutorial 2 - proposed solutions}
+\end{center}
+
+\section{Critical current in the surface region of a type 1 superconductor}
+\[
+ j_s(r)=j_s(R)\exp\left(\frac{-(R-r)}{\lambda}\right)
+\]
+$R$: radius of the wire, $r$: distance from the cylinder axis,
+and $\lambda$: London penetration depth.
+
+\begin{enumerate}
+ \item $I_c=\int_0^R dr \int_0^{2\pi} d\phi \, j_c(r) r$\\
+       $\Rightarrow I_c=\int_0^R dr \, 2\pi j_c(r) r
+        = j_c(R)2\pi \int_0^R dr \, r \exp(-(R-r)/\lambda)
+       = j_c(R)2\pi \exp(-R/\lambda) \int_0^R dr \, r \exp(r/\lambda)$
+       $x=\frac{r}{\lambda} \rightarrow \frac{dx}{dr}=\frac{1}{\lambda}
+        \Rightarrow dr=\lambda dx$, $r=\lambda x$
+       $\Rightarrow
+        I_c=j_c(R)2\pi \lambda^2 \exp(-R/\lambda) \int_0^R d(\frac{r}{\lambda})
+           \, \frac{r}{\lambda} \exp(\frac{r}{\lambda})$
+       Integration by parts: $\int uv' = uv - \int vu'$\\
+       $\int xe^x dx = xe^x-\int e^x dx=xe^x-e^x+c=e^x(x-1)+c$\\
+       $\Rightarrow
+        I_c=j_c(R)2\pi \lambda^2\exp(-R/\lambda) \left[
+        \exp(\frac{r}{\lambda})(r\lambda-1) \right]_0^R$\\
+       $\left[ \exp(\frac{r}{\lambda})(r\lambda-1) \right]_0^R=
+        \exp(R/\lambda)(R/\lambda-1)-1(-1)$\\
+       $\Rightarrow I_c=j_c(R)2\pi \lambda^2 \left[
+        \underbrace{\exp(-R/\lambda)\exp(R/\lambda)}_{=1}
+       (R/\lambda-1)+
+       \underbrace{\exp(-R/\lambda)}_{\approx 0 \text{, since } \lambda\ll R} \right]$\\
+       $\Rightarrow
+        I_c\approx j_c(R)2\pi \lambda^2
+       \underbrace{(R/\lambda-1)}_{\approx R/\lambda}\approx
+       j_c(R)2\pi \lambda R$\\
+       $\Rightarrow j_c(R)\approx\frac{I_c}{2\pi R\lambda}$
+ \item $j_c(R,T=0)=\frac{I_c(T=0)}{2\pi R\lambda(T=0)}
+        =7.9\cdot 10^7\frac{A}{cm^2}$
+\end{enumerate}
+
+\section{Penetration of the magnetic field into a type 1 superconductor}
+\[
+ {\bf B}_s=\mu_0 \left({\bf H}_a + {\bf M}_s\right)
+\]
+${\bf H}_a$: strength of the applied magnetic field,
+${\bf M}_s$: magnetization of the superconductor.
+
+\begin{enumerate}
+ \item $\frac{1}{\mu_0} rot {\bf B}_s =
+        rot {\bf H}_a + rot {\bf M}_s
+       \stackrel{rot {\bf H}={\bf j}+\frac{d{\bf D}}{dt}}{=}
+       \underbrace{{\bf j}_a}_{=0}
+       +{\bf j}_s$\\
+       $\Rightarrow
+        rot {\bf B}_s=\mu_0 {\bf j}_s \qquad | rot ...$\\
+       $\Rightarrow
+        \underbrace{rot rot {\bf B}_s}_{grad \underbrace{div {\bf B}_s}_{=0}
+       -\Delta {\bf B}_s}
+       =\mu_0rot {\bf j}_s\stackrel{\text{London II}}{=}
+       -\frac{\mu_0}{\Lambda}{\bf B}_s$\\
+       $\Rightarrow
+        \Delta {\bf B}_s=\frac{\mu_0}{\Lambda}{\bf B}_s$
+ \item ${\bf B}_a=\mu_0 H_a {\bf e}_z$, ${\bf B}_s=B_{s_z}(x) {\bf e}_x$\\
+       Diff. equation: $\frac{d^2}{dx^2}B_{s_z}(x)-
+                        \frac{\mu_0}{\Lambda}B_{s_z}(x)=0$\\
+       Solution: $B_{s_z}(x)=B_{s_z}(0)\exp(-\frac{x}{\lambda})$, with
+                 $\lambda=\sqrt{\frac{\Lambda}{\mu_0}}$\\
+       \includegraphics[width=16cm]{mfsc.ps}
+ \item $\mu_0 {\bf j}_s=rot{\bf B}_s=
+        \frac{-\partial B_{s_z}(x)}{\partial x} {\bf e}_y=
+       \frac{1}{\lambda} B_a \exp(-\frac{x}{\lambda}){\bf e}_y$\\
+       $\Rightarrow$ Direction of screening current is ${\bf e}_y$.\\
+       $\Rightarrow$ Exponential decay inside the SC.\\
+       Interface: ${\bf j}_s(x=0)=\frac{B_a}{\lambda\mu_0} {\bf e}_y$
+\end{enumerate}
+
+\end{document}
diff --git a/solid_state_physics/tutorial/sc_mfield.gpi b/solid_state_physics/tutorial/sc_mfield.gpi
new file mode 100644 (file)
index 0000000..072b7da
--- /dev/null
@@ -0,0 +1,160 @@
+#!/usr/bin/gnuplot -persist
+#
+#    
+#      G N U P L O T
+#      Version 4.2 patchlevel 2 
+#      last modified 31 Aug 2007
+#      System: Linux 2.6.22-2-686
+#    
+#      Copyright (C) 1986 - 1993, 1998, 2004, 2007
+#      Thomas Williams, Colin Kelley and many others
+#    
+#      Type `help` to access the on-line reference manual.
+#      The gnuplot FAQ is available from http://www.gnuplot.info/faq/
+#    
+#      Send bug reports and suggestions to <http://sourceforge.net/projects/gnuplot>
+#    
+# set terminal wxt 0
+# set output
+unset clip points
+set clip one
+unset clip two
+set bar 1.000000
+unset border
+set xdata
+set ydata
+set zdata
+set x2data
+set y2data
+set timefmt x "%d/%m/%y,%H:%M"
+set timefmt y "%d/%m/%y,%H:%M"
+set timefmt z "%d/%m/%y,%H:%M"
+set timefmt x2 "%d/%m/%y,%H:%M"
+set timefmt y2 "%d/%m/%y,%H:%M"
+set timefmt cb "%d/%m/%y,%H:%M"
+set boxwidth
+set style fill  empty border
+set style rectangle back fc lt -3 fillstyle  solid 1.00 border -1
+set dummy x,y
+set format x "% g"
+set format y ""
+set format x2 "% g"
+set format y2 "% g"
+set format z "% g"
+set format cb "% g"
+set angles radians
+unset grid
+set key title ""
+set key inside right top vertical Right noreverse enhanced autotitles nobox
+set key noinvert samplen 4 spacing 1 width 0 height 0 
+unset label
+set label 1 "vacuum" at -0.7, -0.8, 0 left norotate back nopoint offset character 0, 0, 0
+set label 2 "SC" at 0.7, -0.8, 0 left norotate back nopoint offset character 0, 0, 0
+set label 3 "$B_a$" at -0.7, 8, 0 left norotate back nopoint offset character 0, 0, 0
+set label 4 "$B_{s_z}$" at 0.7, 8, 0 left norotate back nopoint offset character 0, 0, 0
+set label 5 "x" at 2.7, -0.8, 0 left norotate back nopoint offset character 0, 0, 0
+set label 6 "z" at -0.1, 11, 0 left norotate back nopoint offset character 0, 0, 0
+set label 7 "$\\lambda$" at 1.8, -0.8, 0 left norotate back nopoint offset character 0, 0, 0
+unset arrow
+set arrow 1 from 0, -2, 0 to 0, 12, 0 head back nofilled linetype -1 linewidth 1.000
+set arrow 2 from -1, 0, 0 to 3.1, 0, 0 head back nofilled linetype -1 linewidth 1.000
+set arrow 3 from 0, 1, 0 to 1.8, 1, 0 nohead back nofilled linetype 7 linewidth 1.000
+set arrow 4 from 1.8, 1, 0 to 1.8, 0, 0 nohead back nofilled linetype 7 linewidth 1.000
+set style increment default
+unset style line
+unset style arrow
+set style histogram clustered gap 2 title  offset character 0, 0, 0
+unset logscale
+set offsets 0, 0, 0, 0
+set pointsize 1
+set encoding default
+unset polar
+unset parametric
+unset decimalsign
+set view 60, 30, 1, 1
+set samples 500, 500
+set isosamples 10, 10
+set surface
+unset contour
+set clabel '%8.3g'
+set mapping cartesian
+set datafile separator whitespace
+unset hidden3d
+set cntrparam order 4
+set cntrparam linear
+set cntrparam levels auto 5
+set cntrparam points 5
+set size ratio 0 1,1
+set origin 0,0
+set style data points
+set style function lines
+set xzeroaxis linetype -2 linewidth 1.000
+set yzeroaxis linetype -2 linewidth 1.000
+set zzeroaxis linetype -2 linewidth 1.000
+set x2zeroaxis linetype -2 linewidth 1.000
+set y2zeroaxis linetype -2 linewidth 1.000
+set ticslevel 0.5
+set mxtics default
+set mytics default
+set mztics default
+set mx2tics default
+set my2tics default
+set mcbtics default
+set noxtics
+set noytics
+set ztics border in scale 1,0.5 nomirror norotate  offset character 0, 0, 0
+set ztics autofreq 
+set nox2tics
+set noy2tics
+set cbtics border in scale 1,0.5 mirror norotate  offset character 0, 0, 0
+set cbtics autofreq 
+set title "" 
+set title  offset character 0, 0, 0 font "" norotate
+set timestamp bottom 
+set timestamp "" 
+set timestamp  offset character 0, 0, 0 font "" norotate
+set rrange [ * : * ] noreverse nowriteback  # (currently [0.00000:10.0000] )
+set trange [ * : * ] noreverse nowriteback  # (currently [-5.00000:5.00000] )
+set urange [ * : * ] noreverse nowriteback  # (currently [-5.00000:5.00000] )
+set vrange [ * : * ] noreverse nowriteback  # (currently [-5.00000:5.00000] )
+set xlabel "" 
+set xlabel  offset character 0, 0, 0 font "" textcolor lt -1 norotate
+set x2label "" 
+set x2label  offset character 0, 0, 0 font "" textcolor lt -1 norotate
+set xrange [ -1.00000 : 3.00000 ] noreverse nowriteback
+set x2range [ * : * ] noreverse nowriteback  # (currently [-10.0000:10.0000] )
+set ylabel "" 
+set ylabel  offset character 0, 0, 0 font "" textcolor lt -1 rotate by 90
+set y2label "" 
+set y2label  offset character 0, 0, 0 font "" textcolor lt -1 rotate by 90
+set yrange [ -2.00000 : 12.0000 ] noreverse nowriteback
+set y2range [ * : * ] noreverse nowriteback  # (currently [-10.0000:10.0000] )
+set zlabel "" 
+set zlabel  offset character 0, 0, 0 font "" textcolor lt -1 norotate
+set zrange [ * : * ] noreverse nowriteback  # (currently [-10.0000:10.0000] )
+set cblabel "" 
+set cblabel  offset character 0, 0, 0 font "" textcolor lt -1 norotate
+set cbrange [ * : * ] noreverse nowriteback  # (currently [-10.0000:10.0000] )
+set zero 1e-08
+set lmargin -1
+set bmargin -1
+set rmargin -1
+set tmargin -1
+set locale "C"
+set pm3d explicit at s
+set pm3d scansautomatic
+set pm3d interpolate 1,1 flush begin noftriangles nohidden3d corners2color mean
+set palette positive nops_allcF maxcolors 0 gamma 1.5 color model RGB 
+set palette rgbformulae 7, 5, 15
+set colorbox default
+set colorbox vertical origin screen 0.9, 0.2, 0 size screen 0.05, 0.6, 0 bdefault
+set loadpath 
+set fontpath 
+set fit noerrorvariables
+f(x)=x>0?B*exp(-x/l):10
+GNUTERM = "wxt"
+B = 10
+l = 0.8
+bb = 0
+plot f(x) t ""
+#    EOF