Bei der Bestrahlung d"unner $NiO$-Schichten mit schnellen und schweren Ionen erkennt man eine periodische Rissbildung senkrecht zur projezierten Einfallsrichtung des Ionenstrahls \cite{bolse}.
Bei fortgef"uhrter Implantation bilden sich $100 \, nm$ dicke und $1 \, \mu m$ hohe $NiO$-Lamellen aus, die einen Abstand von $1-3 \, \mu m$ und die selbe Orientierung wie die Risse besitzen.
Dieser Effekt wird auf das kurzzeitige Schmelzen des Materials in der Umgebung der Teilchenbahn des Ions zur"uckgef"uhrt.
-Ein weiteres Beispiel f"ur einen Selbstorganisationsvorgang ist die Entstehung von Riffeln auf der Oberfl"ache des Taregts, die sich abh"angig vom Einfallswinkel der Ionen, senkrecht beziehungsweise parallel zur Projektion des Ionenstrahls auf die Oberfl"ache orientieren.
+Ein weiteres Beispiel f"ur einen Selbstorganisationsvorgang ist die Entstehung von Riffeln auf der Oberfl"ache des Taregts, die sich abh"angig vom Einfallswinkel der Ionen, senkrecht beziehungsweise parallel zur Projektion des Ionenstrahls auf die Oberfl"ache, orientieren.
Diese Beobachtung kann durch die Bradley-Harper-Theorie beschrieben werden \cite{bradley_harper}.
Desweiteren k"onnen Selbstorganisationsph"anomene bei der Bestrahlung von bin"aren Legierungen beobachtet werden.
Die thermisch aktivierte, kurzreichweitige Diffusion und der, durch die Bestrahlung aktivierte Austausch von Atomen f"uhrt ab einem bestimmten Wert f"ur die Austauschreichweite zur Bildung verworrener separierter stabiler Phasen \cite{enrique1,enrique2}.
Die Entstehung solcher Ausscheidungen beobachtet man nur unter bestimmten Implantationsbedingungen.
Im Folgenden sollen einige der experimentellen Ergebnisse bez"uglich der Bildung der geordneten Ausscheidungen aus \cite{maik_da} zusammengefasst werden.
-Es wurden Implantationen von Ionen der Energie $180 \, keV$ in einem Winkel von $\alpha = 7^{\circ}$ und einer Dosisrate von $\dot{D} = 10 \, \mu A cm^{-2}$ in einem Temperaturbereich von $150$ bis $250 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ in $(100)$ $Si$ f"ur verschiedene Dosen oberhalb von $1,0 \times 10^{17} cm^{-2}$ durchgef"uhrt und untersucht.
+Es wurden Implantationen von Ionen der Energie $180 \, keV$ in einem Winkel von $\alpha = 7^{\circ}$ und einer Dosisrate von $\dot{D} = 10 \, \mu A cm^{-2}$ in einem Temperaturbereich von $150$ bis $250 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ in $(100)$ $Si$ f"ur verschiedene Dosen zwischen $1,0$ und $8,5 \times 10^{17} cm^{-2}$ durchgef"uhrt und untersucht.
\section{Lage und Ausdehnung amorpher Phasen}
\printimg{h}{width=15cm}{k393abild1_.eps}{Hellfeld-TEM-Abbildung einer bei $150 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ mit $180 \, keV$ $C^+$ implantierten $Si$-Probe mit einer Dosis von $4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$. (L: amorphe Lamellen, S: sph"arische amorphe Ausscheidungen) \cite{maik_da}}{img:xtem_img}
Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt eine Cross-Section TEM-Aufnahme einer mit $4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$ $180 \, keV \, C^{+}$-inplantierten Probe.
Die hellen Gebiete sind amorph, dunkle Gebiete kristallin.
- In einer Tiefe von ungef"ahr $300 \, nm$ beginnt die durchgehende amorphe Schicht.
+ In einer Tiefe von ungef"ahr $300 \, nm$ beginnt die durchgehend amorphe Schicht.
An der vorderen Grenzfl"ache sind die lamellaren und sph"arischen $SiC_x$-Ausscheidungen zu erkennen.
Diese erstrecken sich "uber einen Tiefenbereich von ca. $100 \, nm$.
Die Lamellen sind parallel zur Targetoberfl"ache ausgerichtet.
Abbildung \ref{img:lua_vs_d} zeigt die in \cite{maik_da} mittels TEM bestimmte Position und Ausdehnung amorpher Phasen unter denselben Implantationsbedingungen abh"angig von der Dosis.
In Abbildung \ref{img:temdosis} sind die dazugeh"origen Hellfeld-TEM-Abbildungen zu den ersten vier Dosen abgebildet.
Die mit $R_{max}$ gekennzeichnete Linie in Abbildung \ref{img:lua_vs_d} gibt die Position des Kohlenstoffkonzentrationsmaximums an, welches f"ur kleine Dosen mittels {\em TRIM} und f"ur hohe Dosen durch RBS- und TEM-Messungen bestimmt wurde.
- F"ur die kleinste Dosis von $1,0 \times 10^{17} cm^{-2}$ wird keine durchgehende amorphe Schicht beobachtet.
+ F"ur die kleinste Dosis von $1,0 \times 10^{17} cm^{-2}$ wird keine durchgehend amorphe Schicht beobachtet.
Stattdessen kann man zahlreiche $3 \, nm$ gro"se, teilweise zusammenwachsende amorphe Einschl"usse erkennen.
- F"ur Dosen oberhalb $1,0 \times 10^{17} cm^{-2}$ entstehen durchgehende amorphe Schichten.
+ F"ur Dosen oberhalb $1,0 \times 10^{17} cm^{-2}$ entstehen durchgehend amorphe Schichten.
Gut zu erkennen ist, dass sich die, mit steigender Dosis anwachsende durchgehende Schicht um das Kohlenstoffverteilungsmaximum erstreckt.
Wie man in Abbildung \ref{img:temdosis} gut erkennen kann, bilden sich die lamellaren Ausscheidungen an der vorderen Grenzfl"ache zur durchgehend amorphen Schicht erst ab einer Dosis von $3,3 \times 10^{17} cm^{-2}$ und werden mit steigender Dosis sch"arfer.
\section{Temperaturabh"angigkeit}
Die Position und Ausdehnung der amorphen Phasen ist au"serdem abh"angig von der Implantationstemperatur.
- F"ur die Bildung durchgehender amorpher Schichten und lamellarer Ausscheidungen an der Grenzfl"ache muss die Implantationstemperatur hoch genug sein, um eine komplette Amorphisierung der Targetoberfl"ache, und gleichzeitig niedrig genug, um die Kristallisation amorpher Ausscheidungen zu kubischen $3C-SiC$-Pr"azipitaten zu verhindern.
+ F"ur die Bildung durchgehend amorpher Schichten und lamellarer Ausscheidungen an der Grenzfl"ache muss die Implantationstemperatur hoch genug sein, um eine komplette Amorphisierung der Targetoberfl"ache, und gleichzeitig niedrig genug, um die Kristallisation amorpher Ausscheidungen zu kubischen $3C-SiC$-Pr"azipitaten zu verhindern.
F"ur Kohlenstoff in Silizium sind Temperaturen zwischen $150$ und $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ geeignet.
\printimg{h}{width=10cm}{a-t.eps}{Schematischer Aufbau des implantierten Schichtsystems f"ur $180 \, keV$ $C^+$"=Implantationen in $(100)Si$ mit einer Dosis von $4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$ in Abh"angigkeit von der Temperatur. \cite{maik_da}}{img:lua_vs_t}
Abbildung \ref{img:lua_vs_t} zeigt die Position und Ausdehnung der strukturell verschiedenen Bereiche f"ur $180 \, keV \, C^+$-implantierte Proben mit einer Dosis von $4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$ abh"angig von der Implantationstemperatur.
\section{Monte-Carlo-Simulation}
Monte-Carlo-Simulationen sind numerische Computerexperimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten.
- Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computerexperiemnte auf stochastischen Modellen.
+ Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computerexperimente auf stochastischen Modellen.
+ Dabei werden vom Computer generierte Zufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
Die Zuf"allgkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentliche Rolle.
Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtest System untersucht wird.
Eine solche Computersimulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
- Makroskopische, observable Gr"ossen sind, ebenso wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
+ Makroskopische, observable Gr"o"sen sind, ebenso wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.
Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist das relativ einfache Erzielen von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufw"andig sind.
Z = \sum_{i=1}^N e^{\frac{-E_i}{k_B T}} = Tr(e^{-\beta H})
\end{equation}
nicht den gesamten Raum der Konfigurationen, sondern nur statistisch ausgew"ahlte Punkte zu ber"ucksichtigen.
- Um die Genauigkeit der simulierten Eigenschaften des Systems in einer bestimmten Sollzeit zu verbessern, ist es n"otig die Zust"ande mit der Wahrscheinlichkeit entprechend ihres Beitrages zur Zustandssumme auszusuchen.
+ Um die Genauigkeit der simulierten Eigenschaften des Systems in einer bestimmten Sollzeit zu verbessern, ist es n"otig die Zust"ande mit der Wahrscheinlichkeit entsprechend ihres Beitrages zur Zustandssumme auszusuchen.
Dieser Ansatz wird als \dq importance sampling\dq{} bezeichnet.
F"ur das Ising-Modell wird der Metropolis-Algorithmus verwendet, der die Dynamik des Systems in Form eines \dq update algorithm\dq{} f"ur die Mikrozust"ande vorschreibt.
Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
- Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben.
+ Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \,\, \forall x \in [a,b]$ gegeben.
Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
\begin{enumerate}
\item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
\end{enumerate}
\printimg{}{width=10cm}{rej_meth.eps}{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$.}{img:rej_meth}
- Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
- Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
+ Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je gr"o"ser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
+ Deshalb macht es Sinn, die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
\begin{equation}
\frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
\end{equation}
- Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$.
+ Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gesto"senen Atomkerns mit Masse $M_2$.
Aus der Impulserhaltung folgt,
\begin{eqnarray}
\textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
\begin{equation}
\stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
\end{equation}
- und diese Gleichung wiederrum nach $dt$,
+ und diese Gleichung wiederum nach $dt$,
\begin{equation}
dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
\end{equation}
\end{eqnarray}
Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
$\Theta$ ist eine Funktion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
- Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
+ Die Funktion $p(\Theta)$ wiederum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
\begin{equation}
d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \left| \frac{dp}{d \Theta} \right| d \Omega
\end{equation}
Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert, wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Target verlassen hat.
Das Target wird als amorph angenommen, weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
- Das Teilchen verliert neben dem kontinuierlichen Energieverlust durch die elektronischen Bremskraft einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se.
+ Das Teilchen verliert neben dem kontinuierlichen Energieverlust durch die elektronische Bremskraft einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se.
Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Sto"sparamter $p$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
Aufgrund des Unterschiedes von fast $20\, \%$ in der Gitterkonstante, ist f"ur die Nukleation von kubischen $3C-SiC$-Pr"azipitaten in der kristallinen Siliziummatrix eine hohe Grenzfl"achenenergie n"otig, die in \cite{taylor} zu $2-8 \times 10^{-4} J cm^{-2}$ abgesch"atzt wird.
Es ist also energetisch g"unstiger, wenn eine der beiden Substanzen in amorpher Form vorliegt.
Energiegefilterte Transmissionselektronenmikroskopie \cite{da_martin_s,maik_da,eftem_tbp} hat gezeigt, dass die amorphe Phase in der Tat kohlenstoffreicher als deren kristalline Umgebung ist.
- Weiterhin best"atigten Temperexperimente \cite{maik_temper}, dass die amorphen Gebiete selbst bei $800 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ weit "uber der Rekristallisationstemperatur von $550 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ f"ur reines $a-Si$ stabil sind.
+ Weiterhin best"atigten Temperexperimente \cite{maik_temper}, dass die amorphen Gebiete selbst bei $800 \, ^{\circ} \mathrm{C}$, weit "uber der Rekristallisationstemperatur von $550 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ f"ur reines $a-Si$, stabil sind.
Bei bis zu f"unfst"undigen Tempervorg"angen bei $900 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ entstehen aus den Lamellen geordnete Ketten von abwechselnd amorphen und kristallinen $3C-SiC$-Ausscheidungen, was nochmal die kohlenstoffreiche Natur der amorphen Phase, gleichzeitig aber auch eine inhomogene Verteilung des Kohlenstoffs in den Lamellen, zeigt.
Mit zunehmender Dosis wird also eine S"attigungsgrenze von Kohlenstoff in kristallinem Silizium "uberschritten, was zur Nukleation sph"arischer amorpher $SiC_x$-Ausscheidungen f"uhrt.
Dieser, zur Amorphisierung beitragende Mechanismus, wird im Folgenden als kohlenstoffinduzierte Amorphisierung bezeichnet.
Als letztes wird die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete und der Sputtervorgang realisiert.
Im Folgenden werden der Simulationsalgorithmus und die dazu ben"otigten Annahmen besprochen.
-Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
+Ein weiterer Abschnitt besch"aftigt sich mit der Extraktion von, f"ur die Simulation notwendigen, Informationen aus {\em TRIM}-Ergebnissen.
Das Kapitel schlie"st mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen.
\section{Annahmen der Simulation}
In Version 2 sind $x = y = 64$ und $z = 233$.
Zum besseren Vergleich der Simulationsergebnisse mit den experimentell erhaltenen TEM-Aufnahmen k"onnen Querschnitte der amoprh/kristallinen Struktur als Bitmap ausgegeben werden.
- Kristalline W"urfel sind schwarz und amorphe "Wurfel wei"s dargestellt.
+ Kristalline W"urfel sind schwarz und amorphe W"urfel wei"s dargestellt.
F"ur die $x-z$- beziehungsweise $y-z$-Querschnitte besteht die M"oglichkeit "uber mehrere Querschnitte zu mitteln.
Die selbe Mittelung "uber den amorph/kristallinen Zustand ist bei den TEM-Aufnahmen, der auf eine Dicke von $100$ bis $300 \, nm$ pr"aparierten Proben der Fall.
Im Folgenden sei die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung $X$, $Y$ und $Z$.
Eine Anzahl von $N$ Durchl"aufen ist damit "aquivalent zur Dosis $D$, die wie folgt gegeben ist:
\begin{equation}
- D = \frac{N}{XY(3 nm)^2} \, \textrm{.}
+ D = \frac{N}{XY(3 \, nm)^2} \, \textrm{.}
\label{eq:dose_steps}
\end{equation}
Die Wahl des Volumens, in das das Ion eingebaut wird, ist analog zur Wahl der Ermittlung des zu sto"senden Volumens.
Lediglich die Implantationstiefe wird durch eine Zufallszahl bestimmt, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung dem Konzentrationsprofil entspricht.
Zur Erzeugung der entsprechenden Zufallszahl wird wieder die in \ref{subsubsection:verwerf_meth} beschriebene Verwerfungsmethode benutzt.
-
In dem ausgew"ahlten W"urfel $\vec{r}(k,l,m)$ wird der Z"ahler f"ur den Kohlenstoff um eins erh"oht.
\subsection{Diffusion und Sputtern}
Die Sputterroutine wird nach der Dosis, die einem Abtrag von einer Ebene von Zellen ($3 \, nm$) entspricht, ausgef"uhrt und bewirkt, dass diese oberste Ebene entfernt wird.
Der Zusammenhang zwischen Sputterrate $S$ und Anzahl der Simulationsdurchl"aufe $n$ ist demnach wie folgt gegeben:
\begin{equation}
- S = \frac{(3 nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
+ S = \frac{(3 \, nm)^3 XY }{n} \quad \textrm{.}
\end{equation}
Nach $n$ Simulationsdurchl"aufen wird eine kohlenstofffreie, kristalline Ebene von unten her eingeschoben.
Der Inhalt der Ebene $i$ wird auf die Ebene $i-1$ (f"ur $i = Z, Z-1, \ldots, 2$) "uberschrieben.
Diese entspricht der abgetragenen Ebene.
Die Ebene $i=Z$ erh"alt kristallinen Status und die Kohlenstoffkonzentration Null.
- Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen ist, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
+ Dies macht allerdings nur Sinn, wenn das Implantationsprofil und die nukleare Bremskraft f"ur die Ebenen tiefer $Z$ auf Null abgefallen sind, um kristalline, kohlenstofffreie Ebenen zu garantieren.
Daher wird das Sputtern nur in Simulationen "uber gro"se Tiefenbereiche ber"ucksichtigt.
Die Sputterrate kann durch {\em TRIM} beziehungsweise Messungen des Kohlenstoffprofils bestimmt werden.
Der Diffusionsprozess ist uneingeschr"ankt m"oglich.
In der ersten Version wurde der Einfluss der amorph/kristallinen Struktur direkter Nachbarn auf die Rekristallisation nach \eqref{eq:p_ac_genau} noch nicht beachtet.
Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit ergibt sich hier aus \eqref{eq:p_ac_local}.
- Die Rechenzeit einer Simulation mit $3 \times 10^7$ Durchl"aufen, einem $64 \times 64 \times 100$ gro"sem Target und Diffusion alle $100$ Schritte, betr"agt auf einem $900 Mhz$ {\em Pentium 3} ungef"ahr $3$ Stunden.
+ Die Rechenzeit einer Simulation mit $3 \times 10^7$ Durchl"aufen, einem $64 \times 64 \times 100$ gro"sem Target, einem Treffer pro Durchlauf und Diffusion alle $100$ Schritte, betr"agt auf einem $900 Mhz$ {\em Pentium 3} ungef"ahr $3$ Stunden.
In der zweiten Version wird die gesamte Implantationstiefe simuliert.
Das Simulationsfenster geht von $0-700 \, nm$.
Das Betriebssystem generiert aus dem Rauschen einiger Treiber, zum Beispiel den Treibern f"ur Tastatur, Maus und Festplatte einen Vorrat an Entropie.
Eine Zufallszahl wird durch Anwendung des {\em SHA}-Algorithmus (kurz f"ur {\bf S}ecure {\bf H}ash {\bf A}lgorithm) auf den Inhalt des Entropievorrates erzeugt.
Eine zweite M"oglichkeit ist die Verwendung des Zufallszahlengenerators der Standardbibliothek der Programmiersprache {\em C}.
- Diese generiert die Zufallszahlensequenz nach der im Abschnitt \ref{subsection:rand_gen} vorgestellten linearen Kongruenzmethode.
+ Dieser generiert die Zufallszahlensequenz nach der im Abschnitt \ref{subsection:rand_gen} vorgestellten linearen Kongruenzmethode.
Das zuletzt genannte Verfahren ist damit unabh"angig vom Betriebssystem.
F"ur vern"unftige Ergebnisse muss die Qualit"at der Zufallszahlen gesichert sein.
projects / lectures / latex.git / commitdiff