From: hackbard Date: Wed, 6 Jun 2007 17:39:59 +0000 (+0000) Subject: finished introduction to the integrator X-Git-Url: https://hackdaworld.org/cgi-bin/gitweb.cgi?a=commitdiff_plain;h=360e24a68a61bace438bf7a995e87e29f6496d40;p=lectures%2Flatex.git finished introduction to the integrator --- diff --git a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex index 484abdc..b584142 100644 --- a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex +++ b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex @@ -128,4 +128,95 @@ MD: Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte \end{slide} +\begin{slide} +{\large\bf + Prinzip der MD-Simulation +} +\begin{itemize} + \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen) + \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten + $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$ + \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$ + \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\ + \[ + \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i}, + \qquad + \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} + \]\\ + Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum +\end{itemize} +$\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\ +$\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\ +\begin{picture}(350,10) +\end{picture} +{\large\bf + Notwendige Bestandteile der MD-Simulation +} +\begin{itemize} + \item Methode zum Intgrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator) + \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion) + \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles +\end{itemize} +\end{slide} + +\begin{slide} +{\large\bf + Integration der Bewegungsgleichungen +} +\begin{itemize} + \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration + \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\ + \[ + m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad + \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad + m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i + \] + \begin{center} + (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten) + \end{center} + \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\ + \[ + \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t) + \] + \begin{center} + (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$) + \end{center} + Beispiel Euler:\\ + ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\ + ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\ +\end{itemize} +{\large\bf + Anforderungen an den Integrator +} +\begin{itemize} + \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie + \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit + \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$ +\end{itemize} +\end{slide} + +\begin{slide} +{\large\bf + +} +\end{slide} + +\begin{slide} +{\large\bf + +} +\end{slide} + +\begin{slide} +{\large\bf + +} +\end{slide} + +\begin{slide} +{\large\bf + +} +\end{slide} + \end{document}