From: hackbard Date: Mon, 19 May 2003 11:08:22 +0000 (+0000) Subject: completed monte carlo X-Git-Url: https://hackdaworld.org/cgi-bin/gitweb.cgi?a=commitdiff_plain;h=92ef06d973ba2820596a94bcfb2e4f8e723a5ce3;p=lectures%2Flatex.git completed monte carlo --- diff --git a/ising/ising.tex b/ising/ising.tex index c875d9c..dabfe18 100644 --- a/ising/ising.tex +++ b/ising/ising.tex @@ -337,9 +337,33 @@ Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust \[ _{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i) \] -$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in einer Computersimulation. Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung biette der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\ -\\ -Pseudocode: +$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in der Computersimulation. +\begin{itemize} + \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$ + \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s dir Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt +\end{itemize} +Damit gilt: +\[ + P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big) +\] +und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\ +Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist: +\[ + W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) +\] +und somit gilt: +\[ + \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E} +\] +Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\ +\[ + W(A \rightarrow B) = \left\{ + \begin{array}{ll} + e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\ + 1 & : \delta E < 0 + \end{array} \right. +\] +Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen: \begin{itemize} \item Gehe alle Gitterplaetze durch \item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen) @@ -349,7 +373,7 @@ Pseudocode: \chapter{Anwendungen} \begin{itemize} -\item Spingl"aser +\item Spingl"aser [\ref{lit8}] \begin{itemize} \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$) \item Beobachtungen: @@ -364,7 +388,7 @@ Pseudocode: \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt \end{itemize} \end{itemize} -\item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis +\item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}] \begin{itemize} \item Traveling Salesman Problem: \begin{itemize} @@ -426,6 +450,7 @@ Pseudocode: \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics +\item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis \end{enumerate} \end{document}