From: hackbard <hackbard>
Date: Thu, 12 May 2005 16:45:21 +0000 (+0000)
Subject: nukleare BK fast fertig \ldots
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nukleare BK fast fertig \ldots
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diff --git a/nlsop/diplom/grundlagen.tex b/nlsop/diplom/grundlagen.tex
index f5676fe..d76548d 100644
--- a/nlsop/diplom/grundlagen.tex
+++ b/nlsop/diplom/grundlagen.tex
@@ -226,14 +226,43 @@
       \label{eq:delta_e_max}
       \end{equation}
      
-      Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt. Mit der Wahrscheinlichkeit fuer den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
+      Bis jetzt ist also der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt. Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag berechnet werden.
       Mit der Annahme, dass Kr"afte zwischen den Teilchen nur entlang ihrer Verbindungsachse wirken und der Gesamtimpuls des Systems Null ist, verlaufen die zwei Teilchenbahnen symmetrisch zueinander. Daher reicht die Bestimmung einer einzelnen Teilchenbahn.
       Das Zweik"orperproblem kann so auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
       Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange Gleichung gel"ost werden.
       \begin{equation}
-      \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0
+      \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
       \end{equation}
+      Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung
+      \begin{equation}
+      \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
+      \end{equation}
+      F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
+      \begin{equation}
+      l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
+      \label{eq:ang_mom_val}
+      \end{equation}
+      \begin{equation}
+      E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r) \quad \textrm{.}
+      \end{equation}
+      \begin{equation}
+      \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
+      \end{equation}
+      \begin{equation}
+      dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
+      \end{equation}
+      \begin{equation}
+      \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
+      \end{equation}
+      Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
+      \begin{equation}
+      \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}} \frac{1}{r^2}
+      \label{eq:theta_of_p}
+      \end{equation}
+      Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden.
+      Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden.
 
+      F"ur das interatomare Potential $V(r)$ \ldots
 
       \subsubsection{Elektronische Bremskraft}