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\author{Frank Zirkelbach}

\hyphenation{kris-tallin-en Kohlen-stoff-über-sättigung}

\title{Nanolamellare Selbstordnungsprozesse bei Kohlenstoffimplantation in $(100)$-orientiertes Silizium bei Temperaturen kleiner $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$}

\begin{document}
\frontmatter
\maketitle
\tableofcontents
\listoffigures

\mainmatter

\chapter{Einleitung}
In der folgenden Arbeit soll die Entstehung und Selbstorganisation amorpher lamellarer Einschl"usse bei Hochdosis-Kohlenstoffimplantation in $(100)$-orientiertes Silizium untersucht werden. Solche Einschl"usse findet man bei Targettemperaturen kleiner $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ und einer Dosis in der Gr"o"senordnung $10^{17} \frac{C}{cm^2}$ oberhalb des Implantationspeaks \cite{dipl_mh}. "Ahnliche Strukturen beobachtet man auch bei Hochdosis-Sauerstoff-Implantation in Silizium.

Der Hauptteil der Arbeit befa"st sich mit der Beschreibung des, f"ur diese Selbstorganisationsprozesse, zu Grunde liegenden Modells und einer daraus erarbeiteten Simulation. Die Arbeit ist wie folgt geliedert.

Im ersten Teil dieser Arbeit werden die n"otigen Grundlagen der Ionenimplantation wiederholt, um sp"ater angestellte Annahmen besser zu verstehen. Danach wird das Modell konkret formuliert und die Implementierung diskutiert. Im dritten Teil wird auf die Ergebnisse der Simulation und dessen schrittweise Entwicklung eingegangen. Dabei sollen die erzeugten Bilder mit dem einer TEM-Aufnahme verglichen werden. Der letzte Teil gibt einen Ausblick auf folgende Versionen des Programms. Hier sollen M"angel und m"ogliche Verbesserungen diskutiert werden.

Die Simulation ist in der Programmiersprache \emph{C} geschrieben. Dabei wurden Funktionen die unter den \emph{POSIX} Standard fallen verwendet. Desweiteren wurde zur Visualisierung die \emph{DirectFB} API \cite{directfb} verwendet.

Die Arbeit gibt einen "Uberblick "uber den derzeitigen Stand der Simulation.

\chapter{Grundlagen der Ionenimplantation}
Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden. Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein. Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden. Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
\section{Abbremsung von Ionen}
Die Abbremsung der Ionen im Festk"orper kommt haupts"achlich durch inelastische Wechselwirkung mit den Targetelektronen und elastische Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets zustande. Man geht davon aus, dass diese unabh"angig voneinander sind. Andere Wechselwirkungen k"onnen vernachl"assigt werden.
\subsection{Bremsquerschnitt}
Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt:
\[
 S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
\]
mit:
\[
\begin{array}{ll}
 N & \equiv \textrm{atomare Dichte} \\
 E & \equiv \textrm{Energie des Ions} \\
 x & \equiv \textrm{zur"uckgelegter Weg}
\end{array}
\]
Auf Grund der Unabh"angigkeit der Wechselwirkungsprozesse erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Weg:
\[
 - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big)
\]
Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions. Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
\[
 R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{\partial E}{S_e(E) + S_n(E)}
\]
Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.

\subsection{Nukleare Bremskraft}
Wie bereits erw"ahnt, kann die Wechelswirkung mit den Atomkernen des Targets durch einen elastischen Streuprozess beschrieben werden. F"ur den Energie"ubertrag beim Sto"s gilt
\[
 T_n(E) = E \frac{2 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} (1 - \sin \theta)
\]
wobei $M_1$ und $E$ Masse und Energie des einfallenden Ions, $M_2$ die Masse des ruhenden Targetatoms und $T_n$ der Energie"ubertrag ist. $\theta$ entspricht dem Streuwinkel im Schwerpunktsystem.

Integriert man nun "uber alle m"oglichen Energie"ubertr"age gewichtet mit deren Wahrscheinlichkeit, so erh"alt man f"ur den Bremsquerschnitt:
\[
 S_n(E) = \int_0^\infty T_n(E,p) 2 \pi p \partial p = \int_0^{T_{max}} T \sigma(E,T_n) \partial \sigma
\]
Hierbei ist $\partial \sigma = 2 \pi p \partial p$ der differentielle Wirkungsquerschnitt und
\[
 T_{max} = T_n(E,0) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2}
\]
die maximale beim zentralen Sto"s "ubertragene Energie.
Zur Bestimmung von $\theta$ ben"otigt man ein geeignetes Potential, welches die Wechselwirkung beschreibt. Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment liefern das abgeschirmte Coulombpotential und das sogenannte \dq Universal Potential\dq{} \cite{bzl}. Ersteres lautet:
\[
 V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
\]
$\Phi(\frac{r}{a})$ ist eine geeignete Abschirmfunktion, $a$ der Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.

\subsection{Elektronische Bremskraft}
Durch inelastische St"o"se mit den Targetelektronen verliert das Ion an Energie. Diese Energie kann zur Anregung oder Ionisation sowohl des Targets als auch des eingeschossenen Ions f"uhren.

Prinzipiell ist eine Entwicklung f"ur die elektronische Bremskraft aus fundierten physikalischen "Uberlegungen m"oglich, da die Beschreibung jedoch viel komplizierter als die von elastischen St"o"sen sind, werden haupts"achlich empirische Ans"atze verwendet.

F"ur niedrige Teilchenenergien findet man in der LSS-Theorie sowie der Firsov-Theorie eine lineare Abh"angigkeit zwischen elektronischer Bremskraft und Geschwindigkeit des Ions.
\[
 S_n(E) \sim v_{Ion} \sim \sqrt{E}
\]
F"ur hohe, nicht-relativistische Energien beschreibt die Bethe-Bloch-Gleichung den Energieverlust am besten.
\[
 S_e(E) = N \frac{4 \pi Z_1^2 Z_2^2 e^2}{m_e v_0^2} \textrm{ln} \, \Big( \frac{2 m_e v_0^2}{I} \Big)
\]
$v_0$ entspricht der Geschwindigkeit des Ions, $m_e$ ist die Elektronenmasse und $I = I_0 Z^2$ die mittlere Ionisationsenergie ($I_0 \simeq 11eV$). 

\section{Implantationsprofil}
Nun kann mit $S_e$ und $S_n$ die mittlere Reichweite berechnet werden. Allerdings entspricht dies nicht der mittleren Tiefe in der das Ion im Target zur Ruhe kommt, da es im allgemeinen Richtungs"anderungen erfahren wird. Lindhard, Scharff und Schiott n"aherten das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung:
\[
 N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi} \Delta R_p} e^{ \Big( - \frac{(x-R_p)^2}{2 \Delta R_p^2} \Big)}
\]
$D$ entspricht hier der Dosis, also die Zahl der implantierten Ionen pro Fl"ache, $\Delta R_p$ ist die Standardabweichung der projezierten Reichweite $R_p$.

Abbildung \ref{implp} zeigt ein tiefenabh"angiges Implantationsprofil zusammen mit elektronischen und nuklearen Energieverlust, ermittelt durch das Monte-Carlo-Simulationsprogramm \emph{TRIM}.
\begin{figure}[htb]
\includegraphics{implsim_.eps}
\caption{Tiefenabh"angiges Implantationsprofil und Energieverluste ermittelt durch \emph{TRIM}} \label{implp}
\end{figure}

\section{Amorphisierung}
Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen. Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen. Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden. Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease zu
\[
 N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
\]
abgesch"atzt werden.

Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren. Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht. Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen. Dieser kann an amorph-kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren.

F"ur die weitere Arbeit von Bedeutung ist der experimentelle Befund, dass sich die Intensit"at der Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt.


\chapter{Modell und Simulation}

\section{Gegenstand der Simulation}
Wie bereits in der Einleitung erw"ahnt, soll in dieser Arbeit nur die Entstehung und Selbstorganisation lamellarer amorpher Ausscheidungen oberhalb des Implantationsmaximums behandelt werden. Diese beobachtet man bei Implantationen in $(100)$-orientiertes Silizium bei niedrigen Targettemperaturen, typischerweise $T<400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$. "Ahnliches wurde auch bei der Hochdosis-Sauerstoff-Implantation in Silizium gefunden.

Implantationsprofile oder nukleare Bremskr"afte, so wie weitere verwendete Ergebnisse werden nicht simuliert. Im Gegenteil, diese Gr"o"sen werden schon existierenden Simulationsprogrammen wie \emph{TRIM} entnommen.

Abbildung \ref{tem1} zeigt eine TEM-Aufnahme einer mit $4,3 \times 10^{17} \frac{C}{cm^2}$ implantierten Probe bei einer Targettemperatur von $150 \, ^{\circ} \mathrm{C}$. Da die amorphe $SiC_x$-Schicht nicht weiter von Interesse ist, beschr"ankt sich das Simulationsfenster von Anfang der Probe bis zu Beginn der durchgehenden amorphen Schicht (hier ca. $310 nm$). Ziel ist es, die in der rechten Vergr"o"serung gut zu erkennenden lamellaren und sph"arischen Einschl"usse zu reproduzieren.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=10cm]{k393abild1.eps}
\caption{Hellfeld-TEM-Abbildung einer bei $150 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ mit $4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$ implantierten Probe.} \label{tem1}
\end{figure}

\section{Das Modell}
Im Folgenden wird ein Modell vorgestellt, welches die Bildung und Selbstorganisation der beobachteten lamellaren Strukturen zu erkl"aren versucht. Abbildung \ref{modedll} soll das Modell veranschaulichen.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=12cm]{model1_.eps}
\caption{Modell zur Entstehung und Selbstordnung lamellarer Strukturen} \label{modedll}
\end{figure}
Die sehr geringe L"oslichkeit von Kohlenstoff in Silizium bei Raumtemperatur, f"uhrt bei gen"ugend hoher Kohlenstoffkonzentration zu sph"arischen $SiC_x$-Ausscheidungen. Da die Gitterkonstante von kubischen Siliziumkarbid ($4,36$\AA) fast um $20\%$ kleiner als die von reinen kristallinen Silizium ($5,43$\AA) ist, hat die Nukleation von kristallinen $3C-SiC$ in $c-Si$ eine hohe Grenzfl"achenenergie zur Folge. Daher ist es energetisch g"unstiger, wenn eins der beiden Substanzen in amorpher Form besteht. Da reines amorphes Silizium instabil unter den gegebenen Bedingungen ist und ionenstrahlinduziert epitaktisch rekristallisiert, wird die kohlenstoffreichere Phase in amorpher Form vorliegen.

Weil $SiC$ im amorphen Zustand eine $20-30\%$ geringere Dichte als im kristallinen Zustand besitzt, ist dies auch f"ur amorphes $SiC_x$ anzunehmen. Dies f"uhrt zum Bestreben der amorphen Gebiete sich auszudehnen, weshalb Druckspannungen auf die Umgebung wirken. Da es sich um eine sehr d"unne Probe handelt, k"onnen die Druckspannungen in vertikaler Richtung relaxieren. In horizontaler Richtung erschweren die Druckspannungen den Wiedereinbau der durch Sto"skaskaden verlagerten Atome auf ihre regul"aren Gitterpl"atze. Somit werden bevorzugt Gebiete zwischen schon amorphen Einschl"ussen amorphisiert. Dies f"uhrt zur Stabilisierung der selbstorganisierten lamellaren Struktur.

Eine weitere M"oglichkeit des Systems zur Energieminimierung ist Diffusion. Dabei wird durch Diffusion von Kohlenstoff in amorphe Gebiete eine Reduzierung der Kohlenstoff"ubers"attigung in kristallinen Gebieten erreicht.

\section{Die Simulation}
Zur Realisierung des Selbstorganisationsprozesses auf dem Rechner wird das Monte-Carlo-Verfahren verwendet. Monte-Carlo-Simulationen bedienen sich der M"oglichkeit des Computers, Pseudozufallszahlen zu generieren. Diese entscheiden dann "uber Amorphisierung/Rekristallisation sowie die Kohlenstoffverteilung und noch weitere Ereignisse. Um die oben genannten Modellvorstellungen m"oglichst einfach zu realisieren, werden im folgenden noch einige N"aherungen und Einschr"ankungen diskutiert. Danach wird ein Ablaufschema des Programms pr"asentiert und erl"autert.
\subsection{Weitere Modellannahmen}
F"ur die Simulation sind noch weitere Annahmen n"otig, die im folgenden erkl"art werden. Dabei mu"s beachtet werden, dass die Simulation nur das Gebiet vor der amorphen $SiC_x$-Schicht betrachtet.
\subsubsection{Strahlensch"adigung und nukleare Bremskraft}
Wichtig f"ur diese Arbeit ist die Tatsache, dass sich die Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt. In dem Bereich des Simulationsfensters kann diese als linear angenommen werden.
\subsubsection{Druckspannung und Amorphisierung}
Die Druckspannungen auf ein Gebiet erh"ohen die Wahrscheinlichkeit, dass es nach einem Sto"sprozess amorph wird. Die Druckspannungen sollten proportional zur Kohlenstoffkonzentration der amorphen Umgebung sein, und mit $\frac{1}{r^2}$ abnehmen (Druck = Kraft / Fl"ache), wobei $r$ der Abstand zum betreffenden Gebiet ist. Desweiteren nimmt die Wahrscheinlichkeit eines Gebietes, amorph zu werden, mit der eigenen Kohlenstoffkonzentration linear zu.
\subsubsection{Implantationsprofil und Kohlenstoffverteilung}
Analog zur nuklearen Bremskraft kann das Implantationsprofil linear gen"ahert werden. Die Kohlenstoffkonzentration sollte also proportional zur Tiefe zunehmen.
\subsubsection{Diffusionsprozesse}
In der Simulation werden zwei Diffusionsprozesse ber"ucksichtigt, die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete, so wie Diffusionsprozesse zwischen kristallinen Gebieten. Diffusion findet stets zwischen zwei benachbarten Gebieten statt und resultiert im letzteren Fall aus einem Dichtegradienten, im ersten Fall aus der Kohlenstoff"ubers"attigung der kristallinen Zelle. Eine wichtige Annahme ist, da"s keine Diffusion aus amorphen in kristalline Gebiete m"oglich ist. Daher kann f"ur den erstgenannten Fall auch Diffusion in vertikaler Richtung stattfinden, nicht jedoch f"ur letzteren, um die linear steigende Kohlenstoffkonzentration zu garantieren. Da eine ausschlie"slich in horizontal stattfindende Diffusion zwischen kristallinen Gebieten physikalisch nicht sinnvoll begr"undet werden kann, gibt es einen Switch um diesen Diffusionsprozess nicht auszuf"uhren.
\subsection{Simulationsablauf}
Mit dem vorgestellten Modell und den weiteren Annahmen kann nun der Simulationsablauf erl"autert werden. Ein Ablaufschema und die Bedienung des Programms sind in den folgenden Kapiteln zu finden. F"ur das Verst"andnis des Simulationsablaufs ist es sinnvoll, zun"achst einige der wichtigsten einstellbaren Parameter des Programms und ihre Bedeutung aufzulisten. Eine komplette Auflistung findet man im Kapitel "uber die Bedienung des Programms.
\subsubsection{wichtige Parameter der Simulation}
\begin{itemize}
 \item $a_{el} \textrm{, } b_{el}$\\
  Steigung und $y$-Achsenabschnitt der linear gen"aherten nuklearen Bremskraft
 \item $a_{ap}$\\
  Einfluss der spannungsinduzierten Amorphisierung
 \item $b_{ap}$\\
  Einfluss der ballistischen Amorphisierung
 \item $a_{cp}$\\
  Einfluss der kohlenstoffinduzierten Amorphisierung
 \item $a_{cd} \textrm{, } b_{cd}$\\
  Steigung und $y$-Achsenabschnitt der in $z$-Richtung linear gen"aherten Kohlenstoffverteilung
 \item $c_{ratio}$\\
  Verh"altnis von Kohlenstoff in Simulationsfenster und gesamten Kohlenstoff (ermittelt durch \emph{TRIM})
 \item $dr_{cc}$\\
  Diffusionsrate von kristallinen in kritalline Gebiete
 \item $dr_{ac}$\\
  Diffusionsrate von kristallinen in amorphe Gebiete
 \item $d_v$\\
  Diffusionsgeschwindigkeit (Diffusion alle $d_v$ Durchl"aufe)
\end{itemize}
  
\subsubsection{Der Simulationsalgorithmus}
Das Silizium-Target wird in Zellen aufgeteilt, deren Anzahl als Parameter "ubergeben werden kann. In dieser Arbeit wurde $x=50 \textrm{, } y=50 \textrm{, } z=100$ gew"ahlt, was auch die Default-Werte des Programms sind. Diese Zelle ist die kleinste Einheit und h"alt folgende Eigenschaften/Informationen:
\begin{itemize}
 \item Kantenl"ange $3 nm$ (Implantationsfenster ist $~300 nm$ tief bei 100 Zellen)
 \item Zustand: amorph (rot) oder kristallin (blau)
 \item Kohlenstoffkonzentration
\end{itemize}
Der Simulationsalgorithmus kann in drei Teile gegliedert werden. Jeder Durchlauf entspricht dabei einem implantierten Kohlenstoffion.
\begin{itemize}
 \item Amorphisierung/Rekristallation:
  \begin{itemize}
   \item Zuf"allige Wahl der Koordinaten f"ur einen Sto"sprozess:\\
    Da sich die Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt, nimmt die Wahrscheinlichkeit f"ur einen Sto"sprozess mit zunehmender Tiefe linear zu. $x$ und $y$ sind gleichverteilt.\\
    $p(x)dx=dx \textrm{, } p(y)dy=dy \textrm{, } p(z)dz=(a_{el} \times z+b_{el})dz$
   \item Berechnung der Amorphisierungs- bzw. Rekristallationswahrscheinlichkeit:\\
    Die Wahrscheinlichkeit der Amorphisierung einer Zelle soll proportional zur Druckspannung auf das Gebiet und der eigenen Kohlenstoffkonzentration sein. Daher gilt:\\
    $\displaystyle p_{c \rightarrow a}=a_{cp} \times c^{\textrm{lokal}}_{\textrm{Kohlenstoff}} + b_{ap} + \sum_{amorphe Nachbarn} \frac{a_{ap} \times c_{\textrm{Kohlenstoff}}}{\textrm{Abstand}^2}$\\
    Die Koordinaten f"ur den Sto"sprozess werden durch Ausw"urfeln von drei Zufallszahlen erzeugt.
    Die Rekristallisation sollte sich genau entgegengesetzt verhalten und wird zur Vereinfachung als $\displaystyle p_{a \rightarrow c}=1-p_{c \rightarrow a}$ angenommen. Eine weitere Zufallszahl entscheidet ob das Gebiet amorph wird, rekristallisiert oder den derzeitigen Zustand beibeh"alt.
  \end{itemize}
 \item Einbau des implantierten Kohlenstoffions ins Silizium-Target:\\
  Das implantierte Teilchen wird nicht am Ort des Sto"sprozesses zur Ruhe kommen. Es wird eine Richtungs"anderung erfahren und weitere Sto"sprozesse vollziehen. Mit gro"ser Wahrscheinlichkeit wird es erst in der amorphen $SiC_x$ Schicht zur Ruhe kommen.  Deshalb wird zu Beginn des Programms das Verh"atnis von Kohlenstoff im Simulationsfenster zum gesamten Kohlenstoff durch Auslesen eines Konzentrationsprofils, ermittelt durch \emph{TRIM}, berechnet. Da die Kohlenstoffverteilung im Bereich des Implantationsfensters linear gen"ahert wird, sieht die Prozedur wie folgt aus:
  \begin{itemize}
   \item Kohlenstoff innerhalb des Simulationsfensters:\\
    Ist die Anzahl, des im Simulationsfenster enthaltenen Kohlenstoffs kleiner dem bisher gesamt implantierten multipliziert mit oberen Verh"altnis, so wird der n"achste Schritt ausgef"uhrt.\\
    ($\textrm{gesamter Kohlenstoff} < \textrm{steps} \times c_{ratio}$)
   \item zuf"allige Wahl von Koordinaten f"ur Kohlenstofferh"ohung:\\
    Analog zur Bestimmung der Sto"skoordinaten wird durch 3 Zufallszahlen das Gebiet, in dem die lokale Kohlenstoffkonzentration inkremeniert wird, ausgew"ahlt. Es gilt:\\
    $p(x)dx=dx \textrm{, } p(y)dy=dy \textrm{, } p(z)dz=(a_{cd} \times z+b_{cd})dz$
  \end{itemize}
 \item Diffusion:\\
  Die Diffusionsroutinen werden alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt. Dies ist somit ein Ma"s f"ur die Diffusionsgeschwindigkeit.
  \begin{itemize}
   \item Kohlenstoff Diffusion von kristalline in amorphe Gebiete:\\
    Im Programmablauf wird jede Zelle des Targets betrachtet. Ist diese amorph, so werden aus den umliegenden kristallinen Nachbarzellen $c_C(Nachbar) \times dr_{ac}$ Kohlenstoffionen transportiert. $dr_{ac}$ entspricht somit einer Diffusionsrate. Bisher gibt es keine Beschr"ankungen, wie zum Beispiel eine S"attigungskonzentration.
   \item Kohlenstoff Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete:\\
    Ist eine betrachtete Zelle kristallin, und hat sie kristalline Nachbarn, so werden $\frac{\textrm{Differenz}}{2} \times dr_{cc}$ Kohlenstoffionen transferiert. Da ein lineares Konzentrationsverhalten garantiert werden muss, darf diese Diffusion nur in der horizontalen Ebene stattfinden. Dies ist physikalisch nicht sinnvoll begr"undbar, daher kann die rein kristalline Diffusion weggelassen werden.
  \end{itemize}
  Die Diffusion ist der rechenintensivste Schritt der Simulation. Sie macht aus dem bisherigen $O(n)$-Problem ein $O(n^2)$-Problem.
\end{itemize}

\subsection{Ablaufschema}
Abbildung \ref{ablaufschema1} und \ref{ablaufschema2} zeigen den Simulationsablauf in Form eines Ablaufschemas.
\originalTeX
\begin{figure}[thbp]
\begin{center}
\begin{graph}(8,30)
 \graphnodecolour{1}
 \textnode{start}(4,30){nlsop start}
 \rectnode{rand1}[6,3](4,27.5)
 \freetext(4,28.5){zufaellige Wahl der Koordinaten:}
 \freetext(4,27.5){$p(x)dx=dx$}
 \freetext(4,27){$p(y)dy=dy$}
 \freetext(4,26.5){$p(z)dz=(a_{el} \times z+b_{el})dz$}
 \diredge{start}{rand1}
 \rectnode{p_ac_ca}[12,3](4,23.5)
 \freetext(4,24.5){Berechnung der $p_{a \rightarrow c}$ bzw. $p_{c \rightarrow a}$:}
 \freetext(4,23.5){$\displaystyle p_{c \rightarrow a}=a_{cp} \times c^{\textrm{lokal}}_{\textrm{Kohlenstoff}} + b_{ap} + \sum_{amorphe Nachbarn} \frac{a_{ap} \times c_{\textrm{Kohlenstoff}}}{\textrm{Abstand}^2}$}
 \freetext(4,22.5){$\displaystyle p_{a \rightarrow c}=1-p_{c \rightarrow a}$}
 \diredge{rand1}{p_ac_ca}
 \textnode{ac}(4,21){Zelle $(x,y,z)$ amorph?}
 \diredge{p_ac_ca}{ac}
 \textnode{d_c}(2,19.5){Zufallszahl $< p_{a \rightarrow c}$ ?}
 \textnode{d_a}(6,19.5){Zufallszahl $< p_{c \rightarrow a}$ ?}
 \diredge{ac}{d_a}
 \edgetext{ac}{d_a}{nein}
 \diredge{ac}{d_c}
 \edgetext{ac}{d_c}{ja}
 \textnode{amount_c}(4,16.5){$\textrm{gesamter Kohlenstoff} < \textrm{steps} \times c_{ratio}$ ?}
 \diredge{d_c}{amount_c}
 \diredge{d_a}{amount_c}
 \textnode{make_c}(1,18){Zelle $(x,y,z) = \textrm{kristallin}$}
 \textnode{make_a}(7,18){Zelle $(x,y,z) = \textrm{amorph}$}
 \diredge{d_c}{make_c}
 \edgetext{d_c}{make_c}{ja}
 \diredge{d_a}{make_a}
 \edgetext{d_a}{make_a}{ja}
 \diredge{make_c}{amount_c}
 \diredge{make_a}{amount_c}
 \rectnode{rand2}[5,3](1.5,14)
 \freetext(1.5,15){zufaellige Koordinaten:}
 \freetext(1.5,14){$p(x)dx=dx$}
 \freetext(1.5,13.5){$p(y)dy=dy$}
 \freetext(1.5,13){$p(z)dz=(a_{cd} \times z+b_{cd})dz$}
 \diredge{amount_c}{rand2}
 \freetext(3,16){ja}
 \rectnode{inc_c}[5,1.5](1.5,11)
 \freetext(1.5,11){Erhoehe $c_{Kohlenstoff}(x,y,z)$}
 \freetext(1.5,10.5){Erhoehe gesamten Kohlenstoff}
 \diredge{rand2}{inc_c}
 \textnode{d_d}(5,9.5){Diffusion}
 \diredge{inc_c}{d_d}
 \diredge{amount_c}{d_d}
 \edgetext{amount_c}{d_d}{nein}
\end{graph}
\end{center}
\germanTeX
\caption{Ablaufschema Teil 1} \label{ablaufschema1}
\end{figure}

\begin{figure}[thbp]
\begin{center}
\begin{graph}(8,30)
 \graphnodecolour{1}
 \textnode{n_start}(4,30){Diffusion}
 \textnode{d_d}(4,29){steps vielfaches von $d_v$?}
 \diredge{n_start}{d_d}
 \textnode{diff_for_loop}(2,28){Gehe verbleibende Zellen durch}
 \diredge{d_d}{diff_for_loop}
 \edgetext{d_d}{diff_for_loop}{ja}
 \textnode{d_c}(2,27){Zelle kristallin?}
 \diredge{diff_for_loop}{d_c}
 \textnode{c_diff}(0.5,26){Gehe alle Nachbarn durch}
 \diredge{d_c}{c_diff}
 \edgetext{d_c}{c_diff}{ja}
 \textnode{c2a_diff}(5.5,26){Gehe alle Nachbarn durch}
 \diredge{d_c}{c2a_diff}
 \edgetext{d_c}{c2a_diff}{nein}
 \textnode{n_c}(0.5,25){Nachbar kristallin?}
 \diredge{c_diff}{n_c}
 \textnode{n_c2}(5.5,25){Nachbar kristallin?}
 \diredge{c2a_diff}{n_c2}
 \rectnode{c2c_d}[4,1.5](0.5,23.5)
 \freetext(0.5,23.5){Bewege $\frac{\textrm{Differenz}}{2} \times dr_{cc}$}
 \freetext(0.5,23){der Kohlenstoffatome}
 \diredge{n_c}{c2c_d}
 \freetext(0.7,24.5){ja}
 \rectnode{c2a_d}[4,1.5](6,23.5)
 \freetext(6,24){Bewege}
 \freetext(6,23.5){$c_C(Nachbar) \times dr_{ac}$}
 \freetext(6,23){der Kohlenstoffatome}
 \diredge{n_c2}{c2a_d}
 \freetext(6.2,24.5){ja}
 \textnode{ne1}(0.5,22){Alle Nachbarn durch?}
 \diredge{c2c_d}{ne1}
 \dirbow{n_c}{ne1}{-0.8}
 \freetext(-2,24.5){nein}
 \dirbow{ne1}{c_diff}{-0.6}
 \freetext(2.5,22.5){nein}
 \textnode{ne2}(6,22){Alle Nachbarn durch?}
 \diredge{c2a_d}{ne2}
 \dirbow{n_c2}{ne2}{0.9}
 \freetext(8,24.5){nein}
 \dirbow{ne2}{c2a_diff}{0.6}
 \freetext(4,22.5){nein}
 \textnode{ze}(3,21){Alle Zellen durch?}
 \dirbow{ze}{diff_for_loop}{-0.1}
 \freetext(3,25){nein}
 \diredge{ne1}{ze}
 \edgetext{ne1}{ze}{ja}
 \diredge{ne2}{ze}
 \edgetext{ne2}{ze}{ja}
 \textnode{test_sf}(3,20){steps vielfaches von save intervall?}
 \diredge{ze}{test_sf}
 \edgetext{ze}{test_sf}{ja}
 \dirbow{d_d}{test_sf}{0.6}
 \bowtext{d_d}{test_sf}{0.6}{nein}
 \textnode{sf}(1,19){save data}
 \diredge{test_sf}{sf}
 \edgetext{test_sf}{sf}{ja}
 \textnode{test_display}(3,18){steps vielfaches von display intervall?}
 \diredge{sf}{test_display}
 \diredge{test_sf}{test_display}
 \edgetext{test_sf}{test_display}{nein}
 \textnode{display}(1.5,17){display}
 \diredge{test_display}{display}
 \edgetext{test_display}{display}{ja}
 \textnode{test_end}(3,16){$\textrm{steps} = \textrm{max steps}$?}
 \diredge{display}{test_end}
 \diredge{test_display}{test_end}
 \edgetext{test_display}{test_end}{nein}
 \textnode{nlsop_start}(7,16){nlsop start}
 \diredge{test_end}{nlsop_start}
 \edgetext{test_end}{nlsop_start}{nein}
 \textnode{sf2}(3,15){save data}
 \diredge{test_end}{sf2}
 \edgetext{test_end}{sf2}{ja}
 \textnode{display2}(3,14){user interaction?}
 \diredge{sf2}{display2}
 \textnode{nlsop_end}(1.5,13){nlsop end}
 \diredge{display2}{nlsop_end}
 \edgetext{display2}{nlsop_end}{nein}
 \textnode{d_a_w_f_e}(5.5,13){display and wait for event}
 \diredge{display2}{d_a_w_f_e}
 \edgetext{display2}{d_a_w_f_e}{ja}
 \textnode{test_event}(5.5,12){event $=$ quit?}
 \diredge{d_a_w_f_e}{test_event}
 \diredge{test_event}{nlsop_end}
 \edgetext{test_event}{nlsop_end}{ja}
 \textnode{ea}(5.5,11){eventaction}
 \diredge{test_event}{ea}
 \edgetext{test_event}{ea}{nein}
 \dirbow{ea}{d_a_w_f_e}{-0.6}
\end{graph}
\end{center}
\germanTeX
\caption{Ablaufschema Teil 2} \label{ablaufschema2}
\end{figure}
 
\section{Bedienung des Programms}
Im Folgenden soll die Bedienung des Simultionsprogramms erkl"art werden. Das Programm muss immer per Kommandozeile gestartet werden. Auf Systemen die \emph{DirectFB} installiert und den Simulationscode entsprechend "ubersetzt haben, hat man die M"oglichkeit die Simulation grafisch zu verfolgen oder auch fertige, gespeicherte Simulationen zu betrachten. Auf Beides wird im folgenden eingegangen.
Der Leser, der nur an dem Modell und den Ergebnissen interessiert ist, kann dieses Kapitel getrost "uberspringen.
\subsection{Kommandozeilen Argumente}
In jedem Fall mu"s das Programm auf der Kommandozeile gestartet werden. Die auszuf"uhrende Datei hat den Namen nlsop (nano lamella selforganization process). Im Folgenden sind die m"oglichen Argumente aufgelistet und erkl"art.
\begin{itemize}
 \item -h\\
  Gibt die Hilfe zu dem Programm aus.
 \item -n\\
  Deaktiviert Interaktion des Benutzers. Diese Option ist hilfreich wenn das Programm sich nach einem Durchlauf selbst beenden soll, zum Beispiel zur Verwendung in Skripten.
 \item -Z\\
  Diese Option schaltet die Kohlenstoff Diffusion von kristallinen in amorphe Gebiete in $z$-Richtung ein.
 \item -i\\
  Deaktiviert die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete.
 \item -a <Wert>\\
  Setzt den Wert f"ur die Steigung der linear gen"aherten nuklearen Bremskraft ($a_{el}$).
 \item -b <Wert>\\
  Setzt den Wert f"ur den $y$-Achsenabschnitt der linear gen"aherten nuklearen Bremskraft ($b_{el}$).
 \item -x <Wert>\\
  Bestimmt die Anzahl der Zellen in $x$ Richtung.
 \item -y <Wert>\\
  Bestimmt die Anzahl der Zellen in $y$ Richtung.
 \item -z <Wert>\\
  Bestimmt die Anzahl der Zellen in $z$ Richtung.
 \item -s <Wert>\\
  Bestimmt die Anzahl der Simulationsschritte ($steps$).
 \item -d <Wert>\\
  Setzt die Anzahl der Schritte nach der das Display aktualisiert wird.
 \item -r <Wert>\\
  Bestimmt den Radius des Einflussbereichs benachbarter amorpher Gebiete.
 \item -f <Wert>\\
  Setzt den Wert f"ur den Einfluss der spannungsinduzierten Amorphisierung ($a_{ap}$).
 \item -p <Wert>\\
  Setzt den Wert f"ur den Einfluss der ballistischen Amorphisierung ($b_{ap}$).
 \item -F <Wert>\\
  Setzt den Wert f"ur den Einfluss der kohlenstoffinduzierten Amorphisierung ($a_{cp}$).
 \item -A <Wert>\\
  Setzt den Wert f"ur die Steigung der linear gen"aherten Kohlenstoffverteilung ($a_{cd}$).
 \item -B <Wert>\\
  Setzt den Wert f"ur den $y$-Achsenabschnitt der linear gen"aherten Kohlenstoffverteilung ($b_{cd}$).
 \item -D <Wert>\\
  Gibt die Diffusionsrate von kristallinen in amorphe Gebiete an ($dr_{ac}$).
 \item -c <Wert>\\
  Gibt die Diffusionsrate innerhalb kristalliner Gebiete an ($dr_{cc}$). Dieser Wert macht nur Sinn, wenn -i nicht gesetzt wurde.
 \item -e <Wert>\\
  Anzahl der Schritte nach denen Diffusion stattfinden soll ($d_v$).
 \item -g <Datei> <Schritt>\\
  Mit dieser Option kann eine nicht fertige Simulation ab einem bestimmten Schritt fortgef"uhrt werden. Die Anzahl der Simulationsschritte kann jedoch nicht mehr ge"andert werden.
 \item -W <Wert>\\
  Gibt an wie oft der Stand der Simulation in eine Datei gespeichert werden soll.
 \item -S <Datei>\\
  Setzt den Basisnamen der Dateie zum Speichern des Simulationsergebnisses.
 \item -L <Datei>\\
  L"adt eine fertige Simulation. Wurde das Programm ohne grafische Oberfl"ache "ubersetzt, sollte mindestens noch die -C Option verwendet werden.
 \item -C <Datei>\\
  Konvertiert ein Simulationsergebnis in GNUPlot Format nach Datei. Dieser Aufruf macht nur Sinn in Verbindung mit der -L Option.
 \item -R <Datei>\\
  Bei dieser Option werden die Zufallszahlen aus Datei gelesen.
 \item -P <Datei>\\
  Gibt die Datei an, aus der das Konzentrationsprofil entnommen wird.
\end{itemize}
\subsection{Die grafische Oberfl"ache}
Wenn das Programm mit DirectFB Unterst"utzung "ubersetzt wurde, kann die Simulation visuell verfolgt werden. Au"serdem k"onnen fertig abgespeicherte Simulationen mit der -L Option geladen und betrachtet werden.
Die grafische Oberfl"ache ist in vier Teile gegliedert, wie in Abbildung \ref{nlsop_gui} zu sehen ist.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=12cm]{nlsop_gui.eps}
\caption{Grafische Oberfl"ache} \label{nlsop_gui}
\end{figure}
Dem gelb umrandeten Infokasten rechts unten kann man folgende Informationen entnehmen.
\begin{itemize}
 \item Koordinaten $x$, $y$ und $z$\\
  Sie geben die Position der gerade betrachteten Zelle an. Die Bewegung durchs Target ist durch die Pfeiltasten in $x-y$-Richtung m"oglich. Durch die Bildtasten navigiert man in $z$-Richtung.
 \item Status und Konzentration (status, conc)\\
  Hier werden Status und Konzentration der betrachteten Zelle festgehalten. $c$ steht f"ur kristallin, $a$ f"ur amorph. Die Konzentration gibt bisher noch die tats"achlich in diesem Gebiet befindliche Menge an implantierten Teilchen an.
 \item Simulationsschritt (step)\\
  In der laufenden Simulation werden hier die Schritte hochgez"ahlt.
 \item gesamt implantierter Kohlenstoff (total c)\\
  Gibt den im gesamten Simulationsfenster implantierten Kohlenstoff an.
 \item Diffusion\\
  Hier wird festgehalten wie oft Diffusion durchgef"uhrt, und ob Diffusion in $z$-Richtung zugelassen wird.
 \item Simulationsschritte und Dosis\\
  Gibt die ausgew"ahlte Schrittzahl (steps) und entsprechende Dosis (dose) an.
 \item weitere verwendete Kommandozeilenargumente\\
  Zeigt weitere verwendete Parameter wie den Einflu"sbereich der amorphen Druckspannungen, $a_{ap}$, $b_{ap}$, $a_{el}$, $b_{el}$, $a_{cd}$, $b_{cd}$, $a_{cp}$ und die Diffusionsraten an.
\end{itemize}
Die drei blauen Gitter stellen die $x-z$-Ebene (oben links), die $y-z$-Ebene (oben rechts) und die $x-y$-Ebene (unten links) dar, welche sich in der ausgew"ahlten Zelle schneiden. Diese ist gelb umrandet. Eine blau umrandete Zelle ist im kristallinen Zustand, die roten Zellen sind amorph.
Neben den Tasten zur Navigation sind noch weitere wie folgt belegt:
\begin{itemize}
 \item q\\
  Beendet das Programm.
 \item m\\
  Wechselt den Modus. Neben der Kristallin-Amorph-Darstellung kann noch die Konzentration der Zellen und das Spannungsfeld durch die amorphen Zellen veranschaulicht werden (Abbildung \ref{kksf}).
  \begin{figure}[htb]
  \includegraphics[width=6cm]{nlsop_cc.eps}
  \includegraphics[width=6cm]{nlsop_ap.eps}
  \caption{Kohlenstoffkonzentration und Spannungsfeld} \label{kksf}
  \end{figure}
 \item 1, 2, 3\\
  Erzeugt schwarz-wei"s Bitmaps der 3 Gitterebenen zum besseren Vergleich mit TEM Aufnahmen.
\end{itemize}

\section{Ergebnisse der Simulation}
Der Simulationscode wurde Schritt f"ur Schritt um Funktionalit"at, bis zum jetzigen Stand erweitert. Die Ergebnisse der einzelnen Versionen sollen chronologisch pr"asentiert werden. Man kann eine Grobunterteilung in Simulationen ohne und mit Diffusion vornehmen.
In allen Simulationen wurde $x=50$, $y=50$ und $z=100$ gew"ahlt. Da das betrachtete Simulationsfenster $~300 nm$ tief ist, hat die Zelle eine Kantenl"ange von $~3 nm$. Dies entspricht auch der tats"achlich beobachteten H"ohe solcher amorphen Ausscheidungen.
Variiert wurden haupts"achlich die Anzahl der Simulationsschritte und Parameter die den Einflu"s der Druckspannungen der amorphen Umgebung, sowie den Einfluss der Kohlenstoff"ubers"attigung beschreiben. Bei den Simulationen mit Diffusion wurden Ver"anderungen der Diffusion beschreibenden Parameter zus"atzlich untersucht.
\subsection{Simulationen ohne Diffusion}
Dies betrifft die ersten Versionen der Simulation. Die Versuche wurden mit einer Schrittzahl von $100000$ und $300000$ durchgef"uhrt. Da dies weit unter der implantierten Teilchenzahl ist, wurden relativ gro"se Werte f"ur $a_{ap}$ und $b_{ap}$ verwendet, $a_{cp}$ war in den ersten Versionen noch nicht implementiert.
\subsubsection{Geeignete Wahl des Radius}
Als erstes war es sinnvoll einen geeigneten Radius des amorphen Einflussbereichs zu w"ahlen. Die Implementierung eines begrenzenden Radius f"ur die Suche nach amorphen Zellen in der Umgebung beschleunigt das Programm erheblich, und wurde aus diesem Grund realisiert.
Zun"achst wurden zwei Messungen mit unterschiedlichen Werten f"ur den Radius des amorphen Einflussbereichs durchgef"uhrt. Der Radius wird in Zellen angegeben.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=6cm]{sim1_r4_a03_b01.eps}
\includegraphics[width=6cm]{sim1_r6_a03_b01.eps}
\caption{Messungen mit $a_{ap}=0.3$, $b_{ap}=0.1$, $r=4$ (links), $r=6$ (rechts).} \label{sim1_r4_6}
\end{figure}
Wie man der Abbildung \ref{sim1_r4_6} entnehmen kann, bewirkt der gr"o"sere Radius lediglich eine gr"o"sere Menge an amorphen Zellen. Die lamellare Ordnung der amorphen Ausscheidungen wird nicht verst"arkt. F"ur die folgenden Messungen wird dieser konstant $r=5$ gehalten.
\subsubsection{Untersuchung der Parameter $a_{ap}$ und $b_{ap}$}
In der Hoffnung, ausgepr"agtere lamellare Ordnung zu erhalten, wurde $a_{ap}$ erh"oht. Abbildung \ref{sim1_r5_a03_05} zeigt die Ergebnisse.
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=6cm]{sim1_r5_a03_b01.eps}
\includegraphics[width=6cm]{sim1_r5_a05_b01.eps}
\caption{Messung mit $b_{ap}=0.1$, $r=5$, $a_{ap}=0.3$ (links), $a_{ap}=0.5$ (rechts).} \label{sim1_r5_a03_05}
\end{figure}
Auch hier erh"oht sich die Menge der amorphen Gebiete, eine Erh"ohung der lamellaren Strukturen bleibt aus.
Das gleiche erwartet man auch bei Erh"ohung des $b_{ap}$ Wertes. Dies ist in Abbildung \ref{sim1_r5_b02_03} zu erkennen. Wie erwartet nimmt die Anzahl der amorphen Gebiete stark zu. Sch"on zu erkennen ist die lineare Abh"angigkeit der Amorphisierung mit der Tiefe, was auf eine richtige Implementierung der Koordinatenwahl schlie"st.
\begin{figure}[htb]
\includegraphics[width=6cm]{sim1_r5_a03_b02.eps}
\includegraphics[width=6cm]{sim1_r5_a03_b03.eps}
\caption{Messung mit $a_{ap}=0.3$, $r=5$, $b_{ap}=0.2$ (links), $b_{ap}=0.3$ (rechts).} \label{sim1_r5_b02_03}
\end{figure}
\subsubsection{Variation der Schrittzahl}
Ein interessantes Ergebnis erh"alt man bei h"oheren Schrittzahlen und niedrigen Werten f"ur $a_{ap}$ und $b_{ap}$. Abbildung \ref{sim1_r4_a01_b01} zeigt ein solches Ergebnis.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{sim1_r4_a01_b01.eps}
\end{center}
\caption{Messung mit $a_{ap}=0.1$, $b_{ap}=0.1$, $r=4$, $steps=300000$} \label{sim1_r4_a01_b01}
\end{figure}
Durch die hohe Anzahl an Schritten und klein gehaltenen Werten f"ur den Einfluss der Amorphisierung, was eine gro"se Wahrscheinlichkeit f"ur die Rekristallisation zuf"allig amorpher Zellen ohne amorphe Nachbarn zur Folge hat, stabilisieren sich die lamellaren Strukturen. In den weiteren Durchl"aufen wurde daher die Schrittzahl gro"s und die benannten anderen Werte klein gehalten.
\subsection{Simulationen mit Diffusion}
Neben der h"oheren Schrittzahl wurde nun die Diffusion mit in den Simulationsablauf aufgenommen. Die Versuche wurden mit $20,000,000$ Schritten durchgef"uhrt. Betrachtet man einen Schritt als ein implantiertes Teilchen, so entspricht das bei einer Zellenbreite von $3 nm$ und einer Fl"ache von $50 \times 50$ solcher Zellen einer Dosis von $0.89 \times 10^{17}\frac{C}{cm^2}$, was im Gr"o"senordnungsbereich der experimentell durchgef"uhrten Ergebnisse aus Abbildunng \ref{tem1} liegt. Da ein implantierter Kohlenstoff jedoch mehr als nur einen Sto"s ausf"uhren kann, entsprechen die f"ur die Amorphisierung gew"ahlten Parameter nicht den tats"achlichen Wahrscheinlichkeiten. Sie sind gr"o"ser um "uberhaupt amorphe Gebiete zu erhalten.
\subsubsection{Notwendigkeit der Diffusion in $z$-Richtung}
Wie bereits erw"ahnt, wurde die Diffusion von Kohlenstoff innerhalb kristalliner Gebiete nur in $x-y$-Richtung zugelassen, um ein lineares Kohlenstoffprofil zu gew"ahrleisten. Dies wurde zun"achst genau so f"ur die Diffusion von kristallinen in amorphe Gebiete getan. Da jedoch der Kohlenstoff nicht aus amorphen in kristalline Gebiete diffundiert, kann hier auch ohne Verletzung des implantierten Kohlenstoffprofils Diffusion in $z$-Richtung zugelassen werden. Es stellt sich raus, dass diese sogar unbedingt notwendig f"ur die Bildung der lamellaren Strukturen ist.
\begin{figure}[htb]
\includegraphics[width=6cm]{sim2_a004_b0_noZ.eps}
\includegraphics[width=6cm]{sim2_a004_b0_Z.eps}
\caption{Messungen mit (rechts) und ohne (links) Diffusion von amorphen in kristalline Gebiete in $z$-Richtung} \label{sim2_Z_noZ}
\end{figure}
Dies kann man in Abbildung \ref{sim2_Z_noZ} gut erkennen. Zu sehen sind die Messergebnisse zweier, bis auf besagte Diffusion, identischer Versuche, mit $a_{ap}=0.004$, $b_{ap}=0$, $a_{cp}=0.0001$ und $r=5$.

Interessantes in diesem Zusammenhang ist in Abbildung \ref{x-y-e} zu sehen. Hier sind zwei aufeinander folgende Ebenen zu sehen. Die amorphen und kristallinen Gebiete scheinen komplement"ar angeordnet zu sein. Dieser Effekt ist auf die Diffusion in $z$-Richtung zur"uckzuf"uhren. Die amorphen Gebiete entziehen den anliegenden Ebenen den Kohlenstoff, welche dann mit gr"o"serer Wahrscheinlichkeit kristallin bleiben.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=3cm]{sim2_a004_b0_Z_x-y_97.eps}
\includegraphics[width=3cm]{sim2_a004_b0_Z_x-y_98.eps}
\end{center}
\caption{Zwei aufeinander folgende Ebenen mit komplement"ar angeordneten amorphen und kristallinen Gebieten} \label{x-y-e}
\end{figure}
\subsubsection{Variation der Diffusionsgeschwindigkeit $d_v$}
Wie oft Diffusion im Programmablauf abgearbeitet wird bestimmt der $d_v$ Parameter. Dieser stellt damit den Bezug zur Diffusionsgeschwindigkeit her. Abbildung \ref{d_v} zeigt vier gleiche Messungen mit unterschiedlichen Werten f"ur $d_v$. Die zu beobachtenden Unterschiede sind minimal. Mit zunehmenden Werten f"ur $d_v$ nimmt die Tiefe in der erstmals lamellare Ausscheidungen auftreten leicht zu, einzelne Ausscheidungen, die keinen lamellaren Charakter aufweisen werden weniger. In sp"ateren Versuchen, in denen die Diffusion zwischen kristallinen Gebieten unterdr"uckt wird, erkennt man jedoch keine Unterschiede mehr bei Variation von $d_v$, wie in Abbildung \ref{d_v_no-c-diff} zu sehen ist.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=2cm]{sim2_a003_b0_10_x-z_24.eps}
\includegraphics[width=2cm]{sim2_a003_b0_100_x-z_24.eps}
\includegraphics[width=2cm]{sim2_a003_b0_1000_x-z_24.eps}
\includegraphics[width=2cm]{sim2_a003_b0_10000_x-z_24.eps}
\end{center}
\caption{Messergebnisse f"ur verschiedene $d_v$ $(10/100/1000/10000)$} \label{d_v}
\end{figure}
\subsubsection{Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete}
Die Einschr"ankung der Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete auf die $x-y$-Ebene ist physikalisch nicht sinnvoll erkl"arbar. Sie wurde urspr"unglich als notwendig erachtet, um kristalline Gebiete, die von ihrer amorphen Umgebung stark kohlenstoffreduziert wurden, wieder mit neuem Kohlenstoff zu versorgen, so dass diese bestrebt sind amorph zu werden. Tats"achlich kann die Diffusion innerhalb kristalliner Zellen weggelassen werden, wie Abbildung \ref{cc_diff} zeigt. Hier sind die Ergebnisse zweier identischer Messungen mit und ohne kristalliner Diffusion zu sehen. In beiden F"allen sind lamellare Strukturen gut zu erkennen. 
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=3cm]{sim2_a004_b0_Z_c-diff_x-z_21.eps}
\includegraphics[width=3cm]{sim2_a004_b0_Z_no-c-diff_y-z_24.eps}
\caption{Messung mit (links) und ohne (rechts) kristalliner Diffusion, $a_{ap}=0.004$, $b_{ap}=0$, $a_{acp}=0.0001$} \label{cc_diff}
\end{center}
\end{figure}

Das Weglassen der rein kristallinen Diffusion ist bei niedrigen Targettemperaturen und damit niedrigen Bestreben des Kohlenstoffs zu diffundieren auch physikalisch vertretbar.

Des weiteren erkennt man bei nicht vorhandener kristalliner Diffusion eine Unabh"angikeit der Ergebnisse von der Diffusiongeschwindigkeit $d_v$, wie in Abbildung \ref{d_v_no-c-diff} zu sehen ist.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=3cm]{sim2_a003_b0_10_no-c-diff_x-z_32.eps}
\includegraphics[width=3cm]{sim2_a003_b0_100_no-c-diff_x-z_37.eps}
\includegraphics[width=3cm]{sim2_a003_b0_1000_no-c-diff_x-z_27.eps}
\caption{Messergebnisse f"ur verschiedene $d_v$ $(10/100/1000)$ bei ausgeschalteter Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete} \label{d_v_no-c-diff}
\end{center}
\end{figure}
\subsubsection{Variation der amorph-kristallinen Diffusionsrate}
Unterdr"uckt man die Diffusion von kristallinen in amorphe Gebiete durch Verkleinern des $dr_{ac}$ Wertes, so beobachtet man einen R"uckgang der lamellaren Strukturen. Diese beginnen nun erst ungef"ahr $60 nm$ vor dem Implantationspeak, w"ahrend bei einem identischen Versuch mit h"oherer Diffusionsrate diese schon ab ungef"ahr $150 nm$ zu erkennen sind, wie man Abbildung \ref{suppress_dr_ac} entnehmen kann.
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=3cm]{sim2_a004_b0_Z_c-diff_x-z_21.eps}
\includegraphics[width=3cm]{sim2_a004_b0_Z_0.2-ac-diff_y-z_28.eps}
\caption{Messunng mit verschiedenen amorph-kristallinen Diffusinsraten, $dr_{ac}=0.5$ (links), $dr_{ac}=0.2$ (rechts)} \label{suppress_dr_ac}
\end{center}
\end{figure}
\subsection{Zusammenfassung der Ergebnisse und Vergleich mit der TEM-Aufnahme}
Die aufgef"uhrten Ergebnisse enthalten einige wichtige Informationen, welche als Grundlage f"ur weitere Versuche und "Uberlegungen dienen sollen.
\begin{itemize}
 \item Eine hohe Schrittzahl und niedrige Werte f"ur den Einfluss der Amorphisierung f"ordern den Selbstordnungsprozess.
 \item Essentiell f"ur die Ausbildung lamellarer Strukturen ist die Diffusion von Kohlenstoff von kristallinen in amorphe Gebiete, insbesondere in $z$-Richtung.
 \item Kohlenstoff-Diffusion in kristallinen Gebieten kann vernachl"assigt werden.
 \item $d_v$ kann hoch gew"ahlt werden ($1-10000$), wodurch Rechenzeit gespart wird.
 \item Die amoprh/kristalline Diffusionsrate beeinflusst die Tiefe in der erstmals lamellare Ordnungen auftreten.
 \item Es bilden sich komplement"ar angeordnete, amorphe kohlenstoffreiche inself"ormige Ausscheidungen in den einzelnen Ebenen.
 \item Die spannungsinduzierte Amorphisierung spielt eine weitaus gr"o"sere Rolle als die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung ($\frac{a_{ap}}{a_{cp}} \simeq 30$).
\end{itemize}
Die gr"o"ste "Ubereinstimmungen mit dem experimentell gefundenen Ergebnis aus Abbildung \ref{tem1} sind in Abbildung \ref{cmp2-tem} und \ref{cmp3-tem} zu sehen. Die lamellare Ordnung der amorphen Ausscheidungen beginnt in einer Tiefe von $200 nm$. Nach Augenma"s stimmen auch durchschnittlich die L"angen der Lamellen mit dem Experiment "uberein.

%\begin{figure}[htb]
%\begin{center}
%\includegraphics[width=2cm]{sim2_a003-b0_no-c-diff_y-z_27-cmp-tem.eps}
%\includegraphics[width=2cm]{sim2_a003-b0_no-c-diff_y-z_28-cmp-tem.eps}
%\includegraphics[width=2cm]{sim2_a003-b0_no-c-diff_y-z_29-cmp-tem.eps}
%\caption{Messungen mit $a_{ap}=0.003$, $b_{ap}=0$, $a_{cp}=0.0001$ und $r=3$} \label{cmp-tem}
%\end{center}
%\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width=2cm]{sim2_64-64_a003_b0_no-c-diff_x-z_23-cmp-tem.eps}
\includegraphics[width=2cm]{sim2_64-64_a003_b0_no-c-diff_x-z_24-cmp-tem.eps}
\includegraphics[width=2cm]{sim2_64-64_a003_b0_no-c-diff_x-z_25-cmp-tem.eps}
\includegraphics[width=2cm]{sim2_64-64_a003_b0_no-c-diff_x-z_27-cmp-tem.eps}
\caption{Messungen mit $a_{ap}=0.003$, $b_{ap}=0$, $a_{cp}=0.0001$ und $r=5$ bei einer Dosis von $0.81 \times 10^{17} \frac{C}{cm^2}$} \label{cmp2-tem}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[htp]
\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{sim2_64-64_a003_b0_no-c-diff_x-z_23-cmp-tem.eps}
\includegraphics[height=4cm]{tem-if.eps}
\caption{Direkter Vergleich mit TEM-Aufnahme} \label{cmp3-tem}
\end{center}
\end{figure}

\chapter{Ausblick}
Bisher wurde ein "Uberblick "uber den derzeitigen Stand des Programms und des zu Grunde liegenden Modells gegeben. Zusammenh"ange zwischen Simulationsparametern, physikalischen Gr"o"sen und Implantationsparametern fehlen noch. Diese sollen fortf"uhrend erarbeitet werden.

Eine Schw"ache des Programms ist die Deutung eines Durchlaufs als implantiertes Teilchen, welches einen Sto"sprozess ausf"uhrt. Die Tatsache, da"s ein Teilchen jedoch "ofter als einmal st"o"st, wurde durch Erh"ohung einiger Simulationsparameter, welche das Bestreben der Amorphisierung beschreiben, kompensiert. Um die Simulationsparameter besser in Zusammenhang mit den Implantationsparametern zu bringen, scheint es sinnvoll, den Simulationscode umzuschreiben, so da"s pro Durchlauf mehrere Sto"sprozesse ausgef"uhrt werden k"onnen.

Desweiteren wurden die Versuchsergebnisse mit dem Auge betrachtet und mit der TEM Aufnahme verglichen. Eine weniger subjektive Bewertungsm"oglichkeit w"aren Autokorrelationsfunktionen beziehungsweise die Betrachtung des fouriertransformierten Realbildes zur Bestimmung des lamellaren Charakters. Dazu sollen zuk"unftig die Versuche mit $x=64$ und $y=64$ durchgef"uhrt werden, um Fast-Fourier-Transformation anwenden zu k"onnen, welche f"ur die Pixelweite und H"ohe ein Vielfaches von $2$ ben"otigt.

Ausserdem soll nach Ver"anderung des Programmcodes der Versuch gemacht werden, die Entwicklung, bis hin zu einer exakten Dosis zu reproduzieren. Intensivere Vergleiche mit TEM-Aufnahmen sollen angestellt und ein Zusammenhang zwischen Implantations- und Simulationsparametern gefunden werden.

\begin{thebibliography}{99}
 \bibitem{directfb} \emph{DirectFB}: Framebuffer API, http://www.directfb.orinself"ormige g
 \bibitem{dipl_mh} Diplomarbeit Maik H"aberlen, Bildung und Ausheilverhalten nanometrischer amorpher Einschl"usse in Kohlenstoff-implantiertem Silizium.
 \bibitem{bzl} Ziegler, Biersack, Littmark. The stopping and range of ions in solids.
\end{thebibliography}

\backmatter

\section*{Danksagung}
Hiermit m"ochte ich mich bei allen bedanken, die mir bei der Durchf"uhrung der Arbeit geholfen haben, insbesondere bei:
\begin{itemize}
 \item \emph{Hernn Prof. Dr. Bernd Stritzker} f"ur die M"oglichkeit diese Arbeit an seinem Lehrstuhl durchf"uhren zu k"onnen,
 \item \emph{Hernn PD Dr. habil. J"org K. N. Lindner} f"ur die Vergabe des interessanten Themas und hilfreichen Betreuung,
 \item \emph{Herrn Dipl.-Phys. Maik H"aberlen} daf"ur, dass er mich auf diese Arbeit aufmerksam machte und seiner ebenfalls engagierten Betreuung,
 \item \emph{Herrn Dipl.-Phys. Thomas Frommelt}, \emph{Herrn Timo K"orner} und \emph{Herrn Christian Leirer} f"ur eine gro"sartige Zeit im Diplomandenzimmer.
\end{itemize}
Allen weiteren Mitarbeitern des Lehrstuhls sei f"ur die freundschaftliche Arbeitsatmosph"are herzlich gedankt.
\\
Besonderem Dank gilt meinen Eltern sowie meinem Bruder Till, ohne deren Unterst"utzung dieses Studium nicht m"oglich w"are.

\end{document}
