\chapter{Simulation}
+ Im Folgenden soll die Implementation der Monte-Carlo-Simulation nach dem vorangegangen Modell diskutiert werden.
+ Ziel der Simulation ist die Verifizierung des Modells anhand der experimentellen Ergebnisse die in Abbildung \ref{img:xtem_img} vorliegen.
+ Die genauen Daten sind:
+ \begin{itemize}
+ \item Energie: $E=180 keV$
+ \item Dosis: $D = 4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$
+ \item Temperatur: $T = 150 ^{\circ} \mathrm{C}$
+ \item Imlantationswinkel: $\alpha = 7 ^{\circ}$
+ \item Ion/Target Kombination: $C^+ \rightarrow Si (100)$
+ \end{itemize}
+ Anzumerken ist, dass es zwei Versionen der Simulation gibt, die unterschiedliche Tiefenbereiche abdecken.
+ Diese unterscheiden sich in einigen Punkten, was den Simualtionsalgorithmus betrifft.
+ Darauf wird in einem gesonderten Abschnitt genauer eingegangen.
+ Der Simulationsalgorithmus wird erkl"art und die dazu ben"otigten Annahmen und Informationen aus {\em TRIM} Ergebnissen werden besprochen.
+ Das Kapitel schliesst mit dem Test der verwendeten Zufallszahlen und dem Ablaufschema der Simulation.
+
\section{Annahmen der Simulation}
+ \subsection{Unterteilung des Targets}
+ \label{subsection:unterteilung}
+
+ Wie in Abbildung \ref{img:sim_gitter} zu sehen ist, wird das Target in W"urfel mit Seitenl"ange $a = 3 nm$ zerlegt.
+ \begin{figure}[h]
+ \includegraphics[width=12cm]{gitter_oZ.eps}
+ \caption{Unterteilung des Targets in W"urfel mit $3 nm$ Kantenl"ange. Jedes Volumen ist entwerder amorph (rot) oder kristallin (blau) und protokolliert die lokale Kohelnstoffkonzentration}
+ \label{img:sim_gitter}
+ \end{figure}
+ Die Anzahl der W"urfel in $x$, $y$ und $z$ Richtung sind frei einstellbar.
+ Ein solches Volumen kann durch den Ortsvektor $\vec{r}(k,l,m)$, wobei $k$, $l$ und $m$ ganze Zahlen sind, addressiert werden.
+ Jeder W"urfel hat entweder den Zustand amorph (rot) oder ist kristallin (blau).
+ Die lokale Anzahl der implantierten Kohlenstoffatome wird ebenfalls protokolliert.
+
\subsection{Amorphisierung und Rekristallisation}
+ Nach dem in Kapitel \ref{chapter:modell} vorgestellten Modell gibt es drei zur Amorphisierung beitragende Mechanismen.
+ Eine lokale Wahrscheinlichkeit f"ur die Aamorphisierung $p_{c \rightarrow a}$ eines beliebigen kristallinen Volumens $\vec{r}$ setzt sich aus den drei Einzelwahrscheinlichkeiten f"ur die
+ \begin{itemize}
+ \item \textcolor[rgb]{0,1,1}{ballistische}
+ \item \textcolor{red}{kohlenstoffinduzierte}
+ \item \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{spannungsinduzierte}
+ \end{itemize}
+ Amorphisierung zusammen.
+ Sie wird wie folgt berechnet:
+ \begin{equation}
+ p_{c \rightarrow a}(\vec r) = \textcolor[rgb]{0,1,1}{p_{b}} + \textcolor{red}{p_{c} \, c_{Kohlenstoff}(\vec r)} + \textcolor[rgb]{0.5,0.25,0.12}{\sum_{amorphe \, Nachbarn} \frac{p_{s} \, c_{Kohlenstoff}(\vec{r'})}{(\vec r - \vec{r'})^2}}
+ \label{eq:p_ca_local}
+ \end{equation}
+
+ Die ballistische Amorphisierung besteht nur aus der Konstanten $p_b$.
+ Sie ist unabh"angig vom Ort und somit ein konstanter Beitrag f"ur jedes Volumen.
+ Sie hat keine Einheit.
+ Wieso dieser Beitrag in dieser Art sinnvoll ist, wird in Abschnitt \ref{subsection:parse_trim_coll} gekl"art.
+
+ Die Wahrscheinlichkeit f"ur die kohlenstoffinduzierte Amorphisierung wird proportional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration $c_{Kohlenstoff}$ angenommen.
+ $p_c$ ist die dazugeh"orige Proportionalit"atskosntante und hat demnach die Einheit $[p_c] = m^3$.
+
+ Der Beitrag der Druckspannungen setzt sich aus den einzelnen Beitr"agen amorpher Gebiete in der selben Ebene, da nur diese Spannungen aus"uben, zusammen.
+ Dabei ist der Wahrscheinlichkeitsbeitrag eines amorphen Volumens $\vec{r'}$ auf das Volumen $\vec{r}$ wieder proprtional zur lokalen Kohlenstoffkonzentration in $\vec{r'}$.
+ Dies ist offensichtlich, denn je mehr Kohlenstoff in dem Volumen, das auf Grund der Dichtereduktion in dem amoprhen Gebiet vorhanden ist, desto groesser die ausgehende Spannung auf die Umgebung.
+ Gleichzeitig ist der Beitrag indirekt proportional zum Abstandsquadrat $(\vec r - \vec{r'})^2$, da der Druck (Druck = Kraft pro Fl"ache) quadratisch mit der Entfernung abf"allt.
+ $p_s$ ist wieder Proportionalit"atskonstante und hat somit die Einheit $[p_s] = m^5$.
+
+ Die Rekristallisationswahrscheinlichkeit amorpher Gebiete $p_{a \rightarrow c}$ sollte sich genau entgegensetzt zu $p_{c \rightarrow a}$ verhalten und wird deshalb als
+ \begin{equation}
+ p_{a \rightarrow c}(\vec r) = 1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)
+ \label{eq:p_ac_local}
+ \end{equation}
+ angenommen.
+ Jedoch muss die direkte Nachbarschaft des Volumens ber"ucksichtigt werden.
+ F"ur die Rekristallisation ist Strukturinformation krsitalliner Nachbarschaft notwendig.
+ Mit einer zunehmenden Anzahl von amorphen Nachbarn sollte die Rekristallisationswahrscheinlichkeit also sukzessive abnehmen und ganz verschwinden wenn kein einziger kristalliner Nachabr vorhanden ist.
+ Mit der im Abschnitt \ref{subsection:unterteilung} beschriebenen Unterteilung hat ein Volumen genau sechs Angriffsfl"achen die als Rekristallisationsfront dienen k"onnen.
+ Damit kann man \eqref{eq:p_ac_local} neu schreiben und man erh"alt:
+ \begin{equation}
+ p_{a \rightarrow c}(\vec r) = (1 - p_{c \rightarrow a}(\vec r)) \Big(1 - \frac{\sum_{direkte \, Nachbarn} \delta (\vec{r'})}{6} \Big) \, \textrm{,}
+ \label{eq:p_ac_genau}
+ \end{equation}
+ mit
+ \begin{equation}
+ \delta (\vec r) = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ 1 & \textrm{wenn Gebiet bei $\vec r$ amorph} \\
+ 0 & \textrm{sonst} \\
+ \end{array}
+ \right.
+ \label{eq:dedltafunc}
+ \end{equation}
+
+ Die Proportionalit"atskonstanten $p_b$, $p_c$ und $p_s$ sind frei w"ahlbare Simulationsparameter.
+ Es gilt somit einen Satz von Parametern zu finden, der die gr"o"stm"oglichste "Ubereinstimmung von Simulationsergebiss und dem experimentell gefundenen Ergebniss aus Abbildung \ref{img:xtem_img} zeigt.
+ Durch Variation der gefundenen Parameter k"onnen dann die unterschiedlichen Einfl"usse der verschiedenen Amorphisierungsmechanismen untersucht und der Selbstorganisationsprozess verstanden werden.
+
\subsection{Diffusion}
+ Weiterhin sieht das Modell die M"oglichkeit der Diffusion von Kohelnstoff aus kristallinen in umliegende amorphe Volumina vor.
+ Die Diffusion wird durch zwei weitere Parameter beschrieben.
+ In Zeitintervallen $T_{Diff}$ wird ein Anteil $d_r$ des Kohlenstoffs eines kristallinen Volumens in das benachbarte amorphe Volumen transferiert.
+ Da von einem konstanten Strahlstrom ausgegangen wird, kann die Zeit $T_{Diff}$ auf eine Anzahl von implantierten Ionen $d_v$ abgebildet werden.
+ Die Diffusion des Kohlenstoffs von amorphe in kristalline Gebiete wird also durch die zwei Parameter $d_r$ und $d_v$ gesteuert.
+ Die Parameter sind ebenfalls frei w"ahlbar.
+ Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete sowie Diffusion innerhalb amorpher Gebiete wird ausgeschlossen.
+
\subsection{Sputtern}
- \section{Auswertung von TRIM Ergebnissen}
+ \section{Auswertung von {\em TRIM} Ergebnissen}
\subsection{Implantationsprofil und nukleare Bremskraft}
\subsection{Durchschnittliche Anzahl der St"o"se der Ionen und Energieabgabe}
-
- \section{Simulierte Tiefenbereiche}
+ \label{subsection:parse_trim_coll}
\section{Simulationsalgorithmus}
\subsection{Diffusion und Sputtern}
+ \section{Simulierte Tiefenbereiche}
+
+ \section{Test der Zufallszahlen}
+
\section{Ablaufschema}