+ H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \qquad (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \quad \vec{B} = (0,0,B_0)
+\]
+\newpage
+Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
+\begin{itemize}
+\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
+\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
+\end{itemize}
+Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne "Anderung eines "au"seren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein.\\
+\\
+Molekularfeldn"aherung:\\
+Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
+\[
+ S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\]
+wobei $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
+\[
+ H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
+\]
+und Zustandssumme:
+\[
+\begin{array}{ll}
+ Z & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
+ & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
+ & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
+\end{array}
+\]
+Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
+\[
+\begin{array}{l}
+ g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
+ m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
+\end{array}
+\]
+Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
+\[
+ \tanh (\beta Jm) = m
+\]
+die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die Anfangssteigung der linken Seite der Gleichung gr"o"ser $1$ ist. F"ur die kritische Temperatur gilt somit $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$.
+\\
+
+% \setlength{\unitlength}{2cm}
+% \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
+% \put(0,0){\line(1,1){1}}
+% \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
+% \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
+% \put(2.7,-0.1){$m$}
+% \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
+% \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+% \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+% \put(0.2,1.4){$f(m)$}
+% \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
+% \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
+% \end{picture}
+% \\
+
+\includegraphics[width=12cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.tif}
+
+Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
+
+\chapter{L"osungen des Ising Modells}
+
+\section{L"osung f"ur $d=1$}
+\setlength{\unitlength}{1.5cm}
+\begin{picture}(10,1)
+ \thicklines
+ \put(0,0.45){$\bullet$}
+ \put(0,0){$1$}
+ \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
+ \put(2,0.45){$\bullet$}
+ \put(2,0){$2$}
+ \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
+ \put(4,0.45){$\bullet$}
+ \put(4,0){$3$}
+ \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
+ \put(6,0.45){$\bullet$}
+ \put(6,0){$N$}
+\end{picture} \\
+\\
+Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
+\[
+ H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
+\]
+Annahmen:
+\begin{itemize}
+ \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
+ \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
+\end{itemize}
+Abk"urzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
+\\
+Die Energie des Systems ist nun gegeben durch:
+\[
+ E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
+\]
+Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
+\[
+ M = <S_1>
+\]
+Es gibt $2^N$ m"ogliche Spinzust"ande. Die Zustandssumme lautet:
+\[
+ Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
+\]
+Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
+\\
+Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
+\[
+\begin{array}{l}
+ <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
+ \\
+ \textrm{also:} \\
+ \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
+ \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
+ \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
+ \\
+ wobei: \\
+ \begin{array}{ll}
+ \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
+ \displaystyle |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
+ \end{array}
+\end{array}
+\]
+Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
+\[
+ \mathbf{T} =
+ \left(
+ \begin{array}{cc}
+ e^{K+h} & e^{-K} \\
+ e^{-K} & e^{K-h}
+ \end{array}
+ \right)
+ \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
+\]
+Damit l"a"st sich die Zustandssumme neu schreiben:
+\[
+ \begin{array}{ll}
+ \displaystyle Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
+ \displaystyle & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
+ \displaystyle & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
+ \end{array}
+\]
+Wegen der Vollst"andigkeit der Spinzust"ande kann obere Vereinfachung vorgenommen werden. Die Spur ist Darstellungsunabh"angig. $\mathbf{T}$ ist in ihrer Eigenbasis diagonal. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erh"alt man folgende Eigenwerte:
+\[
+ \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
+\]
+Daraus folgt:
+\[
+ \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
+\]
+F"ur den Fall $B_0 = 0$ gilt:
+\[
+ \begin{array}{l}
+ \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
+ \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
+ \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
+ \end{array}
+\]
+Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel gr"o"ser ist als $\lambda_-^N$. \\
+F"ur die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
+\[
+ \begin{array}{ll}
+ \displaystyle M & \displaystyle = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
+ \displaystyle & \displaystyle = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
+ \displaystyle & \displaystyle \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
+ \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
+
+ \end{array}
+\]
+Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abh"angigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet f"ur alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. F"ur sehr grosse Magnetfelder s"attigt sie.
+\\
+\setlength{\unitlength}{2cm}
+\begin{picture}(6,4)(-3,-2)
+ \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
+ \put(2.7,-0.1){$B_0$}
+ \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
+ \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+ \put(0.2,1.4){$M$}
+ \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
+ \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
+\end{picture}
+\\
+Erkenntnis:\\
+\begin{itemize}
+\item magnetisches Moment verschwindet f"ur alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
+\item es gibt keinen Phasen"ubergang f"ur das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
+\end{itemize}
+F"ur $T=0$ kann obere Approximation nicht mehr verwendet werden, da gilt:
+\[
+ \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
+\]
+Man kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergang liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
+\[
+ \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
+\]
+
+\section{L"osung f"ur $d=2$}
+W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
+\\
+Hamiltonian:
+\[
+ H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
+\]
+Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
+\[
+ H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
+\]
+wobei
+\[
+\begin{array}{ll}
+ \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
+ \displaystyle E(\mu_j) & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
+ \displaystyle \mu_j & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
+\end{array}
+\]
+Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
+\[
+ <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
+\]
+Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
+\[
+ Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
+\]
+Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden werden nur die Endresultate betrachtet.\\
+\\
+F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
+\[
+ f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
+\]
+mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
+\[
+ m = \left\{
+ \begin{array}{ll}
+ (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
+ 0 & : T > T_C
+ \end{array} \right.
+\]
+F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
+\[
+ 2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J