+Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne "Anderung eines "au"seren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein.\\
+\\
+Molekularfeldn"aherung:\\
+Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
+\[
+ S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
+\]
+wobei $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
+\[
+ H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
+\]
+und Zustandssumme:
+\[
+\begin{array}{ll}
+ Z & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
+ & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
+ & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
+\end{array}
+\]
+Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
+\[
+\begin{array}{l}
+ g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
+ m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
+\end{array}
+\]
+Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
+\[
+ \tanh (\beta Jm) = m
+\]
+die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die Anfangssteigung der linken Seite der Gleichung gr"o"ser $1$ ist. F"ur die kritische Temperatur gilt somit $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$.
+\\
+
+% \setlength{\unitlength}{2cm}
+% \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
+% \put(0,0){\line(1,1){1}}
+% \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
+% \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
+% \put(2.7,-0.1){$m$}
+% \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
+% \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+% \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
+% \put(0.2,1.4){$f(m)$}
+% \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
+% \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
+% \end{picture}
+% \\
+
+\includegraphics[width=12cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.tif}
+
+Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).