X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=nlsop%2Fdiplom%2Fgrundlagen.tex;h=25addd723181efdcc805cd4e8061366d8f2fd4f1;hb=39decef6f91b5b3fdc4b448e3d0b1d655e449e73;hp=0408f02e370e3ca0db5f7136fe1ad53220f9e9ce;hpb=e46602170ed72d9550f9cea7255ecf1437dda258;p=lectures%2Flatex.git diff --git a/nlsop/diplom/grundlagen.tex b/nlsop/diplom/grundlagen.tex index 0408f02..25addd7 100644 --- a/nlsop/diplom/grundlagen.tex +++ b/nlsop/diplom/grundlagen.tex @@ -48,9 +48,11 @@ Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$. \begin{equation} z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m} + \label{eq:gleichverteilte_r} \end{equation} \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit} + \label{subsubsection:lin_g_p} Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen \begin{equation} @@ -78,6 +80,7 @@ berechnet werden. \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen} + \label{subsubsection:verwerf_meth} Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden. Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}). @@ -192,7 +195,7 @@ \vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.} \label{eq:v_sp} \end{equation} - Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massensind. + Daraus l"asst sich ableiten, dass die Telchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind. \begin{equation} \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.} \label{eq:inv_prop} @@ -292,14 +295,22 @@ \end{equation} Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktsenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Stossparameter $p$ bestimmt werden. - Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ ist durch den differentiellen Streuquerschnitt $d \sigma$ gegeben: + Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden. + \begin{eqnarray} + dN = & 2 \pi p dp \, n \\ + d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp + \end{eqnarray} + Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt. + $\Theta$ ist eine Funtkion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist. + Die Funktion $p(\Theta)$ wiederrum ist diffenenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt. \begin{equation} - d \sigma = 2 \pi dp + d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} | \frac{dp}{d \Theta} | d \Omega \end{equation} - hier weiter ... - - Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Einsetzen von \eqref{eq:theta_of_p} in \eqref{eq:final_delta_e} und Integration "uber alle $p$ bestimmt werden. + Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$ gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$ berechnet werden. + \begin{equation} + S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma + \end{equation} F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}. \[ @@ -342,4 +353,47 @@ \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}} + Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden. + Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden. + + Das Programm folgt den Bahnen einer grossen Anzahl von Teilchen die in das Target implantiert werden. + Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung. + Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen auf Grund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets. + Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange. + Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie. + Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Taregt verlassen hat. + Das Target wird als amorph angenommen weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden. + Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt. + Das Teilchen verliert einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se und kontinuierlich auf Grund der elektronischen Bremskraft. + + Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets. + Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Energie"ubertrag $T$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet. + + Der Azimutwinkel $\Phi$ ist statistisch isotrop verteilt. + \begin{equation} + \Phi = 2 \pi R_3 + \end{equation} + \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung} + + Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen. + Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen. + Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden. + So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster. + Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann. + Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab. + Ein Ma"s f"ur die Konzentration der Strahlensch"adigung ist der Energieanteil, der in Form von Kernwechelswirkung an den Festk"orper abgegeben wurde \cite{brice1,brice2}. + Dieser ist prportional zu den erzeugten Leerstellen und komplexeren Defekten im Target \cite{stein_vook_borders}. + + Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu + \begin{equation} + N_{p,d} = \frac{E}{E_d} + \end{equation} + abgesch"atzt werden. + + Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren. + Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht. + Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen. + Dieser kann an amorph-kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren. + +