X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=nlsop%2Fdiplom%2Fgrundlagen.tex;h=fb0f3e51a61070e14447d4db3834ab03554f2352;hb=7395dee441c29156690ecd65e32b8832c6dc590b;hp=7e6aa2e21c361f0a8cbb267e9170ba5a1dd4fcb6;hpb=3ad4a4555f8ba4d3463debda3c977d25eaf8e98d;p=lectures%2Flatex.git diff --git a/nlsop/diplom/grundlagen.tex b/nlsop/diplom/grundlagen.tex index 7e6aa2e..fb0f3e5 100644 --- a/nlsop/diplom/grundlagen.tex +++ b/nlsop/diplom/grundlagen.tex @@ -2,7 +2,102 @@ \section{Monte-Carlo-Simulation} - + Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithemn basieren. + Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet. + Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind. + Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden. + + \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen} + + Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3,$ \ldots aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert. + Dabei gilt folgende Vorschrift: + \begin{equation} \label{eq:kon_m} + I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m + \end{equation} + \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \] + Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen. + Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab. + Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten. + Nach Park und Miller \cite{park_miller} erf"ullt man mit + \begin{equation} \label{eq:kon_v} + a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0 + \end{equation} + einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht. + Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet. + + \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen} + + Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$. + Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch + \begin{equation} + p(x)dx = \left\{ + \begin{array}{ll} + dx & 0 \leq x < 1 \\ + 0 & \textrm{sonst} + \end{array} \right. + \end{equation} + gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert. + \begin{equation} + \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1 + \end{equation} + Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen. + Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden. + + \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit} + + Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$. + \begin{equation} + z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m} + \end{equation} + + \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit} + + Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen + \begin{equation} + p(z) = \left\{ + \begin{array}{ll} + az + b & 0 \leq z < Z \\ + 0 & \textrm{sonst} + \end{array} \right. + \end{equation} + realisiert man durch folgende Transformation: + \begin{eqnarray} + p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\ + \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\ + x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo} + \end{eqnarray} + Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man: + \begin{equation} + z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.} + \end{equation} + So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$. + Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch + \begin{equation} + z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a} + \end{equation} + berechnet werden. + + \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen} + + Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden. + Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung. + Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben. + Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$. + Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt: + \begin{enumerate} + \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$. + \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1. + \end{enumerate} + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps} + \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$} + \label{img:rej_meth} + \end{figure} + Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird. + Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen. + Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein. + Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden. + Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein. \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung} @@ -13,10 +108,9 @@ \subsection{Abbremsung von Ionen} - Die Abbremsung der Ionen im Festk"orper kommt haupts"achlich durch inelastische Wechselwirkung mit den Targetelektronen und elastischer Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets zustande. - Diese sind unabh"angig voneinander. - Die elastische Streuung an freien Elektronen sowie die inelastische Streuung an den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden. - Ebenfalls vernachl"assigt werden Brems- und Cerenkovstrahlung. + Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets. + Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden. + Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist. \subsubsection{Bremsquerschnitt} @@ -39,8 +133,30 @@ \subsubsection{Nukleare Bremskraft} - Die Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets kann durch einen elastischen Sto"sprozess beschrieben werden. + Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden. + Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential. + Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden. + + Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden. + Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion. + + Aus der Energieerhaltung folgt: + \begin{equation} + \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2 + \end{equation} + Dabei ist $v_0$ die anfaengliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$. + Aus der Impulserhaltung folgt, + \begin{eqnarray} + \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\ + \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi) + \end{eqnarray} + wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist. + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps} + \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem} + \label{img:scatter_lc} + \end{figure} \subsubsection{Elektronische Bremskraft}