X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=nlsop%2Fdiplom%2Fgrundlagen.tex;h=fb0f3e51a61070e14447d4db3834ab03554f2352;hb=7395dee441c29156690ecd65e32b8832c6dc590b;hp=9516a595697b9adca80b9603ce88dd705a486323;hpb=398799e2224059b0fff190653170c49456cbec72;p=lectures%2Flatex.git diff --git a/nlsop/diplom/grundlagen.tex b/nlsop/diplom/grundlagen.tex index 9516a59..fb0f3e5 100644 --- a/nlsop/diplom/grundlagen.tex +++ b/nlsop/diplom/grundlagen.tex @@ -52,21 +52,53 @@ \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit} - Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[ linear ansteigen + Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen \begin{equation} - p(z) = az + b + p(z) = \left\{ + \begin{array}{ll} + az + b & 0 \leq z < Z \\ + 0 & \textrm{sonst} + \end{array} \right. \end{equation} realisiert man durch folgende Transformation: + \begin{eqnarray} + p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\ + \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\ + x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo} + \end{eqnarray} + Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man: \begin{equation} - p(z)dz = p(x)dx \\ - \frac{dx}{dz} = p(z) \\ - x = \infty_0^z p(z')dz' = \infty_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz + z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.} \end{equation} - Durch Aufl"osen nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung - + So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$. + Sollen Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch + \begin{equation} + z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a} + \end{equation} + berechnet werden. \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen} + Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden. + Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung. + Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \quad \forall x \in [a,b]$ gegeben. + Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$. + Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt: + \begin{enumerate} + \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$. + \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1. + \end{enumerate} + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=10cm]{rej_meth.eps} + \caption{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$} + \label{img:rej_meth} + \end{figure} + Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je groesser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird. + Deshalb macht es Sinn die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen. + Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein. + Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden. + Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein. + \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung} Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation mu"s die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden. @@ -76,10 +108,9 @@ \subsection{Abbremsung von Ionen} - Die Abbremsung der Ionen im Festk"orper kommt haupts"achlich durch inelastische Wechselwirkung mit den Targetelektronen und elastischer Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets zustande. - Diese sind unabh"angig voneinander. - Die elastische Streuung an freien Elektronen sowie die inelastische Streuung an den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden. - Ebenfalls vernachl"assigt werden Brems- und Cerenkovstrahlung. + Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets. + Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden. + Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist. \subsubsection{Bremsquerschnitt} @@ -102,8 +133,30 @@ \subsubsection{Nukleare Bremskraft} - Die Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets kann durch einen elastischen Sto"sprozess beschrieben werden. + Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden. + Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential. + Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektoren k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden. + Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden. + Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion. + + Aus der Energieerhaltung folgt: + \begin{equation} + \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2 + \end{equation} + Dabei ist $v_0$ die anfaengliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gestossenen Atomkerns mit Masse $M_2$. + + Aus der Impulserhaltung folgt, + \begin{eqnarray} + \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\ + \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi) + \end{eqnarray} + wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist. + \begin{figure}[h] + \includegraphics[width=10cm]{scatter_lc.eps} + \caption{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem} + \label{img:scatter_lc} + \end{figure} \subsubsection{Elektronische Bremskraft}