X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=posic%2Ftalks%2Fmd_simulation_von_silizium.tex;h=47e144acc28ece1cdc369945cf31b6cc1a24ef62;hb=74bdf88a71df101efc703ee94986c45418f56ad7;hp=b27f714d7b2ad9e8c42f5372868739d9aefaaabc;hpb=83a925f316e89156e2c9758f7e7bd57cfad70c9c;p=lectures%2Flatex.git
diff --git a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
index b27f714..47e144a 100644
--- a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
+++ b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
@@ -39,6 +39,9 @@
\def\slideleftmargin{5.1cm}
\def\slidetopmargin{-0.6cm}
+\newcommand{\ham}{\mathcal{H}}
+\newcommand{\pot}{\mathcal{V}}
+
% topic
\begin{slide}
@@ -139,7 +142,7 @@ Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
\item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
\item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
\[
- \dot{p}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
+ \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
\qquad
\dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
\]\\
@@ -317,76 +320,280 @@ Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
\begin{slide}
{\large\bf
Wahl/Kontrolle des Ensembles
-}
-Erinnerung:\\
-Stichproben
-Bisher: NVE-Ensemble
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Erinnerung:
+\begin{itemize}
+ \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $_{ens} = _t$
+ \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
+ \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
+\end{itemize}
+$\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
+\[
+ \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
+\]
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+F"ur andere Ensembles:
+\begin{itemize}
+ \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
+ im gew"unschten Ensemble
+\end{itemize}
+\begin{center}
+{\color{red} oder}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+ \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
+ $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
+ Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
+ Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
kanonisches Ensemble (NVT)
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em temperature scaling}
+\begin{itemize}
+ \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
+ \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
+ \item eigentlich {\em velocity scaling}
+ \item Berendsen Thermostat:
+ \[
+ \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
+ \]
+ \begin{center}
+ $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
+ {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
+ \end{center}
+\end{itemize}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
+ der Temperatur
+ \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
+ \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
+ \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
+ (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
isothermales isobares Ensemble (NpT)
-}
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em pressure scaling}
+\begin{itemize}
+ \item analog zum {\em temperature scaling}
+ \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
+ \item eigentlich {\em volume scaling}
+ \item Berendsen Barostat:
+ \[
+ \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
+ \]
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item modifizierte Bewegungsgleichung
+ (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
+ \[
+ \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
+ =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
+ \sum_{ir_c$
+ \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
+ \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
+ $N/M^3$ Materialkonstante
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
+ \end{minipage}
+ \begin{minipage}{5cm}
+ \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
+ \end{minipage}
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Brenner / Tersoff
+ Thermodynamische Gr"o"sen
}
+\begin{itemize}
+ \item Innere Energie:
+ \[
+ E = + = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > +
+ \]
+ \item Temperatur/Druck
+ \begin{eqnarray}
+ &=& k_BT \nonumber \\
+ &=& k_BT \nonumber
+ \end{eqnarray}
+ \begin{center}
+ "Aquipartitionstheorem
+ \end{center}
+ Temperatur:
+ \[
+ \sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i} = 3Nk_BT \quad
+ \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}
+ \]
+ Druck:
+ \[
+ \sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \pot = 3Nk_BT \quad
+ \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad
+ - \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = -3Nk_BT \quad
+ \]
+ \item W"armekapazit"at
+ \item Struktur Werte
+ \item Diffusion
+\end{itemize}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- EAM
+ Tersoff
}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Albe Reparametrisierung
+ EAM
}
+
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Zusammenfassung
+ Albe Reparametrisierung
}
\end{slide}
\begin{slide}
{\large\bf
- Ausblick
-}
+ Zusammenfassung / Ausblick
+}\\
+\begin{tabular}{|l|c|lr|}
+\hline
+Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
+\hline
+{\bf Integrator} & & & \\
+Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Potential} & & & \\
+Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
+ & $\bullet\bullet\bullet$ \\
+EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Ensembles} & & & \\
+{\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
+Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
+{\bf Simulationzelle} & & & \\
+periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+$T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
+ & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
+\hline
+\end{tabular}
\end{slide}
\end{document}