X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=posic%2Ftalks%2Fmd_simulation_von_silizium.tex;h=5c8db3bd4191d90afbc01e9b148d1cbdd0b80e04;hb=5d8291756e7ab5498654170b911d9970427b6d04;hp=484abdca048ee14ab107357e694571b72f54028f;hpb=41269c36d070f48c4a2631c3ba3ca0e7e062e364;p=lectures%2Flatex.git

diff --git a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
index 484abdc..5c8db3b 100644
--- a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
+++ b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
@@ -128,4 +128,455 @@ MD:
 Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
 \end{slide}
 
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Prinzip der MD-Simulation
+}
+\begin{itemize}
+ \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
+ \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
+       $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
+ \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
+ \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
+       \[
+       \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
+       \qquad
+       \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
+       \]\\
+       Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
+\end{itemize}
+$\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
+$\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+{\large\bf
+ Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
+}
+\begin{itemize}
+ \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
+ \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
+ \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Integration der Bewegungsgleichungen
+}
+\begin{itemize}
+ \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
+ \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
+       \[
+       m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
+       \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
+       m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
+       \]
+       \begin{center}
+       (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
+       \end{center}
+ \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
+       \[
+       \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
+       \]
+       \begin{center}
+        (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
+       \end{center}
+       Beispiel Euler:\\
+       ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
+       ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
+\end{itemize}
+{\large\bf
+ Anforderungen an den Integrator
+}  
+\begin{itemize}
+ \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
+ \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
+ \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
+}
+\begin{itemize}
+ \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
+       \begin{eqnarray}
+       {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+                                \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
+                                \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
+                                \nonumber \\
+       {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
+                                \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
+                                \nonumber \\
+       {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
+                                \nonumber \\
+       {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
+                                \nonumber
+       \end{eqnarray}
+ \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
+       f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
+       $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
+       $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
+       {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
+ \item Korrektur:
+       \begin{eqnarray}
+       {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
+                                   c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+       {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
+                                   c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+       {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
+                                   c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+       {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
+                                   c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
+       \end{eqnarray}
+ \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
+\end{itemize}
+{\scriptsize
+ C. W. Gear.
+ The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
+ (1966)\\
+ C. W. Gear.
+ Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
+ (1971)
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Velocity Verlet
+}\\
+Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
+\begin{eqnarray}
+ {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+                         \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
+ {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
+                         {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
+\end{eqnarray}
+Alogrithmus:
+\begin{itemize}
+ \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
+ \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
+       \[
+       {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
+       \]
+ \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
+       $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
+ \item Update der Geschwindigkeiten
+       \[
+       {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
+                             \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
+       \]
+\end{itemize}
+Eigenschaften:
+\begin{itemize}
+ \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
+ \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
+ \item verh"altnism"a"sig pr"azise
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
+}\\
+Klassisches Potential:
+\[
+{\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
+               \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
+               \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
+               \ldots
+\]
+\begin{minipage}{8.3cm}
+\begin{itemize}
+ \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
+ \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
+                         (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
+ \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
+       (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
+ \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
+ \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
+ \item nur Paarpotential\\
+       $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
+       $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+ \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
+\end{minipage}
+Cut-Off Radius $r_c$:
+\begin{itemize}
+ \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
+ \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,5)
+\end{picture}
+Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Wahl/Kontrolle des Ensembles
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Erinnerung:
+\begin{itemize}
+ \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $<A>_{ens} = <A>_t$
+ \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
+ \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
+\end{itemize}
+$\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
+\[
+ \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
+\]
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+F"ur andere Ensembles:
+\begin{itemize}
+ \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
+       im gew"unschten Ensemble
+\end{itemize}
+\begin{center}
+{\color{red} oder}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+ \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
+       $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
+       Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
+       Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ kanonisches Ensemble (NVT)
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em temperature scaling}
+\begin{itemize}
+ \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
+ \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
+ \item eigentlich {\em velocity scaling}
+ \item Berendsen Thermostat:
+       \[
+       \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
+       \]
+       \begin{center}
+       $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
+       {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
+       \end{center}
+\end{itemize}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
+       der Temperatur
+ \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
+ \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
+ \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
+       (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ isothermales isobares Ensemble (NpT)
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em pressure scaling}
+\begin{itemize}
+ \item analog zum {\em temperature scaling}
+ \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
+ \item eigentlich {\em volume scaling}
+ \item Berendsen Barostat:
+       \[
+       \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
+       \]
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item modifizierte Bewegungsgleichung
+       (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
+       \[
+       \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
+                  =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
+                   \sum_{i<j} \mathcal{V}(Q^{1/3} \rho_{ij}) +
+                   \frac{1}{2}M\dot{Q}^2 - \alpha Q
+       \]
+ \item mit $Q=V$: erste 2 Terme $\equiv$ normaler Lagrange-Operator
+ \item Physikalische Interpretation:\\
+       Volumen $Q$ $\equiv$ Koordinate eines fiktiven Stempels
+       mit externen Druck $\alpha$
+ \item Zusammenhang: $V=Q$, ${\bf r}_i=Q^{1/3} \rho_i$,
+       ${\bf p}_i=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\dot{\rho}_i Q^{1/3})} =
+                 m Q^{1/3} \dot{\rho}_i$
+\end{itemize}
+{\scriptsize H. C. Andersen. J. Chem. Phys. 72 (1980) 2384.}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Die Simulationszelle \& Randbedingungen
+}\\
+Simulationszelle:
+\begin{itemize}
+ \item Ausdehnung in $x,y,z$-Richtung
+ \item meist orthogonale Simulationszelle
+ \item Nullpunkt sinnvollerweise im Mittelpunkt
+ \item in Simulation nur definiert durch Randbedingungen
+\end{itemize}
+Randbedingungen:
+\begin{itemize}
+ \item freie/feste Randbedingungen $\Rightarrow$ Oberfl"acheneffekte\\
+       (Bulk-Eigenschaften nur weit entfernt vom Rand)
+ \item besser: periodische Randbedingungen
+\end{itemize}
+\begin{center}
+ \includegraphics[width=12cm]{pbc.eps}
+\end{center}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Beispiele f"ur gemischte Randbedingungen
+}\\
+Simulation von Oberfl"achen:
+\begin{itemize}
+ \item ${\color{gray} \bullet}$ PBC nur in $x,y$-Richtung
+ \item $\bullet$ fixierte Randatome (Bulk)
+ \item ${\color{blue} \bullet}$ Schicht aus Atomen mit $T$-Skalierung
+\end{itemize}
+\includegraphics[width=8cm]{surface.eps}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ $SiC$-Ausscheidung in Silizium
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+\begin{minipage}{8cm}
+\includegraphics[width=8cm]{sic_prec.eps}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges Hinzuf"ugen von Kohlenstoff\\
+       (schaffrierter Bereich)\\
+       $\Rightarrow$ Energie- und Impulszufuhr in die MD-Zelle
+ \item $T$-Skalierung,\\ Kopplung ans W"armebad\\
+       (blauer Bereich)\\
+       $\Rightarrow$ Energie/Impuls aus der MD-Zelle
+ \item feste Randatome, Bulk\\
+       (schwarzer Bereich)
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Die Zell-Methode
+}\\
+Problemstellung: Finden der Nachbarn f"ur Wechselwirkung
+\begin{itemize}
+ \item intuitive Methode: (f"ur Atom $i$)
+       \begin{itemize}
+        \item gehe alle Atome $j$ durch
+        \item $r_{ij} < r_c$ $\Rightarrow$ berechne WW
+       \end{itemize}
+       $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N^2)$
+ \item Zell-Methode:\\
+       \begin{minipage}{6cm}
+       \begin{itemize}
+        \item MD-Zelle (L"ange $L$) aufteilen in\\
+              $M \times M \times M$ Subzellen\\
+              mit L"ange $l=L/M>r_c$
+        \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
+              $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
+        \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
+              $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
+              $N/M^3$ Materialkonstante
+       \end{itemize}
+       $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
+       \end{minipage}
+       \begin{minipage}{5cm}
+        \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
+       \end{minipage}
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Thermodynamische Gr"o"sen
+}
+\begin{itemize}
+ \item Innere Energie:
+       \[
+       E = <K> + <U> = < \sum_i \frac{|{\bf p}_i|^2}{2m_i} > + <U({\bf q})>
+       \]
+ \item Temperatur:
+       \[
+       E_{kin}=<K>=\frac{3}{2}Nk_BT
+       \Rightarrow T=\frac{1}{3Nk_B} \sum_i \frac{|{\bf p}_i|^2}{m_i}
+       \]
+ \item Druck
+ \item W"armekapazit"at
+ \item Struktur Werte
+ \item Diffusion
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Tersoff
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ EAM
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Albe Reparametrisierung
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Zusammenfassung / Ausblick
+}\\
+\begin{tabular}{|l|c|lr|}
+\hline
+Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
+\hline
+{\bf Integrator} & & & \\
+Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Potential} & & & \\
+Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe & ${\color{green} \surd\surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
+                                 &  $\bullet\bullet\bullet$ \\
+EAM & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Ensembles} & & & \\
+{\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
+Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
+{\bf Simulationzelle} & & & \\
+periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+$T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
+                                & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{slide}
+
 \end{document}