X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?a=blobdiff_plain;f=posic%2Ftalks%2Fmd_simulation_von_silizium.tex;h=92adaa21d45a421fd6cb908647d92da889eb676e;hb=88e50987df39a180694923e76bbc5a796de19f59;hp=484abdca048ee14ab107357e694571b72f54028f;hpb=41269c36d070f48c4a2631c3ba3ca0e7e062e364;p=lectures%2Flatex.git
diff --git a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
index 484abdc..92adaa2 100644
--- a/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
+++ b/posic/talks/md_simulation_von_silizium.tex
@@ -38,6 +38,12 @@
\def\slideleftmargin{5.1cm}
\def\slidetopmargin{-0.6cm}
+\def\slidetopmargin{-0.6cm}
+
+\newcommand{\ham}{\mathcal{H}}
+\newcommand{\pot}{\mathcal{V}}
+\newcommand{\foo}{\mathcal{U}}
+\newcommand{\vir}{\mathcal{W}}
% topic
@@ -128,4 +134,584 @@ MD:
Ergodenhypothese: Gleichheit der zwei Mittelwerte
\end{slide}
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Prinzip der MD-Simulation
+}
+\begin{itemize}
+ \item System von $N$ Teilchen (Molek"ulen)
+ \item zeitliche Entwicklung von Orten und Geschwindigkeiten
+ $\{{\bf q}_i,{\bf p}_i\}$
+ \item System Hamilton-Funktion $\mathcal{H}({\bf q},{\bf p})$
+ \item Hamilton'sche Bewegungsgleichungen:\\
+ \[
+ \dot{p}_i = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i},
+ \qquad
+ \dot{q}_i = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i}
+ \]\\
+ Propagationsvorschrift im $6N$-dimensionalen Phasenraum
+\end{itemize}
+$\Rightarrow$ mikroskopische Beschreibung des Systems\\
+$\Rightarrow$ observable Gr"o"sen durch zeitlichen Mittelwert\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+{\large\bf
+ Notwendige Bestandteile der MD-Simulation
+}
+\begin{itemize}
+ \item Methode zum Integrieren der Bewegungsgleichungen (Integrator)
+ \item Modell zur Wechselwirkung (analytische Potentialfunktion)
+ \item Zusatz zur \dq Kontrolle\dq{} des gew"unschten Ensembles
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Integration der Bewegungsgleichungen
+}
+\begin{itemize}
+ \item Keine analytische L"osung f"ur $N>3$ $\Rightarrow$ numerische Integration
+ \item $3N$ DGLs zweiter Ordnung {\color{blue}oder} $6N$ DGLs erster Ordnung\\
+ \[
+ m_i \ddot{{\bf r}}_i = {\bf f}_i \qquad
+ \textrm{{\color{blue}oder}} \qquad
+ m_i \dot{{\bf r}}_i = {\bf p}_i, \quad \dot{{\bf p}}_i = {\bf f}_i
+ \]
+ \begin{center}
+ (${\bf f}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$, kartesische Koordinaten)
+ \end{center}
+ \item Prinzip der Finite-Differenzen-Methode\\
+ \[
+ \Gamma(t) \rightarrow \Gamma(t+\delta t)
+ \]
+ \begin{center}
+ (mit Anfangsbedingungen ${\bf r}(0)$, ${\bf p}(0)$)
+ \end{center}
+ Beispiel Euler:\\
+ ${\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t)$\\
+ ${\bf r}(t+\delta t) = {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t)$\\
+\end{itemize}
+{\large\bf
+ Anforderungen an den Integrator
+}
+\begin{itemize}
+ \item fehlerfreie Reproduktion der \dq echten\dq{} Trajektorie
+ \item Erhaltung der Energie, Reversibel in der Zeit
+ \item schnell \& nur eine Kraftberechnug pro Zeitschritt $\delta t$
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ {\em Predictor-Corrector} Algorithmus
+}
+\begin{itemize}
+ \item Vorhersage der Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen etc ...
+ \begin{eqnarray}
+ {\bf r}^p(t + \delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) +
+ \frac{1}{6} \delta t^3 {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf v}^p(t + \delta t) &=& {\bf v}(t) + \delta t {\bf a}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf a}^p(t + \delta t) &=&{\bf a}(t) + \delta t {\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber \\
+ {\bf b}^p(t + \delta t) &=&{\bf b}(t) + \ldots
+ \nonumber
+ \end{eqnarray}
+ \item Brechnung der tats"achlichen Kraft/Beschleunigung ${\bf a}^c$
+ f"ur die vorhergesagten Orte ${\bf r}^p$ \\
+ $\Rightarrow$ Korrekturfaktor:
+ $\Delta {\bf a}(t + \delta t) =
+ {\bf a}^c(t + \delta t) - {\bf a}^p(t + \delta t)$
+ \item Korrektur:
+ \begin{eqnarray}
+ {\bf r}^c(t + \delta t) &=& {\bf r}^p(t + \delta t) +
+ c_0 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf v}^c(t + \delta t) &=& {\bf v}^p(t + \delta t) +
+ c_1 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf a}^c(t + \delta t) &=& {\bf a}^p(t + \delta t) +
+ c_2 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber \\
+ {\bf b}^c(t + \delta t) &=& {\bf b}^p(t + \delta t) +
+ c_3 \Delta {\bf a}(t + \delta t) \nonumber
+ \end{eqnarray}
+ \item Optional: Iteration des Korrekturschrittes
+\end{itemize}
+{\scriptsize
+ C. W. Gear.
+ The numerical integration of ordinary differential equations of various orders.
+ (1966)\\
+ C. W. Gear.
+ Numerical initial value problems in ordinary differential equations.
+ (1971)
+}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Velocity Verlet
+}\\
+Aus formaler L"osung der Liouville-Gleichung f"ur Ensemble Zeitentwicklung:
+\begin{eqnarray}
+ {\bf r}(t+\delta t) &=& {\bf r}(t) + \delta t {\bf v}(t) +
+ \frac{1}{2} \delta t^2 {\bf a}(t) \nonumber \\
+ {\bf v}(t+\delta t) &=& {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t (
+ {\bf a}(t) + {\bf a}(t+\delta t)) \nonumber
+\end{eqnarray}
+Alogrithmus:
+\begin{itemize}
+ \item Berechnung der neuen Ortskoordinaten ${\bf r}(t+\delta t)$
+ \item Erste Berechnung der Geschwindigkeiten
+ \[
+ {\bf v}(t+\delta t/2) = {\bf v}(t) + \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t)
+ \]
+ \item Berechnung der Kr"afte f"ur die Orte ${\bf r}(t+\delta t)$
+ $\Rightarrow {\bf a}(t+\delta t)$
+ \item Update der Geschwindigkeiten
+ \[
+ {\bf v}(t+\delta t) = {\bf v}(t+\delta t/2) +
+ \frac{1}{2} \delta t {\bf a}(t+\delta t)
+ \]
+\end{itemize}
+Eigenschaften:
+\begin{itemize}
+ \item entspricht {\em GEAR-3} mit Ortskorrekturfaktor $c_0=0$
+ \item einfach, schnell, wenig Speicheraufwand $(9N)$
+ \item verh"altnism"a"sig pr"azise
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Modell zur Wechselwirkung - Das Potential
+}\\
+Klassisches Potential:
+\[
+{\mathcal V} = \sum_i {\mathcal V}_1({\bf r}_i) +
+ \sum_{i,j} {\mathcal V}_2({\bf r}_i,{\bf r}_j) +
+ \sum_{i,j,k} {\mathcal V}_3({\bf r}_i,{\bf r}_j,{\bf r}_k) +
+ \ldots
+\]
+\begin{minipage}{8.3cm}
+\begin{itemize}
+ \item ${\mathcal V}_1$: Eink"orperpotential (Gravitation, elektrisches Feld)
+ \item ${\mathcal V}_2$: Paarpotential
+ (nur abh"angig vom Abstand $r_{ij}$)
+ \item ${\mathcal V}_3$: Dreik"orperpotential
+ (oft ${\mathcal V}_3(r_{ij},r_{ik},\theta_{ijk})$)
+ \item oft umgebungsabh"angiger Term in ${\mathcal V}_2$ eingebaut
+ \item Terme h"oherer Ordnung vermutlich klein (Biologie, Chemie)
+ \item nur Paarpotential\\
+ $\Rightarrow$ hcp im Grundzustand\\
+ $\Rightarrow$ ungen"ugend f"ur kovalent gebundene Materialien
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{4cm}
+ \includegraphics[width=4.3cm]{tersoff_angle.eps}
+\end{minipage}
+Cut-Off Radius $r_c$:
+\begin{itemize}
+ \item Atome $i$, $j$ mit $r_{ij} > r_c$ wechselwirken nicht
+ \item Korrektur f"ur Potentiale die erst im Unendlichen verschwinden
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,5)
+\end{picture}
+Kraft: ${\bf F}_i = - \nabla_{{\bf r}_i} \mathcal{V}$
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Wahl/Kontrolle des Ensembles
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Erinnerung:
+\begin{itemize}
+ \item Stichproben aus Zust"anden im Phasenraum, $_{ens} = _t$
+ \item Bewegungsgleichung als Propagationsvorschrift $\Rightarrow$ Gesamtenergie erhalten
+ \item Au"serdem konstant: $N$ und $V$
+\end{itemize}
+$\Rightarrow$ Simulation eines NVE-Ensembles
+\[
+ \rho_{ens}=\delta(H(t)-E)
+\]
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+F"ur andere Ensembles:
+\begin{itemize}
+ \item Anpassung der Bewegungsgleichungen f"ur eine Sequenz von Konfigurationen
+ im gew"unschten Ensemble
+\end{itemize}
+\begin{center}
+{\color{red} oder}
+\end{center}
+\begin{itemize}
+ \item Tricks zur Kontrolle von $T$ und $p$
+ $\Rightarrow$ $NVE \rightarrow NVT,NpT$\\
+ Anmerkung: $T$ und $p$ fluktuieren,
+ Mittelwerte entsprechen den gew"unschten Werten
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ kanonisches Ensemble (NVT)
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em temperature scaling}
+\begin{itemize}
+ \item forcieren der gew"unschten Temperatur in jedem Schritt
+ \item $E_{kin} = 3/2 Nk_BT$
+ \item eigentlich {\em velocity scaling}
+ \item Berendsen Thermostat:
+ \[
+ \lambda = \sqrt{1+\frac{\delta t}{\tau_T}\Big(\frac{T_{ref}}{T}-1\Big)}
+ \]
+ \begin{center}
+ $\tau_T>100\times\delta t \Rightarrow$ reale thermische Fluktuationen\\
+ {\scriptsize Berendsen et al. J. Chem. Phys. 81 (1984) 3684.}
+ \end{center}
+\end{itemize}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item Zuf"alliges "Andern der Geschwindigkeit eines Atoms entsprechend
+ der Temperatur
+ \item Physikalische Interpretation: Kopplung an W"armebad
+ \item {\color{green} n"utzlich zum Berechnen thermodynamischer Gr"o"sen}
+ \item {\color{red} nicht geeignet zur Beschreibung atomistischer Prozesse}\\
+ (unphysikalische St"orung der Bewegung des einzelnen Atoms)
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ isothermales isobares Ensemble (NpT)
+}\\
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Trick: {\em pressure scaling}
+\begin{itemize}
+ \item analog zum {\em temperature scaling}
+ \item $p = - \frac{\partial \mathcal{V}}{V}$ (Alternative sp"ater)
+ \item eigentlich {\em volume scaling}
+ \item Berendsen Barostat:
+ \[
+ \mu = \Big[1-\frac{\delta t}{\tau_p}\beta (p_0-p)\Big]^{1/3}
+ \]
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,10)
+\end{picture}
+Andersen:
+\begin{itemize}
+ \item modifizierte Bewegungsgleichung
+ (neue Variable $Q$, ${\bf \rho}_i = {\bf r}_i/V^{1/3}$)
+ \[
+ \mathcal{L}(\rho^N,\dot{\rho}^N,Q,\dot{Q})
+ =\frac{1}{2}mQ^{2/3}\sum_i \dot{\rho}_i^2 -
+ \sum_{ir_c$
+ \item Atome in Subzell-Listen eintragen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(N)$
+ \item WW mit Atomen aus $27$ Subzellen\\
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3})$\\
+ $N/M^3$ Materialkonstante
+ \end{itemize}
+ $\Rightarrow$ $\mathcal{O}(27N \frac{N}{M^3} + N) = \mathcal{O}(N)$
+ \end{minipage}
+ \begin{minipage}{5cm}
+ \includegraphics[width=5cm]{cell_meth.eps}
+ \end{minipage}
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Thermodynamische Gr"o"sen
+}
+\begin{itemize}
+ \item Innere Energie:
+ \[
+ E = + = < \sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{2m_i} > +
+ \]
+ \item Temperatur/Druck
+ \[
+ = k_BT, \quad
+ = k_BT
+ \]
+ \begin{center}
+ {\em "Aquipartitionstheorem}
+ \end{center}
+ Temperatur:
+ \[
+ <\sum_i {\bf p}_i \frac{{\bf p}_i}{m_i}> = 3Nk_BT \quad
+ \Rightarrow \quad T=\frac{1}{3Nk_B} <\sum_i \frac{{\bf p}_i^2}{m_i}>
+ \]
+ Druck:
+ \[
+ <\sum_i {\bf q}_i \nabla_{{\bf q}_i} \foo> = 3Nk_BT \quad
+ \stackrel{\textrm{kart. Koord.}}{\Rightarrow} \quad
+ - \frac{1}{3} <\sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \foo> = -Nk_BT
+ \]
+ \begin{center}
+ mit
+ \end{center}
+ \[
+ - \nabla_{{\bf r}_i} \foo = {\bf f}_i^{tot} = {\bf f}_i^{ext} + {\bf f}_i^{int}
+ \]
+ \begin{center}
+ wobei
+ \end{center}
+ \[
+ \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{ext}=-pV, \quad
+ \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i {\bf f}_i^{int}=
+ - \frac{1}{3} \sum_i {\bf r}_i \nabla_{{\bf r}_i} \pot = \vir
+ \]
+ \begin{center}
+ folgt
+ \end{center}
+ \[
+ pV = Nk_BT + <\vir>
+ \]
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+%\begin{slide}
+%{\large\bf
+% Thermodynamische Gr"o"sen
+%}
+%\begin{itemize}
+% \item W"armekapazit"at
+% \item Struktur Werte
+% \item Diffusion
+%\end{itemize}
+%\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Idee des Tersoff Potentials
+}
+ \begin{picture}(350,10)
+ \end{picture}
+\begin{itemize}
+ \item Potential f"ur kovalente Bindungen\\
+ ($Si$: $sp^3$-Hybridisierung, 4 "au"sere Elektronen,
+ 4 gerichtete Bindungen, Winkel: $109,47 ^{\circ}$)\\
+ $\Rightarrow$ Bindungsenergie von 3 Atomen $i,j,k$
+ abh"angig von $r_{ij},r_{ik},r_{jk}$ {\color{red} und}
+ $\theta_{ijk},\theta_{ikj},\theta_{kij}$
+ \item {\em\color{blue} bond order} Potential
+ im Gegensatz zu {\em explicit angular}\\
+ \[
+ \pot = \pot_R(r_{ij}) + {\color{blue} b_{ijk}} \pot_A(r_{ij})
+ \]
+ \begin{picture}(350,10)
+ \end{picture}
+ \begin{itemize}
+ \item $b_{ijk}$: umgebungsabh"angiger Term
+ \item $b_{ijk}=const.$ $\Rightarrow$ Paarpotential
+ \item Schw"achung der Paarbindung je mehr Nachbarn vorhanden\\
+ qualitative Motivation: Anzahl der Elektronenpaare pro Bindung
+ \item St"arke der Bindung monoton fallend mit Koordinationszahl\\
+ steiler Abfall $\Rightarrow$ Dimer\\
+ schwacher Abfall $\Rightarrow$ maximale Koordinationszahl
+ (hcp-Struktur)
+ \item Pseudopotentialtheorie:
+ \[
+ b_{ijk} \sim Z^{-\delta}
+ \]
+ \begin{center}
+ {\scriptsize Abell et al. Phys. Rev. B 31 (1985) 6184.}
+ \end{center}
+ \end{itemize}
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Form des Tersoff Potentials:
+}\\
+Gesamtenergie:
+\[
+E = \frac{1}{2} \sum_{i \neq j} \pot_{ij}, \quad
+\pot_{ij} = f_C(r_{ij}) \left[ f_R(r_{ij}) + b_{ij} f_A(r_{ij}) \right]
+\]
+Repulsiver und attraktiver Beitrag:
+\begin{eqnarray}
+f_R(r_{ij}) &=& A_{ij} \exp(-\lambda_{ij} r_{ij}) \nonumber \\
+f_A(r_{ij}) &=& - B_{ij} \exp(-\mu_{ij} r_{ij}) \nonumber
+\end{eqnarray}
+Cut-Off Funktion:
+\[
+f_C(r_{ij})=\left\{\begin{array}{ll}
+ 1, & r_{ij} < R_{ij} \\
+ \frac{1}{2} +
+ \frac{1}{2} \cos \Big[ \pi (r_{ij} - R_{ij})/(S_{ij} - R_{ij}) \Big],
+ & R_{ij} < r_{ij} < S_{ij} \\
+ 0, & r_{ij} > S_{ij}
+\end{array} \right.
+\]
+{\em bond order} Term:
+\begin{eqnarray}
+b_{ij} &=& \chi_{ij} (1 + \beta_i^{n_i} \zeta^{n_i}_{ij})^{-1/2n_i}
+\nonumber \\
+\zeta_{ij} &=& \sum_{k \ne i,j} f_C (r_{ik}) \omega_{ik} g(\theta_{ijk})
+\nonumber \\
+g(\theta_{ijk})&=&1+c_i^2/d_i^2 - c_i^2/[d_i^2 + (h_i - \cos \theta_{ijk})^2]
+\nonumber
+\end{eqnarray}
+Anmerkung:
+\begin{itemize}
+ \item einfach indizierte Parameter nur abh"angig vom jeweiligen Atomtyp
+ \item doppelt indizierte: geometrisches Mittel ($A,B,R,S,\omega,\chi$),
+ arithmetisches Mittel ($\lambda,\mu$)
+\end{itemize}
+\end{slide}
+
+%\begin{slide}
+%{\large\bf
+% EAM
+%}
+%
+%\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Albe Reparametrisierung
+}\\
+\begin{picture}(350,20)
+\end{picture}
+Schw"achen von Tersoff (2,3)
+\begin{itemize}
+ \item Zu geringe Dimer-Bindungsenergie
+ \item T(2): gut f"ur Oberfl"acheneigenschaften
+ \item T(3): gut f"ur Bulkeigenschaften
+\end{itemize}
+\begin{picture}(350,20)
+\end{picture}
+$\Rightarrow$ Reparametrisierung durch Albe et al.\\
+{\scriptsize P. Erhart und K. Albe. Phys. Rev. B 71 (2005) 035211}
+\end{slide}
+
+\begin{slide}
+{\large\bf
+ Zusammenfassung / Ausblick
+}\\
+\begin{tabular}{|l|c|lr|}
+\hline
+Zusammenfassung & {\em moldyn}-Bibliothek & Ausblick und & Priorit"at \\
+\hline
+{\bf Integrator} & & & \\
+Velocity Verlet & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Gear Predictor Corrector & ${\color{red} \times}$ & GEAR-5 & $\bullet\bullet$ \\
+{\bf Potential} & & & \\
+Harmonischer Oszillator & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Lennard-Jones &$ {\color{green} \surd}$ & & - \\
+Tersoff & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Albe & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Tersoff/Albe (inkl. $\lambda^3$) & ${\color{red} \times\times}$ &
+ & $\bullet\bullet\bullet$ \\
+{\bf Ensembles} & & & \\
+{\em temperature scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\em pressure scaling} & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+Andersen $T$ & ${\color{red} \times}$ & & - \\
+Andersen $p$ & ${\color{red} \times}$ & & $\bullet$ \\
+{\bf Simulationszelle} & & & \\
+periodische RB & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+$T,p$-Skalierung pro Atom & ${\color{green} \surd}$ & & - \\
+{\bf Thermodynamische Gr"o"sen} & einige & viele
+ & $\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet$ \\
+\hline
+\end{tabular}
+\end{slide}
+
\end{document}