From: hackbard <hackbard>
Date: Sun, 4 May 2003 01:43:45 +0000 (+0000)
Subject: finished chapter 1
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finished chapter 1
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index daf0247..18cd2f0 100644
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-\documentclass{article}
+\documentclass{report}
 
 \usepackage{verbatim}
 \usepackage[german]{babel}
 \usepackage[latin1]{inputenc}
 \usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{amsmath}
 
 \author{Frank Zirkelbach}
 \title{Das Ising Modell}
 
 \begin{document}
-%\frontmatter
+\frontmatter
 \maketitle
 \tableofcontents
 
-%\mainmatter
-\section{Einfuehrung}
-\subsection{Statistische Groessen}
-lalala \ldots
-\subsection{Das allgemeine Ising Modell}
-Durch die Transfermatrix
-\begin{equation}
- S_ij = +-1
-\end{equation}
-we look at all our neighbours
-
-\section{Loesungen des Ising Modells}
-\subsection{1-dimensionale Loesung}
+\mainmatter
+\chapter{Einfuehrung}
+
+\section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
+Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
+\[
+ Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Spur} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
+\]
+Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
+\begin{eqnarray}
+ \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \nonumber\\
+ \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \nonumber\\
+ \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H} \nonumber
+\end{eqnarray}
+
+\section{Phasenuebergaenge}
+Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
+\begin{itemize}
+\item Dichte
+\item Magnetisierung
+\item elektrische Leitfaehigkeit
+\end{itemize}
+Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
+\begin{itemize}
+\item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
+\item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
+\end{itemize}
+
+\section{Idee des Ising Modells}
+Modellannahmen: 
+\begin{itemize}
+\item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
+\item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
+\[
+ \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
+\]
+\item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
+\end{itemize}
+Dann lautet die Hamilton-Funktion:
+\[
+ H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \qquad \textrm{,mit}
+\]
+\[
+(i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
+\]
+Man erkennt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
+\begin{itemize}
+\item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
+\item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
+\end{itemize}
+Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen. (Divergenz von $\chi$)
+
+\chapter{Loesungen des Ising Modells}
+\section{1-dimensionale Loesung}
 there are solutions for 1d \ldots
-\subsection{2-dimensionale Loesung}
+\section{2-dimensionale Loesung}
 in 2d \ldots
-\subsection{3-dimensionale Loesung}
+\section{3-dimensionale Loesung}
 und in 3d auch?
 
-\section{Simulation}
+\chapter{Simulation}
 we can easily implement it in c
 
-\section{Anwendungen}
+\chapter{Anwendungen}
 getho, here is how it comes \ldots
 
-\section{Zusammenfassung}
+\chapter{Zusammenfassung}
 i dont care, though this is powered by \LaTeX
 
 \appendix
-\section{Quellen}
+\chapter{Quellen}
 Baxter, Nolting, Kampf ;)
 
 \end{document}