From: hackbard <hackbard>
Date: Mon, 19 May 2003 08:00:15 +0000 (+0000)
Subject: added simulation (first attempts), completetd anwendungen (still work todo)
X-Git-Url: https://hackdaworld.org/gitweb/?a=commitdiff_plain;h=7bdb66aeeef3af0f20b02c4fa7a6d149c81b62b5;p=lectures%2Flatex.git

added simulation (first attempts), completetd anwendungen (still work todo)
---

diff --git a/ising/ising.tex b/ising/ising.tex
index 3ba98fb..3ca8771 100644
--- a/ising/ising.tex
+++ b/ising/ising.tex
@@ -317,26 +317,40 @@ Fazit:
 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
 \end{itemize}
 
-\section{3-dimensionale Loesung}
-Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch geloest werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten Loesung keine weiteren Informationen mehr.\\
+\section{3-dimensionale L"osung}
+Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
 \\
-Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenuebergaenge.
+Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
 
-\chapter{Simulation}
-... noch in arbeit\\
+\chapter{Monte Carlo Simulation}
+Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
 \\
-xising zeigen, besser: dfb-ising coden!
+Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
+\[
+\begin{array}{l}
+ <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\
+ p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\
+ E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
+\end{array}
+\]
+Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht.
+\[
+ <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
+\]
+$N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in einer Computersimulation. Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung biette der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
 \\
-grob: (pseudocode) [\ref{lit4}]\\
+Pseudocode:
 \begin{itemize}
-\item gehe alle gitterplaetze durch
-\item berechne $\delta E$ fuer Spinflip (naechste nachbarn anschauen)
-\item wenn kleiner 0 flip, ansonsten nur wenn zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
-\item Spins aufsummieren, entsprcht magnetisierung (nach genuegend vielen itterationen ($N^3$)
+\item Gehe alle Gitterplaetze durch
+\item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
+\item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
+\item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Itterationen ($N^3$))
 \end{itemize}
 
 \chapter{Anwendungen}
 \begin{itemize}
+\item Spingl"aser
+\item Optimierung und Ged"achtnis
 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
  \[
   \begin{array}{ll}