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From: hackbard <hackbard>
Date: Mon, 25 Apr 2005 12:04:01 +0000
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   \section{Monte-Carlo-Simulation}
 
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+  Monte-Carlo-Simulationen sind Computer-Experimente zur Untersuchung interessierender Sachverhalte, die auf stochastischen Simulationsalgorithemn basieren.
+  Dabei werden vom Computer generierte Pseudozufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
+  Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
+  Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
+
+    \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
+
+    Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_1, I_2, I_3,$ \ldots aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
+    Dabei gilt folgende Vorschrift:
+    \begin{equation} \label{eq:kon_m}
+    I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
+    \end{equation}
+    \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
+    Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
+    Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m, I_0$ ab.
+    Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
+    Nach Park und Miller \cite{park_miller} erf"ullt man mit
+    \begin{equation} \label{eq:kon_v}
+    a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
+    \end{equation}
+    einen minimalen Standard was die Qulit"at der Zufallszahlen angeht.
+    Diese Wahl der Konstanten wird in vielen Zufallsfunktionen der Standardbibliotheken verwendet.
+
+    \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
+
+    Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
+    Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
+    \begin{equation}
+    p(x)dx = \left\{
+      \begin{array}{ll}
+      dx & 0 \leq x < 1 \\
+      0  & \textrm{sonst}
+      \end{array} \right.
+    \end{equation}
+    gegeben ist. Ausserdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
+    \begin{equation}
+    \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
+    \end{equation}
+    Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
+    Einige in dieser Arbeit ben"otigte Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
+
+      \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
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+      Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
+      \begin{equation}
+      z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
+      \end{equation}
+
+      \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
+
+      Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[ linear ansteigen
+      \begin{equation}
+      p(z) = az + b
+      \end{equation}
+      realisiert man durch folgende Transformation:
+      \begin{equation}
+      p(z)dz = p(x)dx \\
+      \frac{dx}{dz} = p(z) \\
+      x = \infty_0^z p(z')dz' = \infty_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz
+      \end{equation}
+      Durch Aufl"osen nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung 
+
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+      \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
 
   \section{Ion-Festk"orper Wechselwirkung}
 
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