From d2fc9806380040f5045d158f7cb18dbe084303da Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: hackbard <hackbard>
Date: Mon, 10 Nov 2003 21:30:17 +0000
Subject: [PATCH] elektronische BK fertig -anfanf ionisationsprofil

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 nlsop/nlsop_fp_b.tex | 30 +++++++++++++++++++++++++++---
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@@ -49,7 +49,7 @@ mit:
  x & \equiv \textrm{zur"uckgelegter Weg}
 \end{array}
 \]
-Wegen der Unabh"angigkeit der Wechselwirkungsprozesse erh"alt man fuer den Energieverlust pro Weg:
+Wegen der Unabh"angigkeit der Wechselwirkungsprozesse erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Weg:
 \[
  - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big)
 \]
@@ -58,12 +58,14 @@ Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie bekommt man die mittlere
  R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{\partial E}{S_e(E) + S_n(E)}
 \]
 Um die Reichweite des Ions zu berechnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
+
 \subsection{nukleare Bremskraft}
 Wie bereits erw"ahnt, kann die Wechelswirkung mit den Atomkernen des Targets durch einen elastischen Streuproze"s beschrieben werden. F"ur den Energie"ubertrag beim Sto"s gilt,
 \[
  T_n(E) = E \frac{2 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} (1 - \sin \theta)
 \]
 wobei $M_1$ und $E$ Masse und Energie des einfallenden Ions, $M_2$ die Masse des ruhenden Targetatoms und $T_n$ der Energie"ubertrag ist. $\theta$ entspricht dem Streuwinkel im Schwerpunktsystem.
+
 Integriert man nun "uber alle m"oglichen Energie"ubertr"age gewichtet mit deren Wahrscheinlichkeit, so erh"alt man f"ur den Bremsquerschnitt:
 \[
  S_n(E) = \int_0^\infty T_n(E,p) 2 \pi p \partial p = \int_0^{T_{max}} T \sigma(E,T_n) \partial \sigma
@@ -72,15 +74,37 @@ Hierbei ist $\partial \sigma = 2 \pi p \partial p$ der differentille Wirkungsque
 \[
  T_{max} = T_n(E,0) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2}
 \]
-die maximale beim zentralen Sto"s "uebertragene Energie.
-Zur Bestimmung von $\theta$ ben"otigt man ein geeignetes Potential, welches die Wechselwirkung beschreibt. Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment liefern das abgeschirmte Coulombpotential und das sogenannte \dq Universal Potential \dq{}. Ersteres lautet:
+die maximale beim zentralen Sto"s "ubertragene Energie.
+Zur Bestimmung von $\theta$ ben"otigt man ein geeignetes Potential, welches die Wechselwirkung beschreibt. Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment liefern das abgeschirmte Coulombpotential und das sogenannte \dq Universal Potential\dq{}. Ersteres lautet:
 \[
  V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
 \]
 $\Phi(\frac{r}{a})$ ist eine geeignete Abschirmfunktion, $a$ der Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
 
 \subsection{elektronische Bremskraft}
+Durch inelastische St"o"se mit den Targetelektronen verliert das Ion an Energie. Diese Energie kann zur Anregung oder Ionisation sowohl des Targets als auch des eingeschossenen Ions f"uhren.
+
+Prinzipiell ist eine Entwicklung f"ur die elektronische Bremskraft aus fundierten physikalischen "Uberlegungen m"oglich, da die Beschreibung jedoch viel komplizierter als die von elastischen St"o"sen sind, werden haupts"achlich empirische Ans"atze verwendet.
+
+F"ur niedrige Teilchenenergien findet man in der LSS-Theorie sowie der Firsov-Theorie eine lineare Abh"angigkeit zwischen elektronischer Bremskraft und Geschwindigkeit des Ions.
+\[
+ S_n(E) \sim v_{Ion} \sim \sqrt{E}
+\]
+F"ur hohe, nicht-relativistische Energien beschreibt die Bethe-Bloch-Gleichung den Energieverlust am besten.
+\[
+ S_e(E) = N \frac{4 \pi Z_1^2 Z_2^2 e^2}{m_e v_0^2} \textrm{ln} \, \Big( \frac{2 m_e v_0^2}{I} \Big)
+\]
+$v_0$ entspricht der Geschwindigkeit des Ions, $m_e$ ist die Elektronenmasse und $I = I_0 Z^2$ die mittlere Ionisationsenergie ($I_0 \simeq 11eV$). 
+
 \section{Implantationsprofil}
+Nun kann mit $S_e$ und $S_n$ die mittlere Reichweite berechnet werden. Allerdings entspricht dies nicht der mittleren Tiefe in der das Ion im Target zur Ruhe kommt, da es im Allgemeinen Richtungs"anderungen erfahren wird. Lindhard, Scharff und Schiott n"aherten das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung:
+\[
+ N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi} \Delta R_p} e^{ \Big( - \frac{(x-R_p)^2}{2 \Delta R_p^2} \Big)}
+\]
+$D$ entspricht hier der Dosis, also die Zahl der implantierten Ionen pro Fl"ache, $\Delta R_p$ ist die Standardabweichung der projezierten Reichweite $R_p$.
+
+In folgender Abbildung ...
+
 \section{Amorphisierung}
 
 \chapter{Modell und Simulation}
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2.39.2