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2
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9
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12
13 \author{Frank Zirkelbach}
14 \title{Das Ising Modell}
15
16 \begin{document}
17 \frontmatter
18 \maketitle
19 \tableofcontents
20
21 \mainmatter
22 \chapter{Einf├╝hrung}
23
24 \section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
25 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
26 \[
27  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
28 \]
29 Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
30 \begin{itemize}
31 \item Wahrscheinlichkeit fuer Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
32 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$ 
33 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
34 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
35 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
36 \end{itemize}
37
38 \section{Phasen"uberg"ange}
39 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "aussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
40 \begin{itemize}
41 \item Dichte
42 \item Magnetisierung
43 \item elektrische Leitf"ahigkeit
44 \end{itemize}
45 Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Ubrg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Ubergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
46 \begin{itemize}
47 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
48 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
49 \end{itemize}
50
51 \section{Kritische Exponenten}
52 In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
53 \begin{itemize}
54 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
55 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
56 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^\gamma$
57 \end{itemize}
58 Anmerkung:\\
59 Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung und Spindimensionalit"at ab, und nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
60
61 \section{Idee des Ising Modells}
62 Modellannahmen: 
63 \begin{itemize}
64 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
65 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
66 \[
67  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
68 \]
69 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
70 \end{itemize}
71 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
72 \[
73  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
74 \]
75 \[
76 (i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
77 \]
78 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
79 \begin{itemize}
80 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
81 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
82 \end{itemize}
83 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
84 \\
85 \\
86 Molekularfeldn"aherung:\\
87 Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>)$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
88 \[
89  S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
90 \]
91 wobei $m=\frac{1}{N}(sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
92 \[
93  H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
94 \]
95 und Zustandssumme:
96 \[
97 \begin{array}{ll}
98  Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
99     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
100     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
101 \end{array}
102 \]
103 Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
104 \[
105 \begin{array}{l}
106  g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
107  m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
108 \end{array}
109 \]
110 Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
111 \[
112  \tanh (\beta Jm) = m
113 \]
114 die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die Anfangssteigung der linken Seite der Gleichung gr"o"ser $1$ ist. F"ur die kritische Temperatur gilt somit $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$.
115 \\
116 \setlength{\unitlength}{2cm}
117 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
118  \put(0,0){\line(1,1){1}}
119  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
120  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
121  \put(2.7,-0.1){$m$}
122  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
123  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
124  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
125  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
126  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
127  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
128 \end{picture}
129 \\
130 Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
131
132 \chapter{Loesungen des Ising Modells}
133
134 \section{1-dimensionale L"osung}
135 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
136 \begin{picture}(10,1)
137  \thicklines
138  \put(0,0.45){$\bullet$}
139  \put(0,0){$1$}
140  \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
141  \put(2,0.45){$\bullet$}
142  \put(2,0){$2$}
143  \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
144  \put(4,0.45){$\bullet$}
145  \put(4,0){$3$}
146  \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
147  \put(6,0.45){$\bullet$}
148  \put(6,0){$N$}
149 \end{picture} \\
150 \\
151 Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
152 \[
153  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
154 \]
155 Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
156 Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
157 \\
158 Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
159 \[
160  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
161 \]
162 Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
163 \[
164  M = <S_1>
165 \]
166 Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
167 \[
168  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
169 \]
170 Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
171 \\
172 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
173 \[
174 \begin{array}{l}
175  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
176  \\
177  \textrm{also:} \\
178  <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
179  <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
180  <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
181  \\
182  wobei: \\
183  \begin{array}{ll}
184   |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
185   |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
186  \end{array}
187 \end{array}
188 \]
189 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
190 \[
191  \mathbf{T} =
192  \left(
193  \begin{array}{cc}
194  e^{K+h} & e^{-K} \\
195  e^{-K} & e^{K-h}
196  \end{array}
197  \right)
198  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
199 \]
200 Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
201 \[
202  \begin{array}{ll}
203  Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
204    & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
205    & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
206  \end{array}
207 \]
208 Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
209 \[
210  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
211 \]
212 Daraus folgt:
213 \[
214  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
215 \]
216 Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
217 \[
218  \begin{array}{l}
219   \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
220   Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
221   F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
222  \end{array}
223 \]
224 Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
225 Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
226 \[
227  \begin{array}{ll}
228   M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
229     & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
230     & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
231     & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
232   
233  \end{array}
234 \]
235 Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
236 \\
237 \setlength{\unitlength}{2cm}
238 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
239  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
240  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
241  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
242  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
243  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
244  \put(0.2,1.4){$M$}
245  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
246  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
247 \end{picture}
248 \\
249 Erkenntnis:\\
250 \begin{itemize}
251 \item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
252 \item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
253 \end{itemize}
254 F"ur $T=0$ kann obere Approximation nichtmehr verwendet werden, da gilt:
255 \[ 
256  \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
257 \]
258 Mann kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergagng liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
259 \[
260  \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
261 \]
262
263 \section{2-dimensionale L"osung}
264 W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
265 \\
266 Hamiltonian:
267 \[
268  H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
269 \]
270 Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
271 \[
272  H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
273 \]
274 wobei
275 \[
276 \begin{array}{ll}
277  E(\mu_j,\mu_k) & \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\
278  E(\mu_j)       & \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\
279  \mu_j          & \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
280 \end{array}
281 \]
282 Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
283 \[
284  <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
285 \]
286 Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
287 \[
288  Z = \textrm{Sp} \, mathbf{T}^N
289 \]
290 Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden Werden nur die Endresultate betrachtet.\\
291 \\
292 F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
293 \[
294  f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
295 \]
296 mit $K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
297 \[
298  m = \left\{
299  \begin{array}{ll}
300   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
301   0 & : T > T_C
302  \end{array} \right.
303 \]
304 F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
305 \[
306  2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
307 \]
308 In der N"ahe von $T=T_C$ erkennt man eine logarithmische Divergenz der spezifischen W"arme.
309 \[
310 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big) + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
311 \]
312 Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
313 \\
314 Fazit:
315 \begin{itemize}
316 \item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
317 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
318 \end{itemize}
319
320 \section{3-dimensionale Loesung}
321 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch geloest werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten Loesung keine weiteren Informationen mehr.\\
322 \\
323 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenuebergaenge.
324
325 \chapter{Simulation}
326 ... noch in arbeit\\
327 \\
328 xising zeigen, besser: dfb-ising coden!
329 \\
330 grob: (pseudocode) [\ref{lit4}]\\
331 \begin{itemize}
332 \item gehe alle gitterplaetze durch
333 \item berechne $\delta E$ fuer Spinflip (naechste nachbarn anschauen)
334 \item wenn kleiner 0 flip, ansonsten nur wenn zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
335 \item Spins aufsummieren, entsprcht magnetisierung (nach genuegend vielen itterationen ($N^3$)
336 \end{itemize}
337
338 \chapter{Anwendungen}
339 \begin{itemize}
340 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
341  \[
342   \begin{array}{ll}
343    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
344    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
345    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
346    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
347   \end{array}
348  \]
349 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
350  \[
351   \begin{array}{ll}
352    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
353    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
354    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
355   \end{array}
356  \]
357 \item weitere Anwendungen
358  \begin{itemize}
359  \item Quantum Game Theory
360  \item duopoly markets
361  \end{itemize}
362 \end{itemize}
363
364 \appendix
365 \chapter{Quellen}
366 \begin{enumerate}
367 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
368 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
369 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
370 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
371 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
372 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
373 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
374 \end{enumerate}
375
376 \end{document}