ising/ising.tex

   1 \documentclass{report}
   2
   3 \usepackage{verbatim}
   4 \usepackage[german]{babel}
   5 \usepackage[latin1]{inputenc}
   6 \usepackage[T1]{fontenc}
   7 \usepackage{amsmath}
   8 \usepackage{ae}
   9
  10 \usepackage{graphicx}
  11 \graphicspath{{./img/}}
  12
  13 \author{Frank Zirkelbach}
  14 \title{Das Ising Modell}
  15
  16 \begin{document}
  17 \frontmatter
  18 \maketitle
  19 \tableofcontents
  20
  21 \mainmatter
  22 \chapter{Einfuehrung}
  23
  24 \section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
  25 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
  26 \[
  27  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
  28 \]
  29 Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
  30 \[
  31 \begin{array}{l}
  32  \textrm{Wahrscheinlichkeit fuer Zustand} \, i \quad P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta} \\
  33  \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \\
  34  \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \\
  35  \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H}
  36 \end{array}
  37 \]
  38
  39 \section{Phasenuebergaenge}
  40 Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
  41 \begin{itemize}
  42 \item Dichte
  43 \item Magnetisierung
  44 \item elektrische Leitfaehigkeit
  45 \end{itemize}
  46 Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
  47 \begin{itemize}
  48 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
  49 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
  50 \end{itemize}
  51
  52 \section{Idee des Ising Modells}
  53 Modellannahmen:
  54 \begin{itemize}
  55 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
  56 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
  57 \[
  58  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
  59 \]
  60 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
  61 \end{itemize}
  62 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
  63 \[
  64  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
  65 \]
  66 \[
  67 (i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
  68 \]
  69 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
  70 \begin{itemize}
  71 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
  72 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
  73 \end{itemize}
  74 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
  75
  76 \chapter{Loesungen des Ising Modells}
  77
  78 \section{1-dimensionale Loesung}
  79 \setlength{\unitlength}{0.5cm}
  80 \begin{picture}(10,2)
  81  \thicklines
  82  \put(0,0.7){$\bullet$}
  83  \put(0,0){$1$}
  84  \put(0.1,0.9){\line(1,0){2}}
  85  \put(2,0.7){$\bullet$}
  86  \put(2,0){$2$}
  87  \put(2.1,0.9){\line(1,0){2}}
  88  \put(4,0.7){$\bullet$}
  89  \put(4,0){$3$}
  90  \put(4.1,0.8){\ldots \ldots}
  91  \put(6,0.7){$\bullet$}
  92  \put(6,0){$N$}
  93 \end{picture} \\
  94 \\
  95 Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
  96 \[
  97  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
  98 \]
  99 Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
 100 Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
 101 \\
 102 Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
 103 \[
 104  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 105 \]
 106 Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
 107 \[
 108  M = <S_1>
 109 \]
 110 Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
 111 \[
 112  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
 113 \]
 114 Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
 115 \\
 116 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
 117 \[
 118 \begin{array}{l}
 119  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 120  \\
 121  \textrm{also:} \\
 122  <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
 123  <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
 124  <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
 125  \\
 126  wobei: \\
 127  \begin{array}{ll}
 128   |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
 129   |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
 130  \end{array}
 131 \end{array}
 132 \]
 133 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
 134 \[
 135  \mathbf{T} =
 136  \left(
 137  \begin{array}{cc}
 138  e^{K+h} & e^{-K} \\
 139  e^{-K} & e^{K-h}
 140  \end{array}
 141  \right)
 142  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
 143 \]
 144 Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
 145 \[
 146  \begin{array}{ll}
 147  Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
 148    & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
 149    & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 150  \end{array}
 151 \]
 152 Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
 153 \[
 154  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
 155 \]
 156 Daraus folgt:
 157 \[
 158  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
 159 \]
 160 Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
 161 \[
 162  \begin{array}{l}
 163   \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
 164   Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
 165   F = -k_B T \, \textrm{ln} \. Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 166  \end{array}
 167 \]
 168 Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
 169 Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
 170 \[
 171  \begin{array}{ll}
 172   M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
 173     & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
 174     & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
 175     & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
 176
 177  \end{array}
 178 \]
 179 Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
 180 \\
 181 \setlength{\unitlength}{2cm}
 182 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 183  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 184  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 185  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 186  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 187  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 188  \put(0.2,1.4){$M$}
 189  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 190  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
 191 \end{picture}
 192 \\
 193 Erkenntnis:\\
 194 \begin{itemize}
 195 \item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
 196 \item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell
 197 \end{itemize}
 198
 199 \section{2-dimensionale Loesung}
 200 Waehrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu loesen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale hoechst nichttrivial. Es wird auf eine genau Loesung verzichtet. Eine Loesung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
 201 \\
 202 Hamiltonian und Zustandssumme:
 203 \[
 204 \begin{array}{l}
 205  H = -J \sum_{(i,j)} S_i S_j \\
 206  Z = \sum_{\{S_i\}} e^{-\beta H} \qquad \textrm{Summation erfasst alle $2^N$ Spinkonfigurationen}
 207 \end{array}
 208 \]
 209 Weil die $S_i$ nur die Werte $+1$ oder $-1$ annehmen koennne folgt:
 210 \[
 211  (S_i S_j)^{2n} = 1 \, \textrm{;} \qquad (S_i S_j)^{2n+1} = S_i S_j
 212 \]
 213 und damit koennen wir fuer die Exponentialfunktion schreiben:
 214 \[
 215  e^{\beta J S_i S_j} = \cosh (\beta J) + (S_i S_j) \sinh (\beta J) = \cosh (\beta J) (1 + \upsilon (S_i S_j)) \, \textrm{,} \qquad \upsilon = \tanh (\beta J)
 216 \]
 217 Weil jeder Ising Spin $4$ naechste Nachbarn hat, gibt es $\frac{4 N}{2} = 2N$ verschiedene Nachbarpaare. Damit erhaelt man fuer die Zustandssumme:
 218 \[
 219  Z = \sum_{\{S_i\}} \prod_{(i,j)} e^{\beta J S_i S_j}
 220 \]
 221 Durch hier nicht weiter ausgefuehrte grafische Ueberlegungen zu den Spinprodukten und einer laenglichen Rechnung [\ref{lit1}] folgt:
 222 \[
 223  Z = 2^N \cosh^{2N} (\beta J) \Big( \prod_{q_1,q_2} \big( (1 + \upsilon^2)^2 - 2 \upsilon (1 - \upsilon^2) (\cos q_1 + \cos q_2) \big) \Big)^{\frac{1}{2}}
 224 \]
 225 Schaut man sich nun die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ an, so erhaelt man einen Ausdruck eines Logarithmus unter einem nicht weiter analytisch behandelbaren Doppelintegrals. Der Phasenuebergang findet findet statt, wenn das Argument des Logarithmus verschwindet. Man findet folgende Bedingung:
 226 \[
 227  1 \stackrel{!}{=} \sinh \frac{2 J}{k_B T_C} \, \qquad \textrm{$T_C$ ist kritische Temperatur}
 228 \]
 229 Fuer die spontane Magnetisierung gilt:
 230 \[
 231  M = \left\{
 232  \begin{array}{ll}
 233   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
 234   0 & : T > T_C
 235  \end{array} \right.
 236 \]
 237 Fazit:
 238 \begin{itemize}
 239 \item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
 240 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
 241 \end{itemize}
 242
 243
 244 \section{3-dimensionale Loesung}
 245 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch geloest werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten Loesung keine weiteren Informationen mehr.\\
 246 \\
 247 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenuebergaenge.
 248
 249 \chapter{Simulation}
 250 ... noch in arbeit\\
 251 \\
 252 xising zeigen, besser: dfb-ising coden!
 253 \\
 254 grob: (pseudocode) [\ref{lit4}]\\
 255 \begin{itemize}
 256 \item gehe alle gitterplaetze durch
 257 \item berechne $\delta E$ fuer Spinflip (naechste nachbarn anschauen)
 258 \item wenn kleiner 0 flip, ansonsten nur wenn zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
 259 \item Spins aufsummieren, entsprcht magnetisierung (nach genuegend vielen itterationen ($N^3$)
 260 \end{itemize}
 261
 262 \chapter{Anwendungen}
 263 \begin{itemize}
 264 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 265  \[
 266   \begin{array}{ll}
 267    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
 268    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
 269    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
 270    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
 271   \end{array}
 272  \]
 273 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 274  \[
 275   \begin{array}{ll}
 276    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
 277    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
 278    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
 279   \end{array}
 280  \]
 281 \item weitere Anwendungen
 282  \begin{itemize}
 283  \item Quantum Game Theory
 284  \item duopoly markets
 285  \end{itemize}
 286 \end{itemize}
 287
 288 \appendix
 289 \chapter{Quellen}
 290 \begin{enumerate}
 291 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
 292 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
 293 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
 294 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
 295 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 296 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 297 \end{enumerate}
 298
 299 \end{document}