ising/ising.tex

   1 \documentclass{report}
   2
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   6 \usepackage[T1]{fontenc}
   7 \usepackage{amsmath}
   8
   9 \author{Frank Zirkelbach}
  10 \title{Das Ising Modell}
  11
  12 \begin{document}
  13 \frontmatter
  14 \maketitle
  15 \tableofcontents
  16
  17 \mainmatter
  18 \chapter{Einfuehrung}
  19
  20 \section{Zustandssumme und benoetigte Groessen}
  21 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle moeglichen Zustaende (Mikrozustaende).
  22 \[
  23  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Spur} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
  24 \]
  25 Sie ist eine fundamentale Groesse in der statistischen Physik. Von ihr koennen viele wichtige Groessen abgeleitet werden.
  26 \begin{eqnarray}
  27  \textrm{freie Energie} \quad F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z \nonumber\\
  28  \textrm{Magnetisierung} \quad M = - \frac{\partial F}{\partial B} \nonumber\\
  29  \textrm{magnetische Suszeptibilitaet} \quad \chi = - \frac{\partial M}{\partial H} \nonumber
  30 \end{eqnarray}
  31
  32 \section{Phasenuebergaenge}
  33 Die Phase ist eine moegliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen aeussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
  34 \begin{itemize}
  35 \item Dichte
  36 \item Magnetisierung
  37 \item elektrische Leitfaehigkeit
  38 \end{itemize}
  39 Mit einem Phasenuebergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase aendert. Man unterscheidet Uebrgaenge erster Ordnung (diskontinuierlich) und Uebergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
  40 \begin{itemize}
  41 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
  42 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilitaet)
  43 \end{itemize}
  44
  45 \section{Idee des Ising Modells}
  46 Modellannahmen:
  47 \begin{itemize}
  48 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
  49 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
  50 \[
  51  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
  52 \]
  53 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
  54 \end{itemize}
  55 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
  56 \[
  57  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \qquad \textrm{,mit}
  58 \]
  59 \[
  60 (i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
  61 \]
  62 Man erkennt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
  63 \begin{itemize}
  64 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
  65 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
  66 \end{itemize}
  67 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen. (Divergenz von $\chi$)
  68
  69 \chapter{Loesungen des Ising Modells}
  70 \section{1-dimensionale Loesung}
  71 there are solutions for 1d \ldots
  72 \section{2-dimensionale Loesung}
  73 in 2d \ldots
  74 \section{3-dimensionale Loesung}
  75 und in 3d auch?
  76
  77 \chapter{Simulation}
  78 we can easily implement it in c
  79
  80 \chapter{Anwendungen}
  81 getho, here is how it comes \ldots
  82
  83 \chapter{Zusammenfassung}
  84 i dont care, though this is powered by \LaTeX
  85
  86 \appendix
  87 \chapter{Quellen}
  88 Baxter, Nolting, Kampf ;)
  89
  90 \end{document}