ising/ising.tex

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   2
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   9
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  12
  13 \author{Frank Zirkelbach}
  14 \title{Das Ising Modell}
  15
  16 \begin{document}
  17 \frontmatter
  18 \maketitle
  19 \tableofcontents
  20
  21 \mainmatter
  22 \chapter{Einführung}
  23
  24 \section{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
  25 Unter der kanonischen Zustandssumme versteht man die Summation ueber alle m"oglichen Mikrozust"ande.
  26 \[
  27  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
  28 \]
  29 Sie ist eine fundamentale Gr"o"se in der statistischen Physik. Von ihr k"onnen viele wichtige Gr"o"sen abgeleitet werden.
  30 \begin{itemize}
  31 \item Wahrscheinlichkeit fuer Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
  32 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
  33 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
  34 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
  35 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
  36 \end{itemize}
  37
  38 \section{Phasen"uberg"ange}
  39 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "aussern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen. Beispiele:
  40 \begin{itemize}
  41 \item Dichte
  42 \item Magnetisierung
  43 \item elektrische Leitf"ahigkeit
  44 \end{itemize}
  45 Mit einem Phasen"ubergang verbunden ist ein kitischer Bereich einer Variablen, in dem sich die Phase "andert. Man unterscheidet "Ubrg"ange erster Ordnung (diskontinuierlich) und "Ubergaenge zweiter Ordnung (kontinuierlich).
  46 \begin{itemize}
  47 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
  48 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
  49 \end{itemize}
  50
  51 \section{Kritische Exponenten}
  52 In der N"ahe eines Phasen"ubergangs beobachtet man das gewisse physikalische Gr"oe"sen Potenzgesetzen gehorchen. Diese Exponenten beschreiben wie die physikalischen Gr"o"sen nahe $T_C$ divergieren.
  53 \begin{itemize}
  54 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
  55 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
  56 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^\gamma$
  57 \end{itemize}
  58 Anmerkung:\\
  59 Kritische Exponenten sind zu einem hohen Grad universell, d.h. sie h"angen nur von fundamentalen Parametern wie Dimension, Reichweite der Teilchen-Wechselwirkung und Spindimensionalit"at ab, und nicht vom Modell selbst. Damit lassen sich Universalit"atsklassen definieren.
  60
  61 \section{Idee des Ising Modells}
  62 Modellannahmen:
  63 \begin{itemize}
  64 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
  65 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
  66 \[
  67  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
  68 \]
  69 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
  70 \end{itemize}
  71 Dann lautet die Hamilton-Funktion:
  72 \[
  73  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
  74 \]
  75 \[
  76 (i,j) = \textrm{naechste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
  77 \]
  78 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
  79 \begin{itemize}
  80 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedrieger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
  81 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zufaellig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
  82 \end{itemize}
  83 Unter einer bestimmten Temperatur stellt sich auch ohne Aenderung eines aeusseren Magnetfeldes eine spontane Magnetisierung ein, dies laesst auf einen Phasenuebergang zweiter Ordnung schliessen (Divergenz von $\chi$).
  84 \\
  85 \\
  86 Molekularfeldn"aherung:\\
  87 Approximation des Ising Modells durch Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>)$. Damit kann man den Spin-Wechselwirkungs-Term umschreiben:
  88 \[
  89  S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
  90 \]
  91 wobei $m=\frac{1}{N}(sum_i^N S_i)$ die mittlere Magnetisierung pro Spin ist und der letzte Term damit von der Gestalt $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ ist und in der MFN vernachl"assigt wird. Mit der Definition $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, wobei $z$ die Anzahl der n"achsten Nachbarn ist, erhalten wir folgenden Hamiltonian,
  92 \[
  93  H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
  94 \]
  95 und Zustandssumme:
  96 \[
  97 \begin{array}{ll}
  98  Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
  99     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
 100     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
 101 \end{array}
 102 \]
 103 Damit erhalten wir f"ur die freie Energie und Magnetisierung pro Spin folgendes:
 104 \[
 105 \begin{array}{l}
 106  g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
 107  m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
 108 \end{array}
 109 \]
 110 Legt man nun kein magnetisches Feld $B_0$ an, so hat man eine implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung
 111 \[
 112  \tanh (\beta Jm) = m
 113 \]
 114 die grafisch diskutiert werden kann. Man findet L"osungen $m \neq 0$ wenn die Anfangssteigung der linken Seite der Gleichung gr"o"ser $1$ ist. F"ur die kritische Temperatur gilt somit $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$.
 115 \\
 116 \setlength{\unitlength}{2cm}
 117 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 118  \put(0,0){\line(1,1){1}}
 119  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
 120  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 121  \put(2.7,-0.1){$m$}
 122  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 123  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 124  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 125  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
 126  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
 127  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
 128 \end{picture}
 129 \\
 130 Man findet also einen Phasen"ubergang unabh"angig von der Gitterdimension. Die folgende exakte L"osung des eindimensionalen Isingmodells widerspricht dem, ist jedoch typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie).
 131
 132 \chapter{Loesungen des Ising Modells}
 133
 134 \section{1-dimensionale L"osung}
 135 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
 136 \begin{picture}(10,1)
 137  \thicklines
 138  \put(0,0.45){$\bullet$}
 139  \put(0,0){$1$}
 140  \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
 141  \put(2,0.45){$\bullet$}
 142  \put(2,0){$2$}
 143  \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
 144  \put(4,0.45){$\bullet$}
 145  \put(4,0){$3$}
 146  \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
 147  \put(6,0.45){$\bullet$}
 148  \put(6,0){$N$}
 149 \end{picture} \\
 150 \\
 151 Die Hamilton-Funktion in einer Dimension lautet:
 152 \[
 153  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 154 \]
 155 Annahme: periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$ \, (Translationsinvarianz), $J_{i,i+1} \equiv J$ \\
 156 Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$ \\
 157 \\
 158 Die Energie des Systems ist nun gegebn durch:
 159 \[
 160  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 161 \]
 162 Die Magnetisierung entspricht dem Erwartungswert des magnetischen Moments an einem Gitterplatz:
 163 \[
 164  M = <S_1>
 165 \]
 166 Es gibt $2^N$ moegliche Spinzustaende. Die Zustandssumme lautet:
 167 \[
 168  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
 169 \]
 170 Die Zustandssumme wird mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode berechnet: \\
 171 \\
 172 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
 173 \[
 174 \begin{array}{l}
 175  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 176  \\
 177  \textrm{also:} \\
 178  <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\
 179  <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\
 180  <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\
 181  \\
 182  wobei: \\
 183  \begin{array}{ll}
 184   |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,} &
 185   |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
 186  \end{array}
 187 \end{array}
 188 \]
 189 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
 190 \[
 191  \mathbf{T} =
 192  \left(
 193  \begin{array}{cc}
 194  e^{K+h} & e^{-K} \\
 195  e^{-K} & e^{K-h}
 196  \end{array}
 197  \right)
 198  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
 199 \]
 200 Damit laesst sich die Zustandssumme neu schreiben:
 201 \[
 202  \begin{array}{ll}
 203  Z & = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\
 204    & = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\
 205    & = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 206  \end{array}
 207 \]
 208 Wegen der Vollstaendigkeit der Spinzustaende ist $\mathbf{T}$ diagonalisierbar und die Spur Darstellungsunabhaengig. Aus $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$, erhaelt man folgende Eigenwerte:
 209 \[
 210  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
 211 \]
 212 Daraus folgt:
 213 \[
 214  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
 215 \]
 216 Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
 217 \[
 218  \begin{array}{l}
 219   \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\
 220   Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\
 221   F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 222  \end{array}
 223 \]
 224 Dabei wurde verwendet, dass $\lambda_+^N$ im thermodynamischen Limes viel groesser ist als $\lambda_-^N$. \\
 225 Fuer die Magnetisierung mit Magnetfeld gilt:
 226 \[
 227  \begin{array}{ll}
 228   M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\
 229     & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\
 230     & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\
 231     & = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
 232
 233  \end{array}
 234 \]
 235 Folgende Abbidlung zeigt die Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld. Die Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist. Fuer sehr grosse Magnetfelder saettigt sie.
 236 \\
 237 \setlength{\unitlength}{2cm}
 238 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 239  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 240  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 241  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 242  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 243  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 244  \put(0.2,1.4){$M$}
 245  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 246  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
 247 \end{picture}
 248 \\
 249 Erkenntnis:\\
 250 \begin{itemize}
 251 \item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
 252 \item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
 253 \end{itemize}
 254 F"ur $T=0$ kann obere Approximation nichtmehr verwendet werden, da gilt:
 255 \[
 256  \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1
 257 \]
 258 Mann kann zeigen, da"s bei $B_0=T=0$ ein Phasen"ubergagng liegt (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich), und eine spontane Magnetisierung existiert. Kritische Exponenten:
 259 \[
 260  \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
 261 \]
 262
 263 \section{2-dimensionale L"osung}
 264 W"ahrend das eindimensionale Modell noch relativ leicht zu l"osen war, und deshalb hier detailliert beschrieben wurde, ist das zweidimensionale h"ochst nichttrivial. Es wird auf eine genau L"osung verzichtet. Tats"achlich ist das einzige Problem die Diagonalisierung einer $2^N \times 2^N$ - Matrix (wieder Transfer-Matrix-Methode). Eine L"osung wird nur ohne vorhandenes Magnetfeld gefunden.\\
 265 \\
 266 Hamiltonian:
 267 \[
 268  H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
 269 \]
 270 Dabei geben die Indizes der Spins deren Punkt im Gitter an. Dies schreiben wir k"urzer
 271 \[
 272  H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
 273 \]
 274 wobei
 275 \[
 276 \begin{array}{ll}
 277  E(\mu_j,\mu_k) & \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\
 278  E(\mu_j)       & \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\
 279  \mu_j          & \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
 280 \end{array}
 281 \]
 282 Damit bestimmen wir analog zum eindimensionalen Fall eine Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
 283 \[
 284  <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
 285 \]
 286 Dies ist eine $2^N \times 2^N$ - Matrix, die es wie erw"ahnt zu diagonalisieren gilt. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
 287 \[
 288  Z = \textrm{Sp} \, mathbf{T}^N
 289 \]
 290 Diesen Schritt kann man sich zum Beispiel in [\ref{lit7}] genauer anschauen. Im Folgenden Werden nur die Endresultate betrachtet.\\
 291 \\
 292 F"ur die freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$ erh"alt man
 293 \[
 294  f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
 295 \]
 296 mit $K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$, und demnach f"ur die Magnetisierung:
 297 \[
 298  m = \left\{
 299  \begin{array}{ll}
 300   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
 301   0 & : T > T_C
 302  \end{array} \right.
 303 \]
 304 F"ur den kritischen Exponenten $\beta$ gilt also $\beta = \frac{1}{8}$. Als Bedingung f"ur die kritische Temperatur erh"alt man:
 305 \[
 306  2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
 307 \]
 308 In der N"ahe von $T=T_C$ erkennt man eine logarithmische Divergenz der spezifischen W"arme.
 309 \[
 310 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big) + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
 311 \]
 312 Damit ist der kritische Exponent $\alpha = 0$.\\
 313 \\
 314 Fazit:
 315 \begin{itemize}
 316 \item es existiert ein Phasenuebergang zweiter Ordnung
 317 \item auch ohne vorhandenes Magnetfeld hat der Ising Ferromagnet eine spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$
 318 \end{itemize}
 319
 320 \section{3-dimensionale L"osung}
 321 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
 322 \\
 323 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
 324
 325 \chapter{Monte Carlo Simulation}
 326 Im Folgenden soll gezeigt werden wie man durch sogenannte Monte Carlo Simulationen das Ising Modell simuliert.\\
 327 \\
 328 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
 329 \[
 330 \begin{array}{l}
 331  <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\
 332  p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\
 333  E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
 334 \end{array}
 335 \]
 336 Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht.
 337 \[
 338  <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
 339 \]
 340 $N$ entspricht hierbei der Anzahl der Itterationen in der Computersimulation.
 341 \begin{itemize}
 342  \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
 343  \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s dir Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
 344 \end{itemize}
 345 Damit gilt:
 346 \[
 347  P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
 348 \]
 349 und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
 350 Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
 351 \[
 352  W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t)
 353 \]
 354 und somit gilt:
 355 \[
 356  \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
 357 \]
 358 Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus [\ref{lit4}].\\
 359 \[
 360  W(A \rightarrow B) = \left\{
 361  \begin{array}{ll}
 362   e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
 363   1 & : \delta E < 0
 364  \end{array} \right.
 365 \]
 366 Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
 367 \begin{itemize}
 368 \item Gehe alle Gitterplaetze durch
 369 \item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
 370 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
 371 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Itterationen ($N^3$))
 372 \end{itemize}
 373
 374 \chapter{Anwendungen}
 375 \begin{itemize}
 376 \item Spingl"aser [\ref{lit8}]
 377  \begin{itemize}
 378  \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
 379  \item Beobachtungen:
 380   \begin{itemize}
 381   \item keine spontane Magnetisierung
 382   \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
 383   \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
 384   \end{itemize}
 385  \item Modell:
 386   \begin{itemize}
 387   \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
 388   \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
 389   \end{itemize}
 390  \end{itemize}
 391 \item Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
 392  \begin{itemize}
 393   \item Traveling Salesman Problem:
 394    \begin{itemize}
 395    \item "Aufheizen" des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
 396    \item "Abk"uhlen des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
 397    \end{itemize}
 398   \item Ged"achtnis:
 399   \begin{itemize}
 400   \item Modell:
 401    \[
 402     \begin{array}{ll}
 403      S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
 404      S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
 405      S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
 406      J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
 407      \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
 408     \end{array}
 409    \]
 410   \item einige Eigenschaften
 411    \begin{itemize}
 412    \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
 413    \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
 414    \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
 415    \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
 416    \end{itemize}
 417   \end{itemize}
 418  \end{itemize}
 419 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 420  \[
 421   \begin{array}{ll}
 422    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
 423    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
 424    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
 425    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
 426   \end{array}
 427  \]
 428 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 429  \[
 430   \begin{array}{ll}
 431    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
 432    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
 433    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
 434   \end{array}
 435  \]
 436 \item weitere Anwendungen
 437  \begin{itemize}
 438  \item Quantum Game Theory
 439  \item duopoly markets
 440  \end{itemize}
 441 \end{itemize}
 442
 443 \appendix
 444 \chapter{Quellen}
 445 \begin{enumerate}
 446 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
 447 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
 448 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
 449 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
 450 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 451 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 452 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
 453 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
 454 \end{enumerate}
 455
 456 \end{document}