ising/ising_slides.tex

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   2
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   9
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  13
  14 \usepackage{fancyhdr}           % Headers and footers definitions
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  17
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  20
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  24
  25 \input{seminar.bug}             % Official bugs corrections
  26 \input{seminar.bg2}             % Unofficial bugs corrections
  27
  28 \author{Frank Zirkelbach}
  29 \title{Das Ising Modell}
  30
  31 \begin{document}
  32
  33 \begin{slide}
  34 \maketitle
  35 \end{slide}
  36
  37 \begin{slide}
  38 \tableofcontents
  39 \end{slide}
  40
  41 \begin{slide}
  42 \section{Einf"uhrung}
  43 \end{slide}
  44
  45 \begin{slide}
  46 \slideheading{Zustandssumme und ben"otigte Gr"o"sen}
  47 Zustandssumme: Summation "uber alle m"oglichen Mikrozust"ande
  48 \[
  49  Z = \sum_{i=1}^{N}e^{\frac{-E_i}{k_BT}} = \textrm{Sp} \,  e^{-\beta H} \qquad \beta = \frac{1}{k_BT}
  50 \]
  51 Ableitung wichtiger Gr"o"sen:
  52 \begin{itemize}
  53 \item Wahrscheinlichkeit f"ur Zustand $i$: $P_i = \frac{1}{Z} e^{-E_i \beta}$
  54 \item freie Energie: $F = -k_BT \, \textrm{ln} \, Z$
  55 \item Magnetisierung: $M = - \frac{\partial F}{\partial B}$
  56 \item magnetische Suszeptibilit"at: $\chi = - \frac{\partial M}{\partial H}$
  57 \item spezifische W"armekapazit"at: $c = \frac{\partial E}{\partial T}$
  58 \end{itemize}
  59 \end{slide}
  60
  61 \begin{slide}
  62 \slideheading{Phasen"uberg"ange}
  63 Die Phase ist eine m"ogliche Zustandsform eines makroskopischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Unterschiedliche Phasen "au"sern sich in unterschiedlichen Werten makroskopischer Observablen.\\
  64 Beispiele:
  65 \begin{itemize}
  66 \item Dichte ($H_2O$)
  67 \item Magnetisierung (Nickel)
  68 \item elektrische Leitf"ahigkeit ($YBa_2Cu_2O_7$)
  69 \end{itemize}
  70 \end{slide}
  71
  72 \begin{slide}
  73 Phasen"ubergang verbunden mit kritischen Bereich einer Variablen
  74 \begin{itemize}
  75 \item diskontinuierlich: Unstetigkeit in erster Ableitung eines thermodynamischen Potentials
  76 \item kontinuierlich: Stetigkeit der ersten Ableitung, Unstetigkeit der zweiten Ableitung (Bsp: Magnetisierung - Suszeptibilit"at)
  77 % \\
  78 % \includegraphics[width=10cm,clip,draft=no]{phasen_ue}
  79 \end{itemize}
  80 \end{slide}
  81
  82 \begin{slide}
  83 \slideheading{Kritische Exponenten}
  84 Physikalische Gr"oe"sen gehorchen Potenzgesetzen nahe des kritischen Bereichs
  85 \begin{itemize}
  86 \item Magnetisierung $M \sim |T-T_C|^\beta$
  87 \item spezifische Wa"rmekapazit"at $c \sim |T-T_C|^\alpha$
  88 \item Suszeptibilit"at $\chi \sim |T-T_C|^{-\gamma}$
  89 \end{itemize}
  90 Anmerkung:\\
  91 Kritische Exponenten universell $\rightarrow$ Abhaengig von Dimension, Reichweite und Struktur der Wechselwirkung $\rightarrow$ Universalit"atsklassen
  92 \end{slide}
  93
  94 \begin{slide}
  95 \slideheading{Idee des Ising Modells}
  96 Modell f"ur magnetische Phasen"uberg"ange.\\
  97 \\
  98 Modellannahmen:
  99 \begin{itemize}
 100 \item $d$-dimensionales periodisches Gitter, $d=1,2,3$
 101 \item permanentes magnetisches Moment mit 2 Einstellmoeglichkeiten an jedem Gitterpunkt
 102 \[
 103  \mu_i = \mu S_i \qquad S_i = \pm 1 \quad \forall i
 104 \]
 105 \item lokalisierte Momente wechselwirken miteinander, Kopplungskonstante sei $\frac{J_{ij}}{\mu^2}$
 106 \end{itemize}
 107 Hamilton-Funktion:
 108 \[
 109  H = - \sum_{(i,j)} J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum_i S_i \, \textrm{, mit}
 110 \]
 111 \[
 112 (i,j) = \textrm{n"achste Nachbarn im Gitter,} \qquad \vec{B} = (0,0,B_0)
 113 \]
 114 \end{slide}
 115
 116 \begin{slide}
 117 Man erahnt: ($J > 0$, \, Ferromagnet)
 118 \begin{itemize}
 119 \item $T \to 0$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand niedriger Energie} \longrightarrow \textrm{Spins gleich ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{hohe Magnetisierung}$
 120 \item $T \to \infty$: \\ $\longrightarrow \textrm{Zustand hoher Energie} \longrightarrow \textrm{Spins zuf"allig ausgerichtet}$ \\ $\longrightarrow \textrm{keine Magnetisierung}$
 121 \end{itemize}
 122 Ergebnis: spontane Magnetisierung unterhalb kritischer Temperatur ohne externes $B$-Feld
 123 \end{slide}
 124
 125 \begin{slide}
 126 Molekularfeldn"aherung:\\
 127 Approximation: Vernachl"assigung der Spinfluktuationen $S_i-<S_i>$\\
 128 Spin-Wechselwirkungs-Term:
 129 \[
 130  S_iS_j = (S_i-m+m)(S_j-m+m)=m^2+m(S_i-m)+m(S_j-m)+(S_i-m)(S_j-m)
 131 \]
 132 wobei:
 133 \begin{itemize}
 134 \item $m=\frac{1}{N}(\sum_i^N S_i)$, mittlere Magnetisierung pro Spin
 135 \item $(S_i-<S>)(S_j-<S>)$ in MFN vernachl"assigt
 136 \item Definition: $\sum_j J_{ij} \equiv J^{'} \cdot z \equiv J$, mit $z$  Anzahl der n"achsten Nachbarn
 137 \end{itemize}
 138 \end{slide}
 139
 140 \begin{slide}
 141 Hamiltonian:
 142 \[
 143  H_{MFN} = \frac{1}{2} NJm^2 - (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i
 144 \]
 145 Zustandssumme:
 146 \[
 147 \begin{array}{ll}
 148  Z  & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \sum_{S_1} \ldots \sum_{S_N} \, e^{\beta (Jm + \mu B_0) \sum_i S_i} \\
 149     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( \sum_{S=\pm 1} e^{\beta (Jm + \mu B_0)S \Big)^N} \\
 150     & = e^{- \beta \frac{NJm^2}{2}} \Big( 2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big)^N
 151 \end{array}
 152 \]
 153 \end{slide}
 154
 155 \begin{slide}
 156 freie Energie und Magnetisierung pro Spin:
 157 \[
 158 \begin{array}{l}
 159  g = - \frac{1}{N \beta} \textrm{ln} \, Z = - \frac{1}{2} Jm^2 - \frac{1}{\beta} \textrm{ln} \, \Big(2 \cosh (\beta (Jm + \mu B_0)) \Big) \\
 160  m = - \Big( \frac{\partial g}{\partial B_0} \Big) = \tanh (\beta (Jm + \mu B_0))
 161 \end{array}
 162 \]
 163 implizite Bestimmungsgleichung f"ur die Magnetsisierung mit $B_0=0$:
 164 \[
 165  \tanh (\beta Jm) = m
 166 \]
 167 \end{slide}
 168
 169 \begin{slide}
 170 \begin{itemize}
 171 \item L"osung: $m \neq 0 \longleftrightarrow \frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} > 1$ bei $m=0$
 172 \item kritische Temperatur: $\frac{\partial (\tanh (\beta Jm))}{\partial m} = 1$ bei $m=0$
 173 \end{itemize}
 174
 175 % \setlength{\unitlength}{2cm}
 176 % \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 177 %  \put(0,0){\line(1,1){1}}
 178 %  \put(0,0){\line(-1,-1){1}}
 179 %  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 180 %  \put(2.7,-0.1){$m$}
 181 %  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 182 %  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 183 %  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 184 %  \put(0.2,1.4){$f(m)$}
 185 %  \qbezier(0,0)(0.6,0.9)(2,0.9640)
 186 %  \qbezier(0,0)(-0.6,-0.9)(-2,-0.9640)
 187 % \end{picture}
 188 % \\
 189
 190 \includegraphics[width=08cm,clip,draft=no]{meanfield_mag.eps}
 191
 192 \begin{itemize}
 193 \item Phasen"ubergang unabh"angig von Gitterdimension
 194 \item Widerspruch zu exakter $d=1$ L"osung
 195 \item Typisch f"ur alle klassischen Theorien (Bsp: Landau-Theorie)
 196 \end{itemize}
 197 \end{slide}
 198
 199 \begin{slide}
 200 \section{Loesungen des Ising Modells}
 201 \end{slide}
 202
 203 \begin{slide}
 204 \slideheading{L"osung f"ur $d=1$}
 205 \setlength{\unitlength}{1.5cm}
 206 \begin{picture}(10,1)
 207  \thicklines
 208  \put(0,0.45){$\bullet$}
 209  \put(0,0){$1$}
 210  \put(0.1,0.5){\line(1,0){2}}
 211  \put(2,0.45){$\bullet$}
 212  \put(2,0){$2$}
 213  \put(2.1,0.5){\line(1,0){2}}
 214  \put(4,0.45){$\bullet$}
 215  \put(4,0){$3$}
 216  \put(4.1,0.5){\ldots \ldots}
 217  \put(6,0.45){$\bullet$}
 218  \put(6,0){$N$}
 219 \end{picture} \\
 220 \\
 221 Hamilton-Funktion:
 222 \[
 223  H = - \sum_{i=1}^{N} J_{i,i+1} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 224 \]
 225 Annahmen:
 226 \begin{itemize}
 227  \item periodische Randbedingungen, $S_{N+1} \equiv S_1$
 228  \item Translationsinvarianz, $J_{i,i+1} \equiv J$
 229 \end{itemize}
 230 Abkuerzung: $K = \beta J$, $h = \mu B \beta$
 231 \end{slide}
 232
 233 \begin{slide}
 234 Energie des Systems:
 235 \[
 236  E = -J \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i+1} - \mu B_0 \sum_{i=1}^{N} S_i
 237 \]
 238 % Magnetisierung:
 239 % \[
 240 %  M = <S_1>
 241 % \]
 242 Zustandssumme:
 243 \[
 244  Z = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} e^{\beta ( K \sum_{i=1}^{N} S_i S_{i,i+1} + \frac{1}{2} h \sum_{i=1}^{N} S_i + S_{i,i+1} ) }
 245 \]
 246 \end{slide}
 247
 248 \begin{slide}
 249 Bestimmung der Zustandssumme mit Transfer-Matrix-Methode: \\
 250 \\
 251 Finde Matrix $\mathbf{T}$ mit fogenden Eigenschaften:
 252 \[
 253 \begin{array}{l}
 254  <S_i|\mathbf{T}|S_{i,i+1}> = e^{ K S_i S_{i,i+1} + \frac{h}{2} ( S_i + S_{i,i+1} )} \\
 255  \\
 256  \textrm{also:} \\
 257  \displaystyle <1|\mathbf{T}|1> = e^{K+h} \\[2mm]
 258  \displaystyle <-1|\mathbf{T}|-1> = e^{K-h} \\[2mm]
 259  \displaystyle <1|\mathbf{T}|-1> = <-1|\mathbf{T}|1> = e^{-K} \\[2mm]
 260  \displaystyle |S_i = +1> = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \, \textrm{,}
 261  \quad |S_i = -1> = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)
 262 \end{array}
 263 \]
 264 Die Matrix muss also wie folgt aussehen:
 265 \[
 266  \mathbf{T} =
 267  \left(
 268  \begin{array}{cc}
 269  e^{K+h} & e^{-K} \\
 270  e^{-K} & e^{K-h}
 271  \end{array}
 272  \right)
 273  \qquad \textrm{Transfer-Matrix}
 274 \]
 275 \end{slide}
 276
 277 \begin{slide}
 278 Zustandssumme:
 279 \[
 280  \begin{array}{ll}
 281  \displaystyle Z & \displaystyle = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \ldots \sum_{S_N} <S_1|\mathbf{T}|S_2> <S_2|\mathbf{T}|S_3> \ldots <S_{N-1}|\mathbf{T}|S_N> <S_N|\mathbf{T}|S_1> \\[2mm]
 282  \displaystyle  & \displaystyle = \sum_{S_1} <S_1|\mathbf{T}^N|S_1> \\[2mm]
 283  \displaystyle  & \displaystyle = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 284  \end{array}
 285 \]
 286 \begin{itemize}
 287 \item Trick: Vollstaendigkeit der Spinzustaende
 288 \item $\mathbf{T}$ diagonalisierbar, Spur Darstellungsunabhaengig
 289 \item Eigenwerte: $\textrm{det} ( \mathbf{T} - \lambda \mathbf{1} ) = 0$
 290 \end{itemize}
 291 \[
 292  \lambda_{\pm} = e^{K} ( \cosh h \pm \sqrt{\sinh^2 h + e^{-4K}} )
 293 \]
 294 \[
 295  \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N = \lambda_+^N + \lambda_-^N = Z
 296 \]
 297 \end{slide}
 298
 299 \begin{slide}
 300 Fuer den Fall $B_0 = 0$ gilt:
 301 \[
 302  \begin{array}{l}
 303   \displaystyle \lambda_{\pm} = e^K \pm e^{-K} \\[2mm]
 304   \displaystyle Z = 2^N \cosh^N (K) + 2^N \sinh^N (K) = 2^N \cosh^N (K) (1 + \tanh^N (K)) \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} 2^N \cosh^N (K) \\[2mm]
 305   \displaystyle F = -k_B T \, \textrm{ln} \, Z \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} -N k_B T \, \textrm{ln} \, (2 \cosh (\beta J))
 306  \end{array}
 307 \]
 308 weil $\lambda_+^N$ viel groesser als $\lambda_-^N$. (thermodynamischer Limes)\\
 309 Magnetisierung:
 310 \[
 311  \begin{array}{ll}
 312   \displaystyle M & = \frac{1}{Z} \sum_{\{S\}} (\sum_{i} \mu S_i) e^{-\beta H} \\[2mm]
 313   \displaystyle & = \frac{1}{\beta} (\frac{\partial}{\partial{B_0}} \, \textrm{ln} \, Z) \\[2mm]
 314   \displaystyle & \stackrel{N >> 1}{\longrightarrow} \frac{N}{\beta \lambda_+} \frac{\partial{\lambda_+}}{\partial{B_0}} \\[2mm]
 315   \displaystyle & \displaystyle = N \mu \frac{\sinh (\beta \mu B_0)}{\sqrt{\cosh^2 (\beta \mu B_0) - 2e^{-2 \beta J} \sinh (2 \beta J)}}
 316  \end{array}
 317 \]
 318 \end{slide}
 319
 320 \begin{slide}
 321 Abbidlung:
 322 \begin{itemize}
 323 \item Magnetisierung in Abhaengigkeit vom Magnetfeld
 324 \item Magnetisierung verschwindet fuer alle Temperaturen wenn kein Magnetfeld vorhanden ist
 325 \item S"attigung f"ur gro"se Magnetfelder
 326 \end{itemize}
 327 \setlength{\unitlength}{2cm}
 328 \begin{picture}(6,4)(-3,-2)
 329  \put(-2.5,0){\vector(1,0){5}}
 330  \put(2.7,-0.1){$B_0$}
 331  \put(0,-1.5){\vector(0,1){3}}
 332  \multiput(-2.5,1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 333  \multiput(-2.5,-1)(0.4,0){13}{\line(1,0){0.2}}
 334  \put(0.2,1.4){$M$}
 335  \qbezier(0,0)(0.8853,0.8853)(2,0.9640)
 336  \qbezier(0,0)(-0.8853,-0.8853)(-2,-0.9640)
 337 \end{picture}
 338 \end{slide}
 339
 340 \begin{slide}
 341 Erkenntnis:\\
 342 \begin{itemize}
 343 \item magnetisches Moment verschwindet fuer alle endlichen Temperaturen wenn $B_0 = 0$
 344 \item es gibt keinen Phasenuebergang fuer das eindimensionale Isingmodell fur $T>0$
 345 \end{itemize}
 346 F"ur $T=0$:
 347 \[
 348  \lim_{T \rightarrow 0} \frac{\lambda_+}{\lambda_-}=1 \, \textrm{obere Approximation nichtmehr g"ultig)}
 349 \]
 350 Phasen"ubergang bei $B_0=T=0$ (Korrelationsl"ange geht gegen unendlich)\\
 351 Kritische Exponenten:
 352 \[
 353  \alpha = 1 \qquad \beta = 0 \qquad \gamma = 1
 354 \]
 355 \end{slide}
 356
 357 \begin{slide}
 358 \slideheading{L"osung f"ur $d=2$}
 359 \begin{itemize}
 360 \item TFM analog $d=1$ L"osung
 361 \item $B=0$ \, \textrm{L"osung nur ohne vorhandenes Magnetfeld}
 362 \end{itemize}
 363 Hamiltonian:
 364 \[
 365  H = -J \sum_{(i,j)} (S_{i,j} S_{i+1,j} + S_{i,j} S_{i,j+1}) - \mu B_0 \sum_{i,j} S_{i,j}\\
 366 \]
 367 Indizes $\equiv$ Gitterpunkte der Spins. Abk"urzung:
 368 \[
 369  H = \sum_{j=1}^{N} \Big( E(\mu_j,\mu_{j+1}) + E(\mu_j) \Big)
 370 \]
 371 wobei
 372 \[
 373 \begin{array}{ll}
 374  \displaystyle E(\mu_j,\mu_k) & \displaystyle \equiv - \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i,k} \\[2mm]
 375  \displaystyle E(\mu_j)       & \displaystyle \equiv - J \sum_{i=1}^N S_{i,j} S_{i+1,j} - \mu B_0 \sum_{i,j} S_j \\[2mm]
 376  \displaystyle \mu_j          & \displaystyle \equiv \{S_{1,j},\ldots,S_{N,j}\}
 377 \end{array}
 378 \]
 379 \end{slide}
 380
 381 \begin{slide}
 382 Transfer-Matrix $\mathbf{T}$, mit Matrixelementen:
 383 \[
 384  <\mu_j|\mathbf{T}|\mu_k> = e^{- \beta \Big( E(\mu_j,\mu_k) + E(\mu_j) \Big)}
 385 \]
 386 $2^N \times 2^N$ - Matrix, Diagonalisierung. Analog zum $d=1$ Fall gilt:
 387 \[
 388  Z = \textrm{Sp} \, \mathbf{T}^N
 389 \]
 390 [\ref{lit7}] Kerson Huang, Statistical mechanics
 391 \end{slide}
 392
 393 \begin{slide}
 394 freie Energie pro Spin $f = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} (-k_B T \, \textrm{ln} \, Z)$:
 395 \[
 396  f = -k_B T \textrm{ln} \, \Big( 2 \cosh(2 \beta J) \Big) - \frac{k_B T}{2 \pi} \int_{0}^{\pi} d\phi \, \textrm{ln} \, \frac{1}{2} \Bigg( 1 + \sqrt{1 - K^2 \sin^2 \phi} \Bigg)
 397 \]
 398 mit $\displaystyle K = \frac{2}{\cosh (2 \beta J) \coth (2 \beta J)}$\\
 399 Magnetisierung:
 400 \[
 401  m = \left\{
 402  \begin{array}{ll}
 403   (1 - \sinh^{-4} (2 \beta J))^\frac{1}{8} & : T < T_C \\
 404   0 & : T > T_C
 405  \end{array} \right.
 406 \]
 407 kritische Temperatur:
 408 \[
 409  2 \tanh^2 (2 \beta J) = 1 \, \textrm{, also} \, k_B T_C \approx 2.269185 \cdot J
 410 \]
 411 spezifische W"arme: (logarithmische Divergenz)
 412 \[
 413 C = k_B \frac{2}{\pi} \Big( \frac{2 J}{k_B T_C} \Big) \Bigg( - \textrm{ln} \, \Big( 1 - \frac{T}{T_C} \Big)
 414 + \textrm{ln} \, \Big( \frac{k_B T_C}{2 J} \Big) - \Big( 1 + \frac{\pi}{4} \Big) \Bigg)
 415 \]
 416 kritische Exponenten:\\
 417 $\beta = \frac{1}{8}$ \\
 418 $\alpha = 0$
 419 \end{slide}
 420
 421 \begin{slide}
 422 Fazit:
 423 \begin{itemize}
 424 \item Phasenuebergang zweiter Ordnung
 425 \item spontane Magnetisierung wenn $T < T_C$ ohne vorhandenes Magnetfeld
 426 \end{itemize}
 427 \end{slide}
 428
 429 \begin{slide}
 430 \slideheading{L"osung f"ur $d=3$}
 431 Das dreidimensionale Modell kann bis heute nicht exakt analytisch gel"ost werden. Approximationen und Monte Carlo Simulationen liefern jedoch ueberzeugende Resultate. Man erwartet von der analytisch exakten L"osung keine weiteren Informationen mehr.\\
 432 \\
 433 Das dreidimensionale Ising Modell zeigt Phasenueberg"ange.
 434 \end{slide}
 435
 436 \begin{slide}
 437 \section{Monte Carlo Simulation}
 438 \end{slide}
 439
 440 \begin{slide}
 441 Simulationen das Ising Modell durch Monte Carlo Simulation\\
 442 \\
 443 Gesucht sei der Erwartungswert $<A>$.
 444 \[
 445 \begin{array}{l}
 446  \displaystyle <A> = \sum_i p_i A_i \, \textrm{, wobei} \\[2mm]
 447  \displaystyle p_i = \frac{e^{- \beta E_i}}{\sum_j e^{\beta E_j}} \, \textrm{Boltzmann Wahrscheinlichkeitsverteilung} \\[2mm]
 448  \displaystyle E_i \, \textrm{Energie im Zustand i}
 449 \end{array}
 450 \]
 451 \end{slide}
 452
 453 \begin{slide}
 454 Anstatt ueber alle Zust"ande zu summieren, greift man nur einige zuf"allige Zust"ande auf, deren Wahrscheinlichkeit idealerweise nat"urlich der Boltzmannverteilung entspricht (importance sampling).
 455 \[
 456  <A>_{est} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} A(i)
 457 \]
 458 $N$ entspricht hierbei der Anzahl der Iterationen in der Computersimulation.
 459 \begin{itemize}
 460  \item $P(A,t)$ sei die Wahrscheinlichkeit der Konfiguration $A$ zur Zeit $t$
 461  \item $W(A \rightarrow B)$ sei Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit, da"s die Konfiguration von $A$ nach $B$ wechselt
 462 \end{itemize}
 463 \end{slide}
 464
 465 \begin{slide}
 466 Damit gilt:
 467 \[
 468  P(A,t+1) = P(A,t) + \sum_B \Big( W(B \rightarrow A) P(B,t) - W(A \rightarrow B) P(A,t) \Big)
 469 \]
 470 und f"ur gro"se $t$ ist dir willk"urliche Anfangskonfiguration vergessen, $P(A,t) \rightarrow p(A)$.\\
 471 Eine Bedingung f"ur eine zeitunabh"angige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:
 472 \[
 473  W(A \rightarrow B) P(A,t) = W(B \rightarrow A) P(B,t) \qquad \textrm{(detailed balance)}
 474 \]
 475 und somit gilt:
 476 \[
 477  \frac{W(A \rightarrow B)}{W(B \rightarrow A)} = \frac{p(B)}{p(A)} = \frac{e^{- \beta E(B)}}{e^{- \beta E(A)}} = e^{- \beta \delta E}
 478 \]
 479 \end{slide}
 480
 481 \begin{slide}
 482 Eine Realisierung einer solchen Boltzmannverteilung bietet der Metropolis Algorithmus\\
 483 [\ref{lit4}] http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
 484 \[
 485  W(A \rightarrow B) = \left\{
 486  \begin{array}{ll}
 487   e^{- \beta \delta E} & : \delta E > 0 \\
 488   1 & : \delta E < 0
 489  \end{array} \right.
 490 \]
 491 Der Pseudocode eines Programms k"onnte nun wie folgt aussehen:
 492 \begin{itemize}
 493 \item Gehe alle Gitterplaetze durch
 494 \item Berechne $\delta E$ fuer Spinflip (Naechste Nachbarn anschauen)
 495 \item Wenn $\delta E < 0$ flip, ansonsten nur wenn Zufallszahl kleiner $e^{\frac{-\delta E}{k_B T}}$
 496 \item Spins aufsummieren, dies entspricht der Magnetisierung (nach genuegend vielen Iterationen ($N^3$))
 497 \end{itemize}
 498 \end{slide}
 499
 500 \begin{slide}
 501 \section{Anwendungen}
 502 \end{slide}
 503
 504 \begin{slide}
 505 Spingl"aser ([\ref{lit8}] W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis)
 506  \begin{itemize}
 507  \item Betrifft: magnetische Legierungen (Bsp.: $Au_{1-x}Fe_x$)
 508  \item Beobachtungen:
 509   \begin{itemize}
 510   \item keine spontane Magnetisierung
 511   \item zuf"alliges Einfrieren der Spins unterhalb kritischer Temperatur
 512   \item Remanenz nach kurzen Einschalten eines externen Magnetfelds, die sehr langsam relaxiert
 513   \end{itemize}
 514  \item Modell:
 515   \begin{itemize}
 516   \item Unordnung und Konkurrenz der magnetischen Wechselwirkung
 517   \item Hamilton: $H = - \sum J_{ij} S_i S_j - \mu B_0 \sum S_i$, wobei die $J_{ij}$ zufaellige, symmetrisch um $0$ verteilte Kopplung darstellt
 518   \end{itemize}
 519  \end{itemize}
 520 \end{slide}
 521
 522 \begin{slide}
 523 Spingl"aser: Optimierung und Ged"achtnis [\ref{lit8}]
 524  \begin{itemize}
 525   \item Traveling Salesman Problem:
 526    \begin{itemize}
 527    \item \dq Aufheizen \dq des Systems, Wegstrecken bekommen gleiche Gewichtung
 528    \item \dq Abk"uhlen \dq des Systems, Zustand niedrigster Energie stellt sich ein, der ideale Weg?
 529    \end{itemize}
 530   \item Ged"achtnis:
 531   \begin{itemize}
 532   \item Modell:
 533    \[
 534     \begin{array}{ll}
 535      S_i  & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i} \\
 536      S_i = 1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet Impuls} \\
 537      S_i = -1 & \longleftrightarrow \textrm{Neuron i sendet keinen Impuls} \\
 538      J_{ij} & \longleftrightarrow \textrm{erregende und hemmende Synapsen} \\
 539      \mu B_0 & \longleftrightarrow \textrm{Potential einer sensorischen Nervenzelle} \\
 540     \end{array}
 541    \]
 542   \item einige Eigenschaften
 543    \begin{itemize}
 544    \item F"ahigkeit spontane Information zu speichern
 545    \item Information wird nach Inhalt zur"uckgerufen, nicht nach Addresse, daher schneller als im Computer
 546    \item h"aufige Information wird st"arker gespeichert (Langzeitged"achtnis)
 547    \item Relaxation wenig oft erhaltener Information (Kurzzeitged"achtnis)
 548    \end{itemize}
 549   \end{itemize}
 550  \end{itemize}
 551 \end{slide}
 552
 553 \begin{slide}
 554 \begin{itemize}
 555 \item Ghetto Formationen [\ref{lit5}]\\
 556  \[
 557   \begin{array}{ll}
 558    |S = +1> & \longleftrightarrow \textrm{immigrant} \\
 559    |S = -1> & \longleftrightarrow \textrm{native} \\
 560    k_B T & \longleftrightarrow \textrm{social temperature} \\
 561    m & \longleftrightarrow \textrm{coexistence}
 562   \end{array}
 563  \]
 564 \item Social phase transition [\ref{lit6}]\\
 565  \[
 566   \begin{array}{ll}
 567    H & \longleftrightarrow \textrm{global trend, world wide fashion} \\
 568    \delta E & \longleftrightarrow \textrm{possible mind change} \\
 569    S_i & \longleftrightarrow \textrm{opinion} \\
 570   \end{array}
 571  \]
 572 \item weitere Anwendungen
 573  \begin{itemize}
 574  \item Quantum Game Theory
 575  \item duopoly markets
 576  \end{itemize}
 577 \end{itemize}
 578 \end{slide}
 579
 580 \begin{slide}
 581 \section{Quellen}
 582 \end{slide}
 583
 584 \begin{slide}
 585 \begin{enumerate}
 586 \item \label{lit1} W. Nolting, Grundkurs: Statistische Physik, Band 6
 587 \item \label{lit2} Rodney J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics
 588 \item \label{lit3} http://www.nyu.edu/classes/tuckerman/stat.mech/lectures/lecture\_26/node2.html
 589 \item \label{lit4} http://www.npac.syr.edu/users/gcf/slitex/CPS713MonteCarlo96/index.html
 590 \item \label{lit5} Hildegard Meyer-Ortmanns, Abstract: Immigration, integration and ghetto formation
 591 \item \label{lit6} K. Malarz, Abstract: Social phase transition in Solomon network
 592 \item \label{lit7} Kerson Huang, Statistical mechanics
 593 \item \label{lit8} W. Kinzel, Spingl"aser, Optimierung und Ged"achtnis
 594 \end{enumerate}
 595 \end{slide}
 596
 597 \end{document}