2 \label{chapter:grundlagen}
4 \section{Monte-Carlo-Simulation}
6 Monte-Carlo-Simulationen sind numerische Computerexperimente zur Untersuchung von interessierenden Sachverhalten.
7 Gegen"uber anderen Rechenmethoden basieren diese Computerexperimente auf stochastischen Modellen.
8 Dabei werden vom Computer generierte Zufallszahlen auf physikalische Gr"o"sen abgebildet.
9 Die Zuf"allgkeit mikroskopischer Ereignisse spielt, wie im realen System des Experimentes, die wesentliche Rolle.
10 Der Rechner wird zum virtuellen Labor, in dem ein bestimmtest System untersucht wird.
11 Eine solche Computersimulation kann als numerisches Experiment betrachtet werden.
12 Makroskopische observable Gr"o"sen sind, ebenso wie im Experiment, von statistischen Fluktuationen beeinflusst.
13 Die Reproduzierbarkeit von Ergebnissen hat demnach statistischen Charakter.
15 Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode ist das relativ einfache Erzielen von Ergebnissen f"ur Problemstellungen, die ohne N"aherungen analytisch nicht l"osbar oder sehr aufw"andig sind.
16 Ein Beispiel hierf"ur ist das Ising-Modell in drei Dimensionen, f"ur das bis jetzt keine analytische L"osung gefunden wurde.
17 Die Idee besteht darin, f"ur die Berechnung der Zustandssumme
19 Z = \sum_{i=1}^N e^{\frac{-E_i}{k_B T}} = Tr(e^{-\beta H})
21 nicht den gesamten Raum der Konfigurationen, sondern nur statistisch ausgew"ahlte Punkte zu ber"ucksichtigen.
22 Um die Genauigkeit der simulierten Eigenschaften des Systems in einer bestimmten Sollzeit zu verbessern, ist es n"otig die Zust"ande mit der Wahrscheinlichkeit entsprechend ihres Beitrages zur Zustandssumme auszusuchen.
23 Dieser Ansatz wird als \dq importance sampling\dq{} bezeichnet.
24 F"ur das Ising-Modell wird der Metropolis-Algorithmus verwendet, der die Dynamik des Systems in Form eines \dq update algorithm\dq{} f"ur die Mikrozust"ande vorschreibt.
26 Die Monte-Carlo-Simulation ben"otigt Zufallszahlen, welche auf physikalische Gr"o"sen abgebildet werden.
27 Erstaunlicherweise funktioniert diese Art der Simulation auch mit, vom Computer erzeugten, deterministischen Pseudozufallszahlen.
28 Den Ausgangspunkt bilden dabei sogenannte Standard-Pseudozufallszahlen, die auf einem vorgegebenen Intervall gleichverteilt sind.
29 Hiervon ausgehend k"onnen beliebige Verteilungen durch Transformationen und Verwerfungsmethoden erzeugt werden.
31 \subsection{Erzeugung gleichverteilter Pseudozufallszahlen}
32 \label{subsection:rand_gen}
34 Die h"aufigste Methode zur Erzeugung von Zufallszahlen ist die lineare Kongruenzmethode \cite{knuth,nr}, welche eine Sequenz von ganzen Zahlen $I_j$ aus dem Intervall $I = [0,m-1]$ generiert.
35 Dabei gilt folgende Vorschrift:
36 \begin{equation} \label{eq:kon_m}
37 I_{j+1} = ( a I_{j} + c ) \, mod \, m
39 \[ m: \textrm{Modulus, } a: \textrm{Multiplikator, } c: \textrm{Inkrement, } I_0: \textrm{Startwert} \]
40 Die Zufallszahlen k"onnen sich mit einer Periode, die offensichtlich nicht gr"o"ser als $m$ ist, wiederholen.
41 Die Qualit"at der Zufallszahlen h"angt dabei sehr stark von der Wahl der Konstanten $a, c, m$ und $I_0$ ab.
42 Leider gibt es keine einfache mathematische Methode zur Ermittlung optimaler Konstanten.
43 Nach Park und Miller \cite{park_miller_zufall} erf"ullt man mit
44 \begin{equation} \label{eq:kon_v}
45 a = 7^5 = 16807, \quad m = 2^{31} - 1 = 2147483647, \quad c = 0
47 einen minimalen Standard was die Qualit"at der Zufallszahlen angeht.
48 Diese Wahl der Konstanten wird in allen g"angigen Zufallszahlengeneratoren der Standardbibliotheken verwendet.
50 \subsection{Transformation auf spezielle Zufallsverteilungen}
52 Die mit \eqref{eq:kon_m} und \eqref{eq:kon_v} erzeugten Pseudozufallszahlen $I_j$ sind gleichverteilt im Intervall $[0,m-1]$.
53 Durch Division der Zufallszahlen mit dem Modulus $m$ erh"alt man gleichverteilte Zufallszahlen $x_j$ im Intervall $[0,1[$, so dass die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $x$ und $x + dx$ zu erhalten durch
61 gegeben ist. Au"serdem ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung normiert.
63 \int_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = \int_{0}^{1}p(x)dx = 1
65 Diese dienen als Basis f"ur beliebige Verteilungen.
66 Einige in dieser Arbeit ben"otigten Transformationen sollen im Folgenden diskutiert werden.
68 \subsubsection{Zufallszahlen mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit}
70 Gleichverteilte Zufallszahlen $z_j$ in einem Intervall $[0,M[$ erh"alt man denkbar einfach durch skalieren der $x_j$ mit $M$.
72 z_j = M x_j = M \frac{I_j}{m}
73 \label{eq:gleichverteilte_r}
76 \subsubsection{Zufallszahlen mit linear steigender Wahrscheinlichkeit}
77 \label{subsubsection:lin_g_p}
79 Zufallszahlen deren Wahrscheinlichkeit mit ihrem Wert im Intervall $[0,Z[$ linear ansteigen
83 az + b & 0 \leq z < Z \\
87 realisiert man durch folgende Transformation:
89 p(z)dz & = & p(x)dx \nonumber \\
90 \frac{dx}{dz} & = & p(z) \nonumber \\
91 x & = & \int_{- \infty}^z p(z')dz' = \int_0^z (az' + b) dz' = \frac{1}{2} az^2 + bz \label{eq:trafo}
93 Durch Aufl"osen von \eqref{eq:trafo} nach $z$ und Ausschluss der negativen L"osung erh"alt man:
95 z = \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a x}}{a} \quad \textrm{.}
97 So erh"alt man Zufallszahlen $z_j$ im Intervall $[0,1[$ durch $x_j \in [0,b+\frac{a}{2}[$.
98 Sollen die Zufallszahlen im Intervall $[0,Z[$ liegen, m"ussen sie durch
100 z_j = Z \frac{-b + \sqrt{b^2 + 2 a (b+\frac{a}{2}) \frac{I_j}{m}}}{a}
104 \subsubsection{Verwerfungsmethode zur Erzeugung beliebiger Verteilungen}
105 \label{subsubsection:verwerf_meth}
107 Mit Hilfe der Verwerfungsmethode k"onnen Zufallszahlen mit beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ generiert werden.
108 Sie basiert auf einer einfachen geometrischen "Uberlegung (Abbildung \ref{img:rej_meth}).
109 Die Verteilung $p(x)$ sei im Intervall $[a,b]$ mit $p(x) \geq 0 \,\, \forall x \in [a,b]$ gegeben.
110 Das Maximum von $p(x)$ sei $p_m$.
111 Die Erzeugung der Zufallszahlen funktioniert nun wie folgt:
113 \item Ausw"urfeln zweier gleichverteilter Zufallszahlen $x \in [a,b]$ und $y \in [0,p_m]$.
114 \item Ist $y \leq p(x)$, so ist $x$ die n"achste Zufallszahl, ansonsten zur"uck zu 1.
116 \printimg{}{width=10cm}{rej_meth.eps}{Beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $p(x)$ im Intervall $[a,b]$ mit Maximum $p_m$.}{img:rej_meth}
117 Diese Methode ist zwar sehr einfach, jedoch wird sie um so ineffizienter, je gr"o"ser die Fl"ache der Vergleichsfunktion (hier: $f(x) = p_m$) im Vergleich zu $p(x)$ zwischen $a$ und $b$ wird.
118 Deshalb macht es Sinn, die Funktion $f(x)$ "ahnlich der Funktion $p(x)$ mit $f(x) \geq p(x); \, x \in [a,b]$ zu w"ahlen.
119 Das unbestimmte Integral $F(x) = \int f(x) dx$ muss dabei bekannt und invertierbar sein.
120 Dann kann wie in \eqref{eq:trafo} die Transformation durchgef"uhrt werden.
121 Die Werte f"ur $x$ werden nun nach der Transformationsmethode im Intervall $[a,b]$ gew"ahlt, die Werte f"ur $y$ m"ussen gleichverteilt im Intervall $[0,f(x)]$ sein.
123 \section{Ion-Festk"orper-Wechselwirkung}
125 Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation muss die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden.
126 Durch St"o"se mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgelenkt und abgebremst.
127 Es stellt sich ein entsprechendes Implantationsprofil ein.
128 Weitere Folgen sind die durch Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden.
129 Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
131 \subsection{Abbremsung von Ionen}
133 Die in den Festk"orper implantierten Ionen sto"sen mit den Atomkernen und Elektronen des Targets.
134 Dieser Streuprozess ist mit einem Energieverlust und einer Richtungs"anderung des Ions verbunden.
135 Das Ion f"uhrt weitere St"o"se aus bis dessen Energie zu klein f"ur weitere Sto"sprozesse ist.
137 \subsubsection{Bremsquerschnitt}
139 Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt:
141 S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n} \quad \textrm{.}
143 Dieser ist proportional zur Bremskraft $\frac{\partial E}{\partial x}$, welche angibt wieviel Energie $E$ des Ions pro zur"uckgelegter Wegl"ange $x$ abgegeben wird.
144 $N$ ist die atomare Dichte des Festk"orpers.
145 Zerlegt man nun die Energieverlustrate in einen nuklearen und einen elektronischen Anteil so erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Wegl"ange:
147 - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big) \quad \textrm{.}
149 Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie erh"alt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions.
150 Ist dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
152 R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{d E}{S_e(E) + S_n(E)} \quad \textrm{.}
155 Um die Reichweite des Ions berechnen zu k"onnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
157 \subsubsection{Nukleare Bremskraft}
159 Zur Beschreibung der nuklearen Bremskraft muss der Energie"ubertrag zwischen einem bewegten und einem station"aren geladenen Teilchen betrachtet werden.
160 Dieser h"angt ab von Geschwindigkeit und Richtung des bewegten Teilchens, sowie von Masse und Ladung beider Teilchen und damit einem interatomaren Potential.
161 Die letztendlichen Geschwindigkeiten und Trajektorien k"onnen mit Hilfe der Energie- und Impulserhaltung f"ur einfache Potentiale analytisch gel"ost werden.
162 Es werden nur elastische St"o"se betrachtet, inelastische St"o"se mit den Atomkernen k"onnen vernachl"assigt werden.
163 Da die nukleare Bremskraft sehr wichtig f"ur die weitere Arbeit ist, wird auf ihre Herleitung etwas genauer eingegangen.
165 Zun"achst soll die klassische elastische Streuung zweier K"orper behandelt werden.
166 Dabei ist das ruhende Teilchen der Atomkern, das einfallende Teilchen das implantierte Ion (Abbildung \ref{img:scatter_lc}).
167 Aus der Energieerhaltung folgt:
169 \frac{1}{2} M_1 v_0^2 = \frac{1}{2} M_1 v_1^2 + \frac{1}{2} M_2 v_2^2
171 Dabei ist $v_0$ die anf"angliche Geschwindigkeit des Ions der Masse $M_1$, $v_1$ die Geschwindigkeit des Ions nach dem Sto"s und $v_2$ die Geschwindigkeit des gesto"senen Atomkerns mit Masse $M_2$.
172 Aus der Impulserhaltung folgt,
174 \textrm{Longitudinal: } & M_1 v_0 = M_1 v_1 cos(\theta) + M_2 v_2 cos(\phi) \\
175 \textrm{Lateral: } & 0 = M_1 v_1 sin(\theta) + M_2 v_2 sin(\phi)
177 wobei $\theta$ der Winkel der Ablenkung des Ions und $\phi$ der Winkel der Ablenkung des Atomkerns ist.
178 \printimg{}{width=10cm}{scatter_lc.eps}{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Laborsystem.}{img:scatter_lc}
180 Durch Transformation ins Schwerpunktsystem kann die Relativbewegung des Ions und des Atomkerns auf ein Einzelnes im Zentralfeld bewegtes Teilchen reduziert werden.
181 \printimg{}{width=10cm}{scatter_cm2.eps}{Elastischer Sto"s zweier K"orper im Schwerpunktsystem.}{img:scatter_cm}
182 Im Schwerpunktsystem gilt (Abbildung \ref{img:scatter_cm}):
184 \vec v_c = \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,}
185 \label{eq:imp_cons_cm}
187 wobei $\vec v_c$ die Schwerpunktgeschwindigkeit ist.
188 Mit der Definition der reduzierten Masse $M_c$
190 \frac{1}{M_c} = \frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2} \quad \textrm{,}
194 M_c = \frac{M_1 M_2}{M_1 + M_2} \quad \textrm{,}
197 erh"alt man f"ur die Schwerpunktbewegung aus \eqref{eq:imp_cons_cm} den Ausdruck
199 \vec v_c = \frac{M_c}{M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
202 Daraus l"asst sich ableiten, dass die Teilchengeschwindigkeiten umgekehrt proportional zu ihren Massen sind.
204 \frac{v_0 - v_c}{v_c} = \frac{M_2}{M_1} \quad \textrm{.}
208 F"ur die Geschwindigkeiten des Ions und des Atomkerns im Schwerpunktsystem vor dem Sto"s gilt weiterhin:
210 \vec v_{Ion} = & \vec v_0 - \vec v_c = \frac{M_2}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{,} \\
212 \vec v_{Atom} = & 0 - \vec v_c = - \frac{M_1}{M_1 + M_2} \vec v_0 \quad \textrm{.}
213 \label{eq:v_atom_vor}
215 Der Gesamtimpuls $M_1 \vec v_{Ion} + M_2 \vec v_{Atom}$ verschwindet.
216 Die Impulse der Teilchen sind vor und nach dem Sto"s entgegengesetzt gleich gro"s.
217 Zusammen mit der Energieerhaltung folgt daraus, dass die Betr"age der Geschwindigkeiten durch den Sto"s nicht ver"andert werden.
218 Die kinetische Energie beider Teilchen bleibt im Schwerpunktsystem einzeln erhalten.
220 Abbildung \ref{img:angle_conv} zeigt die daraus abgeleitet Beziehung zwischen der Geschwindigkeit des Atoms nach dem Sto"s im Labor- und im Schwerpunktsystem.
221 Die Transformation ist durch
223 \vec v_2 = \vec v_{Atom} + \vec v_c
226 Der Zusammenhang zwischen Ablenkwinkel im Labor- und Schwerpunktsystem, sowie der Ausdruck f"ur $v_2$, sind leicht zu erkennen.
229 \label{eq:angle_conv}
230 v_2 = & 2 v_c cos(\phi)
233 \printimg{}{width=10cm}{angle_conv.eps}{Zusammenhang der Geschwindigkeit des Targetatoms nach dem Sto"s im Schwerpunktsystem (blau) und im Laborsystem (rot).}{img:angle_conv}
234 F"ur die auf das Targetatom "ubertragene Energie gilt:
236 T = \frac{1}{2} M_2 v_2^2 \quad \textrm{.}
238 Aus \eqref{eq:v_2_abs} und \eqref{eq:v_sp} erh"alt man:
240 T = \frac{1}{2} M_2 \Big( \frac{2 v_0 M_c cos(\phi)}{M_2} \Big)^2 = \frac{2}{M_2} \Big( v_0 M_c cos(\phi) \Big)^2 \quad \textrm{.}
243 Die anf"angliche Energie des Systems $E$ ist festgelegt durch $E = \frac{1}{2} M_1 v_0^2$.
244 Aus Abbildung \ref{img:scatter_cm} erkennt man, dass $\Phi = \pi - \Theta$ ist. Durch Einsetzen von \eqref{eq:m_red} f"ur die reduzierte Masse in \eqref{eq:delta_e} bekommt man folgenden Ausdruck f"ur den Energie"ubertrag:
246 T = \frac{2}{M_2} v_0^2 \frac{M_1^2 M_2^2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} sin^2 \Big( \frac{\Theta}{2} \Big) \quad \textrm{.}
247 \label{eq:final_delta_e}
249 Die maximal "ubertragene Energie erh"alt man f"ur den zentralen Sto"s mit $\Theta = \pi$, also f"ur $\Phi = 2\phi = 0$:
251 T_{max} = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} \quad \textrm{.}
252 \label{eq:delta_e_max}
255 Bis jetzt ist der Energieverlust des Ions in einem elastischen Streuvorgang abh"angig vom Winkel bekannt.
256 Mit der Wahrscheinlichkeit f"ur den Streuvorgang zu jedem Winkel kann der durchschnittliche Energie"ubertrag, die Bremskraft, berechnet werden.
258 Unter der Annahme, dass Kr"afte nur entlang der Verbindungslinie zwischen Ion und Targetatom wirken, kann das Zweik"orperproblem auf die Wechselwirkung eines Teilchens mit der reduzierten Masse $M_c$ und der Geschwindigkeit $v_c$ in einem statischen Zentralfeld um den Ursprung des Schwerpunktsystems reduziert werden.
259 Die Bewegung im Zentralfeld kann mit Hilfe der Lagrange-Gleichung gel"ost werden.
261 \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \quad \textrm{mit} \quad L = \frac{M_c}{2}(\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta}) - V(r) \quad \textrm{.}
263 Wegen $\frac{\partial L}{\partial \Theta} = 0$ ist $\Theta$ zyklisch. Daraus folgt die Drehimpulserhaltung.
265 \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \stackrel{.}{\Theta}} = \frac{d}{dt}(M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta}) = 0 \quad \Rightarrow \quad l := M_c r^2 \stackrel{.}{\Theta} = const.
266 \label{eq:ang_mom_exp}
268 F"ur den Drehimpuls (im Unendlichen) gilt:
270 l = M_c v_c p \quad \textrm{.}
271 \label{eq:ang_mom_val}
273 L"ost man die Gleichung f"ur die Energie $E$ des Systems
275 E = \frac{M_c}{2} (\stackrel{.}{r^2} + r^2 \stackrel{.}{\Theta^2}) + V(r)
277 nach $\stackrel{.}{r}$ auf,
279 \stackrel{.}{r} = \frac{dr}{dt} = \sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }
281 und diese Gleichung wiederum nach $dt$,
283 dt = \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
285 kann man aus \eqref{eq:ang_mom_exp} durch Integration vom Unendlichen bis zum minimalen Abstand des Teilchens $r_0$ vom Streuzentrum den Winkel $\Theta$ darstellen, abh"angig vom Potential, dem Sto"sparameter und der Energie des Teilchens.
287 \frac{\Theta}{2} = \frac{l}{M_c r^2} \int_{r_0}^{\infty} \frac{dr}{\sqrt{ \frac{2}{M_c} (E - V(r)) - \frac{l^2}{M_c^2 r^2} }}
289 Durch Einsetzen von \eqref{eq:ang_mom_val} und vereinfachen erh"alt man:
291 \Theta = 2 \int_{r_0}^{\infty} \frac{p dr}{\sqrt{1 - \frac{V(r)}{E} - \frac{p^2}{r^2}}} \quad \frac{1}{r^2} \quad \textrm{.}
292 \label{eq:theta_of_p}
294 Mit Hilfe dieser Gleichung kann der Streuwinkel "uber die Schwerpunktenergie $E$, dem Potential $V(r)$ und dem Sto"sparameter $p$ bestimmt werden.
296 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Streuung in Richtung $\Theta$ erh"alt man durch die "Uberlegung, wieviel Teilchen $dN$ eines homogenen Einheitsstrahls $n$ durch die Kreisringfl"ache $2 \pi p dp$ gehen und wegen Erhaltung der Teilchenzahl zwischen $\Theta$ und $\Theta + d \Theta$ gestreut werden.
298 dN = & 2 \pi p dp \, n \\
299 d \sigma = & \frac{dN}{n} = 2 \pi p dp
301 Die Wahrscheinlichkeit $d \sigma$ bezeichnet man als differentiellen Wirkungsquerschnitt.
302 $\Theta$ ist eine Funktion von $p$ \eqref{eq:theta_of_p}, die invertierbar ist.
303 Die Funktion $p(\Theta)$ wiederum ist differenzierbar, so dass man zusammen mit der Raumwinkeldefinition $d \Omega = 2 \pi sin(\Theta) d \Theta$ folgenden Ausdruck f"ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt erh"alt.
305 d \sigma (\Theta) = 2 \pi p \frac{dp}{d \Theta} d\Theta = \frac{p(\Theta)}{sin \Theta} \left| \frac{dp}{d \Theta} \right| d \Omega
308 Der durschnittliche Energie"ubertrag kann nun durch Integration aller m"oglicher Energie"ubertr"age $T(\Theta)$, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit f"ur eine Streuung unter dem Winkel $\Theta$, berechnet werden.
310 S_n(E) = \int_0^{T_{max}} T d \sigma
313 Zuletzt muss noch ein geeignetes interatomares Potential $V(r)$ zur Beschreibung der Wechselwirkung der Ionen mit dem Festk"orper gefunden werden.
314 F"ur das interatomare Potential $V(r)$ wird oft ein abgeschirmtes Coulomb-Potential verwendet \cite{ziegler_biersack_littmark}.
316 V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
318 Dabei ist $\Phi$ eine geeignete Abschirmfunktion und $a$ der sogenannte Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
319 Die Abschirmfunktion beachtet die Abschirmung des Coulombpotentials der Kerne des Ions und des Targetatoms durch die Elektronen.
320 Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment erh"alt man durch Verwendung des sogenannten \dq universal potential\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark}, dass von Ziegler et al. mit verbesserten Methoden, unter anderem dem Anpassen von Daten zahlreicher Ion-Target-Kombinationen an die Abschirmfunktion, eingef"uhrt wurde.
321 Diese ist in guter N"aherung f"ur alle Ion-Target-Kombinationen g"ultig.
322 Desweiteren schl"agt Biersack in \cite{ziegler_biersack_littmark} eine analytische N"aherungsformel zur einfachen Berechnung des Ablenkwinkels $\Theta$ aus dem Sto"sparameter $p$ vor.
324 \subsubsection{Elektronische Bremskraft}
326 Der elektronische Energieverlust der Ionen an den Elektronen des Targets kommt haupts"achlich durch inelastische Streuung zustande.
327 Dies f"uhrt zur Anregung beziehungsweise Ionisation der Targetatome.
328 Die elektronische Bremskraft ist abh"angig von der Energie der Ionen.
329 Verschiedene Theorien beschreiben die Abbremsung unterschiedlich schneller Ionen.
330 Da in dieser Arbeit nur niedrige Projektilenergien (kleiner $0,1 \, MeV/amu$) behandelt werden, sollen Theorien f"ur den Hochenergiebereich hier nicht diskutiert werden.
331 F"ur hohe, nichtrelativistische Energien (kleiner $10 \, MeV/amu$) m"usste die Bethe-Bloch-Gleichung \cite{bethe_bloch} zur Beschreibung des elektronischen Energieverlustes herangezogen werden.
332 Zus"atzliche relativistische Effekte f"uhren zu einem Anstieg der Bremskraft bei noch h"oheren Energien.
334 F"ur niedrige Teilchengeschwindigkeiten kann die elektronische Abbremsung mit Hilfe der LSS-Theorie \cite{lss} beschrieben werden.
335 Die Bremskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also proportional zur Wurzel aus der Energie des Ions.
337 S_e(E) = k_L \sqrt{E}
340 Die Proportionalit"atskonstante $k_L$ ist ein geschwindigkeitsunabh"angiger Ausdruck und beinhaltet die Abh"angigkeit der Bremskraft von der Kernladungszahl des Ions und des Targetatoms.
341 Schaleneffekte und damit verbundene Oszillationen in der Abh"angigkeit der Kernladungszahl k"onnen durch einen weiteren Faktor $k_F$, den LSS-Korrekturfaktor, der durch experimentelle Ergebnisse angepasst wurde, ber"ucksichtigt werden.
343 \subsection{Implantationsprofil}
345 Mit den im letzten Abschnitt bestimmten Bremsquerschnitten $S_n$ und $S_e$ kann nun mittels \eqref{eq:range} die mittlere Reichweite $R$ der Ionen angegeben werden.
346 Diese ist allerdings ungleich der mittleren Tiefe, in der das Ion zur Ruhe kommt, da das implantierte Ion seine Richtung nach jedem Sto"s ver"andern wird.
347 Die so erhaltene projezierte Reichweite $R_p$ und deren Standardabweichung $\Delta R_p$ k"onnen durch L"osung von Integro-Differentialgleichungen \cite{lss_2} berechnet werden.
349 Weiterhin wird in \cite{lss_2} vorgeschlagen, das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung anzun"ahern.
351 N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi \Delta R_p}} \exp \Big[ - \frac{(x - R_p)}{2 \Delta R_p^2} \Big] \textrm{,} \qquad D: \textrm{ Dosis}
354 \subsection{Die Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM}}
356 Mit Hilfe der Monte-Carlo-Simulation {\em TRIM} \cite{ziegler_biersack_littmark,biersack_haggmark} (kurz f"ur {\bf TR}ansport of {\bf I}ons in {\bf M}atter) k"onnen die tiefenabh"angigen Bremskr"afte und die Reichweitenverteilung simuliert werden.
357 Da in dieser Arbeit von {\em TRIM} simulierte nukleare Bremskraftprofile, Reichweitenverteilungen und Informationen aus den protokollierten Kollisionen verwendet werden, soll hier grob auf den Ablauf des Programms eingegangen werden.
359 Das Programm folgt den Bahnen einer gro"sen Anzahl von Teilchen, die in das Target implantiert werden.
360 Jedes Ion startet mit einer gegebenen Energie, Position und Richtung.
361 Die Teilchen vollziehen Richtungs"anderungen aufgrund von Kernst"o"sen mit den Atomen des Targets.
362 Zwischen zwei Kollisionen bewegt sich das Ion geradlinig innerhalb einer freien Wegl"ange.
363 Durch die nukleare und elektronische Bremskraft verliert das Teilchen Energie.
364 Die Verfolgung der Teilchenbahn terminiert, wenn die Energie unter einen bestimmten Wert abgefallen oder das Teilchen das Target verlassen hat.
365 Das Target wird als amorph angenommen, weshalb kristalline Richtungseigenschaften, wie zum Beispiel das sogenannte Channeling, ignoriert werden.
366 Der nukleare und elektronische Energieverlust werden unabh"angig voneinander behandelt.
367 Das Teilchen verliert neben dem kontinuierlichen Energieverlust durch die elektronische Bremskraft einen diskreten Betrag der Energie durch Kernst"o"se.
369 Das einfallende Teilchen startet mit der Anfangsenergie $E = E_0$ an der Oberfl"ache des Targets.
370 Drei Zufallszahlen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden auf die physikalischen Gr"o"sen freie Wegl"ange $l$, Sto"sparamter $p$ und den Azimutwinkel $\Phi$ abgebildet.
372 Es gibt Ans"atze die freie Wegl"ange zuf"allig zu bestimmen.
373 F"ur niedrige Ionenenergien (kleiner $0,1 \, MeV/amu$) reicht es jedoch den amorphen Festk"orper durch eine feste freie Wegl"ange $l$ zu modellieren.
374 Diese ist gegeben durch den mittleren Abstand der Targetatome.
376 l = N^{- \frac{1}{3}}
378 F"ur gr"o"sere Energien muss der M"oglichkeit gr"o"serer freier Wegl"angen Rechnung getragen werden, so dass eine entsprechende Abbildung von $R_1$ auf $l$ n"otig ist \cite{ziegler_biersack_littmark}.
380 Danach wird der Sto"sparameter durch
385 Dabei gilt f"ur das Maximum $p_{max}$ des Sto"sparameters: $\pi p^2_{max} l = N^{-1}$.
387 Der Azimutwinkel $\Phi$ ist statistisch isotrop verteilt.
392 Mit Hilfe der von Biersack entwickelten \dq magic formula\dq{} \cite{ziegler_biersack_littmark} kann aus dem Sto"ssparamter $p$ analytisch der Streuwinkel $\Theta$ errechnet werden.
393 Mit Hilfe des Ablenkwinkels wird dann durch \eqref{eq:final_delta_e} der Energie"ubertrag $\Delta E$ bestimmt.
394 Der elektronische Energieverlust ergibt sich aus dem Produkt der freien Wegl"ange $l$ mit dem Ausdruck f"ur die elektronische Bremskraft $S_e(E)$ aus \eqref{eq:el_sp} und der atomaren Dichte $N$.
395 Durch die freie Wegl"ange und den Ablenk- und Azimutwinkel ist der Ort des n"achsten Sto"sprozesses festgelegt.
396 Die Koordinaten und der Energie"ubertrag jedes Sto"ses werden protokolliert, womit die nukleare und elektronische Bremskraft bestimmt ist.
397 Die Koordinaten der Ionen, die unter einen bestimmten Energiebetrag abgefallen sind, werden ebenfalls durch das Programm festgehalten.
398 Damit ist das Implantationsprofil gegeben.
400 \subsection{Strahlensch"aden und Amorphisierung}
402 Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen.
403 Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen, verlagert.
404 Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden.
405 So entstehen Leerstellen und Zwischengitteratome, sogenannte Frenkeldefekte, und komplexere Gitterdefekte, sogenannte Cluster.
406 Mit steigender Dosis beginnen gest"orte Gebiete zu "uberlappen was zu einer Ausbildung einer amorphen Schicht f"uhren kann.
407 Die Anzahl und Verteilung der Strahlensch"aden h"angt dabei von Temperatur, Energie und Masse der implantierten Ionen sowie der Masse der Targetatome ab.
408 Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease \cite{kinchin_pease} zu
410 N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
414 Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren.
415 Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht.
416 Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen.
417 Dieser kann an amorph-kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen \cite{jackson} oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren \cite{spinella}.
418 Man spricht von ionenstrahlinduzierter Defektausheilung beziehungsweise Rekristallisation (IBIC, kurz f"ur: Ion Beam Induced Crystallization).
420 Im Folgenden sollen einige Strahlensch"adigungsmodelle zur Absch"atzung der Amorphisierung abh"angig von der implantierten Dosis vorgestellt werden.
422 \subsubsection{Modell der kritischen Energiedichte}
424 Bei niedrigen Implantationstemperaturen, typischerweise kleiner $85 \, K$, kommt es beim Erreichen einer kritischen Energiedichte $e_c$ f"ur die in einem nuklearen Sto"s deponierte Energie in Silizium zur Amorphisierung \cite{vook}.
425 In diesem Fall ergibt sich die Amorphisierungsdosis $D_0$ aus der nuklearen Bremskraft $S_n$ zu:
428 D_0 = \frac{e_c}{S_n} \quad \textrm{.}
431 \subsubsection{Amorphisierungsmodell nach Morehead und Crowder}
433 Bei hohen Temperaturen finden Ausheilvorg"ange statt, was eine Erh"ohung der Amorphisierungsdosis zur Folge hat.
434 Das Amorphisierungsmodell nach Morehead und Crowder \cite{morehead_crowder} geht von einer erh"ohten Konzentration an Leerstellen im Zentrum und einer erh"ohten Konzentration an Zwischengitteratomen im Randbereich einer Sto"skaskade aus.
435 W"ahrend der Abklingzeit der Sto"skaskade ($\sim 10^{-9} \, s$) k"onnen Leerstellen durch thermische Diffusion aus dem Zentrum der Sto"skaskade herauswandern und mit Zwischengitteratomen rekombinieren.
436 Dies hat eine Verkleinerung des zentralen, amorph werdenden Volumens zur Folge.
437 Der Vorgang ist abh"angig von der Implantationstemperatur, welche die Diffusionsl"ange der Leerstellen bestimmt und der nuklearen Bremskraft, die das direkte Sch"adigungsvolumen festlegt.
438 Die Amorphisierungsdosis lautet somit
441 D(T) = D_0 \Big[ 1 - C \, exp\Big( - \frac{E_{diff}}{2 k_B T} \Big) \Big] \quad \textrm{,}
443 wobei $D_0 = \frac{E_d n}{S_n}$ die Amorphisierungsdosis f"ur $T \rightarrow 0 \, K$, $C = const. \, S_n^{-\frac{1}{2}}$, $E_{diff}$ die Aktivierungsenergie f"ur Leerstellendiffusion, $E_d$ die Atomverlagerungsenergie und $n$ die atomare Dichte ist.
445 \subsubsection{Das "Uberlappungsmodell}
447 Nach dem "Uberlappungsmodell nach Gibbons \cite{gibbons} hinterl"asst jedes Ion ein zylinderf"ormiges, defektreiches Volumen mit der Grundfl"ache $A_i$.
448 Amorphisierung tritt ein, wenn $m$ Ionen den selben Bereich gesch"adigt haben, also nach $m-1$-facher "Uberlappung.
449 Der "Uberlappungsparameter $m$ ist im wesentlichen abh"angig von der Ionenmasse.
450 Das Verh"altnis des amorphen Fl"achenanteils $A_a$ zur gesamt bestrahlten Fl"ache $A_0$ nach einer Dosis $D$ ergibt sich zu:
452 \frac{A_a}{A_0} = 1 - \Big[ \sum^{m-1}_{k=0} \frac{A_i D}{k!} \, exp(A_i D) \Big] \quad \textrm{.}
455 Dennis und Hale \cite{dennis_hale} erreichten nach diesem Modell f"ur Argon- und Kryptonionen in Silizium die beste "Ubereinstimmung mit experimentell bestimmten Sch"adigungsdaten f"ur $m=2$ und $m=3$.
456 Dies deutet darauf hin, dass selbst bei schweren Ionen ausschlie"slich direkte Amorphisierung ($m=1$) unwahrscheinlich ist.
457 Bei niedrigen Dosen zeigt sich aufgrund der direkten Amorphisierung ein linearer Zusammenhang zwischen dem amorphen Fl"achenanteil und der Dosis.
458 Der lineare Verlauf geht mit steigender Dosis mit der Bildung amorpher Gebiete durch "Uberlappung in einen maximal quadratischen Anstieg "uber.
459 Der Verlauf s"attigt schlie"slich aufgrund der Abnahme ungesch"adigter und kristallin gesch"adigter Fl"achenanteile.
461 \subsubsection{Strahlensch"adigungsmodell nach Hecking}
463 Da das "Uberlappungsmodell keine temperaturabh"angigen Ausheilmechanismen ber"ucksichtigt und somit lediglich f"ur tiefe Temperaturen geeignet ist, wurde von Hecking \cite{hecking1,hecking2} ein neues Defekterzeugungs- und Defektwechselwirkungsmodell entwickelt.
464 Ein eingeschossenes Ion "ubertr"agt seine Energie in Einzelst"o"sen auf die Targetatome, die ihrerseits weitere Targetatome ansto"sen und so eine Sto"skaskade bilden.
465 Ist die Energie aller verlagerten Atome unter die Energie abgesunken, welche zur weiteren Verlagerung von Atomen n"otig ist, hat sich die kinetische Energie des einfallenden Ions in Schwingungsenergie, der im Kaskadenvolumen enthaltenen Atome, umgewandelt.
466 Dieses r"aumlich begrenzten Gebiet sehr hoher Energiedichte, in dem die kollektiv angeregten Atome einen quasi fl"ussigen Zustand bilden, nennt man einen Energiespike.
467 Die thermische Relaxation dieses Spikes kann als W"armediffusionsprozess beschrieben werden.
468 Erreicht die Kristallisationsfront den Kaskadenkern bevor die Kristallisationstemperatur unterschritten wird, kann der Spike vollst"andig rekristallisieren.
469 Dies ist bei hohen Targettemperaturen der Fall, wenn den Leerstellen und Zwischengitteratomen, aufgrund der langsamen Abk"uhlung, genug Zeit zur Rekombination bleibt.
470 Bei kleinen Temperaturen und einer darausfolgenden schnellen W"armediffusion kann wegen unvollst"andiger Rekristallisation ein amorpher Kaskadenkern zur"uckbleiben.
471 Die Wahrscheinlichkeit f"ur die Bildung amorpher Volumina steigt mit fallender Temperatur.
472 Neben der Implantationstemperatur h"angt der Defektzustand entscheidend von der Kaskadengeometrie und dem Sch"adigungszustand der Kaskadenumgebung ab.
473 Ein hoher Sch"adigungsgrad einer Kaskadenumgebung erschwert die epitaktische Rekristallisation.
projects / lectures / latex.git / blob