nlsop/nlsop_fp_b.tex

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   9
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  12
  13 \usepackage{./graphs}
  14
  15 \author{Frank Zirkelbach}
  16
  17 \title{Nanolamellare Selbstordnungsprozesse bei Kohlenstoffimplantation in $(100)$-orientiertes Silizium bei Temperaturen kleiner $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$}
  18
  19 \begin{document}
  20 \frontmatter
  21 \maketitle
  22 \tableofcontents
  23 \listoffigures
  24
  25 \mainmatter
  26
  27 \chapter{Einleitung}
  28 In der folgenden Arbeit soll die Entstehung und Selbstorganisation amorpher lamellarer Einschl"usse bei Hochdosis Kohlenstoffimplantation in $(100)$-orientiertes Silizium untersucht werden. Solche Einschl"usse findet man bei Targettemperaturen kleiner $400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ und einer Dosis von $8,5 \times 10^{17} \frac{C}{cm^2}$ oberhalb des Implantationspeaks \cite{dipl_mh}. "Ahnliche Strukturen beobachtet man auch bei Hochdosis-Sauerstoff-Implantation in Silizium.
  29
  30 Der Hauptteil der Arbeit befasst sich mit der Beschreibung des, f"ur diese Selbstorganisationsprozesse zugrundeliegenden Modells und einer daraus erarbeiteten Simulation. Die Arbeit ist wie folgt geliedert.
  31
  32 Im ertsen Teil dieser Arbeit werden die n"otigen Grundlagen der Ionenimplantation wiederholt, um sp"ater angestellte Annahmen besser zu verstehen. Danach wird das Modell konkret formuliert und die Implementierung diskutiert. Im dritten Teil werden die Ergebnisse der Simulation besprochen. Dabei werden die erzeugten Bilder mit TEM Aufnahmen verglichen. Der letzte Teil gibt einen Ausblick auf folgende Versionen des Programms. Hier sollen M"angel und m"ogliche Verbesserungen diskutiert werden.
  33
  34 Die Simulation ist in der Programmiersprache C geschrieben. Dabei wurden Funktionen die unter den POSIX Standard fallen verwendet. Desweiteren wurde zur Visualisierung die DirectFB API \cite{directfb} verwendet. Eine Portierung auf Microsoft Windows ist deshalb nicht geplant.
  35
  36 \chapter{Grundlagen der Ionenimplantation}
  37 Zur theoretischen Beschreibung der Ionenimplantation muss die Wechselwirkung der Ionen mit dem Target betrachtet werden. Durch St"osse mit den Kernen und Elektronen des Targets werden die Ionen im Festk"orper abgebremst, ein entsprechendes Implantationsprofil stellt sich ein. Eine weitere Folge sind durch die Bestrahlung im Kristallgitter entstehenden Sch"aden. Im Folgenden wird darauf genauer eingegangen.
  38 \section{Abbremsung von Ionen}
  39 Die Abbremsung der Ionen im Festk"orper kommt haupts"achlich durch inelastische Wechselwirkung mit den Targetelektronen und elastische Wechselwirkung mit den Atomkernen des Targets zustande. Man geht davon aus, da"s diese unabh"angig voneinander sind. Andere Wechselwirkungen k"onnen vernachl"assigt werden.
  40 \subsection{Bremsquerschnitt}
  41 Um die Abbremsung der Ionen durch elektronische und nukleare Streuung zu beschreiben, definiert man den sogenannten Bremsquerschnitt:
  42 \[
  43  S_{e,n} = - \frac{1}{N} \Big( \frac{\partial E}{\partial x} \Big)_{e,n}
  44 \]
  45 mit:
  46 \[
  47 \begin{array}{ll}
  48  N & \equiv \textrm{atomare Dichte} \\
  49  E & \equiv \textrm{Energie des Ions} \\
  50  x & \equiv \textrm{zur"uckgelegter Weg}
  51 \end{array}
  52 \]
  53 Wegen der Unabh"angigkeit der Wechselwirkungsprozesse erh"alt man f"ur den Energieverlust pro Weg:
  54 \[
  55  - \frac{\partial E}{\partial x} = N \Big( S_e(E) + S_n(E) \Big)
  56 \]
  57 Durch Kehrwertbildung und Integration "uber die Energie bekommt man die mittlere Reichweite $R$ des Ions. Sei dessen Anfangsenergie $E_0$, so gilt:
  58 \[
  59  R = \frac{1}{N} \int_0^{E_0} \frac{\partial E}{S_e(E) + S_n(E)}
  60 \]
  61 Um die Reichweite des Ions zu berechnen, m"ussen noch der nukleare ($S_n$) und elektronische ($S_e$) Bremsquerschnitt bestimmt werden.
  62
  63 \subsection{nukleare Bremskraft}
  64 Wie bereits erw"ahnt, kann die Wechelswirkung mit den Atomkernen des Targets durch einen elastischen Streuproze"s beschrieben werden. F"ur den Energie"ubertrag beim Sto"s gilt,
  65 \[
  66  T_n(E) = E \frac{2 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2} (1 - \sin \theta)
  67 \]
  68 wobei $M_1$ und $E$ Masse und Energie des einfallenden Ions, $M_2$ die Masse des ruhenden Targetatoms und $T_n$ der Energie"ubertrag ist. $\theta$ entspricht dem Streuwinkel im Schwerpunktsystem.
  69
  70 Integriert man nun "uber alle m"oglichen Energie"ubertr"age gewichtet mit deren Wahrscheinlichkeit, so erh"alt man f"ur den Bremsquerschnitt:
  71 \[
  72  S_n(E) = \int_0^\infty T_n(E,p) 2 \pi p \partial p = \int_0^{T_{max}} T \sigma(E,T_n) \partial \sigma
  73 \]
  74 Hierbei ist $\partial \sigma = 2 \pi p \partial p$ der differentille Wirkungsquerschnitt und
  75 \[
  76  T_{max} = T_n(E,0) = E \frac{4 M_1 M_2}{(M_1 + M_2)^2}
  77 \]
  78 die maximale beim zentralen Sto"s "ubertragene Energie.
  79 Zur Bestimmung von $\theta$ ben"otigt man ein geeignetes Potential, welches die Wechselwirkung beschreibt. Die besten "Ubereinstimmungen mit dem Experiment liefern das abgeschirmte Coulombpotential und das sogenannte \dq Universal Potential\dq{} \cite{bzl}. Ersteres lautet:
  80 \[
  81  V(r) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \Phi(\frac{r}{a})
  82 \]
  83 $\Phi(\frac{r}{a})$ ist eine geeignete Abschirmfunktion, $a$ der Abschirmparameter in der Gr"o"senordnung des Bohrradius.
  84
  85 \subsection{elektronische Bremskraft}
  86 Durch inelastische St"o"se mit den Targetelektronen verliert das Ion an Energie. Diese Energie kann zur Anregung oder Ionisation sowohl des Targets als auch des eingeschossenen Ions f"uhren.
  87
  88 Prinzipiell ist eine Entwicklung f"ur die elektronische Bremskraft aus fundierten physikalischen "Uberlegungen m"oglich, da die Beschreibung jedoch viel komplizierter als die von elastischen St"o"sen sind, werden haupts"achlich empirische Ans"atze verwendet.
  89
  90 F"ur niedrige Teilchenenergien findet man in der LSS-Theorie sowie der Firsov-Theorie eine lineare Abh"angigkeit zwischen elektronischer Bremskraft und Geschwindigkeit des Ions.
  91 \[
  92  S_n(E) \sim v_{Ion} \sim \sqrt{E}
  93 \]
  94 F"ur hohe, nicht-relativistische Energien beschreibt die Bethe-Bloch-Gleichung den Energieverlust am besten.
  95 \[
  96  S_e(E) = N \frac{4 \pi Z_1^2 Z_2^2 e^2}{m_e v_0^2} \textrm{ln} \, \Big( \frac{2 m_e v_0^2}{I} \Big)
  97 \]
  98 $v_0$ entspricht der Geschwindigkeit des Ions, $m_e$ ist die Elektronenmasse und $I = I_0 Z^2$ die mittlere Ionisationsenergie ($I_0 \simeq 11eV$).
  99
 100 \section{Implantationsprofil}
 101 Nun kann mit $S_e$ und $S_n$ die mittlere Reichweite berechnet werden. Allerdings entspricht dies nicht der mittleren Tiefe in der das Ion im Target zur Ruhe kommt, da es im Allgemeinen Richtungs"anderungen erfahren wird. Lindhard, Scharff und Schiott n"aherten das Konzentrationsprofil durch eine Gau"sverteilung:
 102 \[
 103  N(x) = \frac{D}{\sqrt{2 \pi} \Delta R_p} e^{ \Big( - \frac{(x-R_p)^2}{2 \Delta R_p^2} \Big)}
 104 \]
 105 $D$ entspricht hier der Dosis, also die Zahl der implantierten Ionen pro Fl"ache, $\Delta R_p$ ist die Standardabweichung der projezierten Reichweite $R_p$.
 106
 107 Abbildung \ref{implp} zeigt ein tiefenabh"angiges Implantationsprofil zusammen mit elektronischen und nuklearen Energieverlust, ermittelt durch das Monte-Carlo-Simulationsprogramm TRIM.
 108 \begin{figure}[h]
 109 \includegraphics{implsim_.eps}
 110 \caption{Tiefenabh"angiges Implantationsprofil und Energieverluste ermittelt durch TRIM} \label{implp}
 111 \end{figure}
 112
 113 \section{Amorphisierung}
 114 Durch die Bestrahlung des Targets werden Sch"aden im Kristallgitter hervorgerufen. Dabei werden Targetatome durch St"o"se mit Ionen verlagert, oder durch St"o"se durch bereits angesto"sene Atome, sogenannten Recoils, wenn diese mindestens die Verlagerungsenergie $E_d$ besitzen. Im letzten Fall spricht man auch von Verlagerungskaskaden. Die in einem prim"aren Sto"s verlagerten Atome, durch ein Ion der Energie $E$, kann nach Kinchin Pease zu
 115 \[
 116  N_{p,d} = \frac{E}{E_d}
 117 \]
 118 abgesch"atzt werden.
 119
 120 Gleichzeitig heilen Defekte aus, indem verlagerte Gitteratome an ihren Gitterplatz zur"uckkehren. Bei der thermischen Defektausheilung wird dies durch die thermisch erh"ohte Mobilit"at der Defekte erm"oglicht. Andererseits kann der Ionenstrahl selbst zur Defektausheilung beitragen. Dieser kann an amorph/kristallinen Grenzfl"achen Rekristallisation beg"unstigen oder auch zur Bildung von Kristallisationskeimen in amorphen Gebieten f"uhren.
 121
 122 F"ur die weitere Arbeit von Bedeutung, ist der experimentelle Befund, da"s sich die Intensit"at der Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt.
 123
 124
 125 \chapter{Modell und Simulation}
 126
 127 \section{Gegenstand der Simulation}
 128 Wie bereits in der Einleitung erw"ahnt, soll in dieser Arbeit nur die Entstehung und Selbstorganisation lamellarer amorpher Ausscheidungen oberhalb des Implantationsmaximums behandelt werden. Diese beobachtet man bei Implantationen in $(100)$-orientiertes Silizium bei niedrigen Targettemperaturen, typischerweise $T<400 \, ^{\circ} \mathrm{C}$. "Ahnliches wurde auch bei der Hochdosis-Sauerstoff-Implantation in Silizium gefunden.
 129
 130 Implantationsprofile oder nukleare Bremskr"afte, so wie weitere verwendete Ergebnisse werden nicht simuliert. Im Gegenteil, diese Gr"o"sen werden schon existierenden Simulationsprogrammen wie TRIM entnommen.
 131
 132 Abbildung \ref{tem1} zeigt eine TEM-Aufnahme einer mit $4,3 \times 10^{17} \frac{C}{cm^2}$ implantiertenProbe bei einer Targettemperatur von $150 \, ^{\circ} \mathrm{C}$. Da die amorphe $SiC_x$-Schicht nicht weiter von Interesse ist, beschr"ankt sich das Simulationsfenster von Anfang der Probe bis zu Beginn der durchgehenden amorphen Schicht (hier ca. $310nm$). Ziel ist es, die in der rechten Vergr"o"serung gut zu erkennenden lamellaren und sph"arischen Einschl"u"se zu reproduzieren.
 133 \begin{figure}[h]
 134 \includegraphics[width=10cm]{k393abild1.eps}
 135 \caption{Hellfeld-TEM-Abbildung einer bei $150 \, ^{\circ} \mathrm{C}$ mit $4,3 \times 10^{17} cm^{-2}$ implantierten Probe.} \label{tem1}
 136 \end{figure}
 137
 138 \section{Das Modell}
 139 Im Folgenden wird ein Modell vorgestellt, welches die Bildung und Selbstorganisation der beobachteten lamellaren Strukturen zu erkl"aren versucht. Abbildung \ref{modedll} soll das Modell veranschaulichen.
 140 \begin{figure}[h]
 141 \includegraphics[width=12cm]{model1_.eps}
 142 \caption{Modell zur Entstehung und Selbstordnung lamellarer Strukturen} \label{modedll}
 143 \end{figure}
 144 Die sehr geringe L"oslichkeit von Kohlenstoff in Silizium bei Raumtemperatur, f"uhrt bei gen"ugend hoher Kohlenstoffkonzentration zu sph"arischen $SiC_x$-Ausscheidungen. Da die Gitterkonstante von kubischen Siliziumkarbid ($4,36$\AA) fast um $20\%$ kleiner als die von reinen kristallinen Silizium ($5,43$\AA) ist, hat die Nukleation von kristallinen $3C-SiC$ in $c-Si$ eine hohe Grenzfl"chenenergie zur Folge. Daher ist es energetisch g"unstiger wenn eins der beiden Substanzen in amorpher Form besteht. Da reines amorphes Silizium instabil unter den gegebenen Bedingungen ist und ionenstrahlinduziert epitaktisch rekristallisiert, wird die kohlenstoffreichere Phase in amorpher Form vorliegen.
 145 Weil $SiC$ im amorphen Zustand eine $20-30\%$ geringere Dichte als im kristallinen Zustand besitzt, ist dies auch f"ur amorphes $SiC_x$ anzunehmen. Dies f"uhrt zum Bestreben der amorphen Gebiete sich auszudehnen, weshalb Druckspannungen auf die Umgebung wirken. Da es sich um eine sehr d"unne Probe handelt, k"onnen die Druckspannungen in vertikaler Richtung relaxieren. In horizontaler Richtung erschweren die Druckspannungen den Wiedereinbau der durch Sto"skaskaden verlagerten Atome auf ihre regul"aren Gitterpl"atze. Somit werden bevorzugt Gebiete zwischen schon amorphen Einschl"ussen amorphisiert. Dies f"uhrt zur Stabilisierung der selbstorganisierten lamellaren Struktur.
 146 Eine weitere M"oglichkeit des Systems zur Energieminimierung ist Diffusion. Dabei wird durch Diffusion von Kohlenstoff in amorphe Gebiete eine Reduzierung der Kohlenstoff"ubers"attigung in kristallinen Gebieten erreicht.
 147
 148 \section{Die Simulation}
 149 Zur Realisierung des Selbstorganisationsprozesses auf dem Rechner wird das Monte-Carlo-Verfahren verwendet. Monte-Carlo-Simulationen bedienen sich der M"oglichkeit des Computers Pseudozufallszahlen zu generieren. Diese entscheiden dann "uber Amorphisierung/Rekristallisation sowie die Kohlenstoffverteilung und noch weitere Ereignisse. Um die oben genannten Modellvorstellungen m"oglichst einfach zu realisieren werden im folgenden noch einige N"aherungen und Einschr"ankungen diskutiert. Danach wird ein Ablaufschema des Programms pr"asentiert und erl"autert.
 150 \subsection{weitere Modellannahmen}
 151 F"ur die Simulation sind noch weitere Annahmen n"otig, die im folgenden erkl"art werden. Dabei mu"s beachtet werden, da"s die Simulation nur das Gebiet vor der amorphen $SiC_x$-Schicht betrachtet.
 152 \subsubsection{Strahlensch"adigung und nukleare Bremskraft}
 153 Wichtig f"ur diese Arbeit ist die Tatsache, da"s sich die Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt. In dem Bereich des Simulationsfensters kann diese als linear angenommen werden.
 154 \subsubsection{Druckspannung und Amorphisierung}
 155 Die Druckspannungen auf ein Gebiet erh"ohen die Wahrscheinlichkeit, da"s es nacheinem Sto"sprozess amorph wird. Die Druckspannungen sollten proportional zur Kohlenstoffkonzentration der amorphen Umgebung sein, und mit $\frac{1}{r^2}$ abnehmen (Druck = Kraft / Fl"ache), wobei $r$ der Abstand zum betreffenden Gebiet ist. Desweiteren nimmt die Wahrscheinlichkeit eines Gebietes, amorph zu werden, mit der eigenen Kohlenstoffkonzentration linear zu.
 156 \subsubsection{Implantationsprofil und Kohlenstoffverteilung}
 157 Analog zur nuklearen Bremskraft kann das Implantationsprofil linear gen"ahert werden. Die Kohlenstoffkonzentration sollte also proportional zur Tiefe zunehmen.
 158 \subsubsection{Diffusionsprozesse}
 159 In der Simulation werden zwei Diffusionsprozesse ber"ucksichtigt, die Diffusion von Kohlenstoff von kristalline in amorphe Gebiete, so wie Diffusionsprozesse zwischen kristallinen Gebieten. Diffusion findet stets zwischen zwei benachbarten Gebieten statt und resultiert im letzteren Fall aus einem Dichtegradienten, im ersten Fall aus der Kohlenstoff"ubers"attigung der kristallinen Zelle. Eine wichtige Annahme ist, da"s keine Diffusion aus amorphen in kristalline Gebiete m"oglich ist. Daher kann f"ur den erstgenannten Fall auch Diffusion in vertikaler Richtung stattfinden, nicht jedoch fuer letzteren, um die linear steigende Kohlenstoffkonzentration zu garantieren. Da eine ausschliesslich in horizontal stattfindende Diffusion zwischen kristallinen Gebieten physikalisch nicht sinnvoll begr"undet werden kann, gibt es einen Switch um diesen Diffusionsproze"s nicht auszuf"uhren.
 160 \subsection{Simulationsablauf}
 161 Mit dem vorgestellten Modell und den weiteren Annahmen kann nun der Simulationsablauf erl"autert werden. Ein Aublaufschema und die Bedienung des Programms sind in den folgenden Kapiteln zu finden. F"ur das Verst"andniss des Simulationsablaufs ist es sinnvoll zun"achst einige der wichtigsten einstellbaren Parameter des Programms und ihre Bedeutung aufzulisten. Eine komplette Auflistung findet sich im Kapitel "uber die Bedienung des Programms.
 162 \subsubsection{wichtige Parameter der Simulation}
 163 \begin{itemize}
 164  \item $a_{el} \textrm{, } b_{el}$\\
 165   Steigung und $y$-Achsenabschnitt der linear gen"aherten nuklearen Bremskraft
 166  \item $a_{ap} \textrm{, } b_{ap}$\\
 167   Proportionalit"atskonstante zwischen Wahrscheinlichkeit der Amorphisierung und Einflu"s des Drucks der amorphen Umgebung
 168  \item $a_{cp}$\\
 169   Proportionalit"atskonstante zwischen Kohlenstoffkonzentration und Wahrscheinlichkeit amorph zu werden
 170  \item $a_{cd} \textrm{, } b_{cd}$\\
 171   Steigung und $y$-Achsenabschnitt der in $z$-Richtung linear gen"aherten Kohlenstoffverteilung
 172  \item $c_{ratio}$\\
 173   Verh"altnis von Kohlenstoff in Simulationsfenster und gesamten Kohlenstoff (ermittelt durch TRIM)
 174  \item $dr_{cc}$\\
 175   Diffusionsrate von kristallinen in kritalline Gebiete
 176  \item $dr_{ac}$\\
 177   Diffusionsrate von kristallinen in amorphe Gebiete
 178  \item $d_v$\\
 179   Diffusionsgeschwindigkeit (Diffusion alle $d_v$ Durchl"aufe)
 180 \end{itemize}
 181
 182 \subsubsection{Der Simulationsalgorithmus}
 183 Das Silizium-Target wird in Zellen aufgeteilt, deren Anzahl als Parameter "ubergeben werden kann. In dieser Arbeit wurde $x=50 \textrm{, } y=50 \textrm{, } z=100$ gew"ahlt, was auch die Default Werte des Programms sind. Diese Zelle ist die kleinste Einheit und h"alt folgende Eigenschaften/Informationen:
 184 \begin{itemize}
 185  \item Kantenl"ange $3nm$ (Implantationsfenster ist $~300nm$ tief bei 100 Zellen)
 186  \item Zustand: amorph (rot) oder kristallin (blau)
 187  \item Kohlenstoffkonzentration
 188 \end{itemize}
 189 Der Simulationsalgorithmus kann in drei Teile gegliedert werden, jeder Ducrchlauf entspricht dabei einem implantierten Kohlenstoffion.
 190 \begin{itemize}
 191  \item Amorphisierung/Rekristallation:
 192   \begin{itemize}
 193    \item Zuf"allige Wahl der Koordinaten f"ur einen Sto"sproze"s:\\
 194     Da sich die Strahlensch"adigung wie die nukleare Bremskraft verh"alt, nimmt die Wahrscheinlichkeit f"ur einen Sto"sproze"s mit zunehmender Tiefe linear zu. $x$ und $y$ sind gleichverteilt.\\
 195     $p(x)dx=dx \textrm{, } p(y)dy=dy \textrm{, } p(z)dz=(a_{el}*z+b_{el})dz$
 196    \item Berechnung der Amorphisierungs bzw. Rekristallationswahrscheinlichkeit:\\
 197     Die Wahrscheinlichkeit der Amorphisierung einer Zelle soll proportional zur Druckspannung auf das Gebiet und der eigenen Kohlenstoffkonzentartion sein. Daher gilt:\\
 198     $\displaystyle p_{c \rightarrow a}=\sum_{amorphe Nachbarn} \frac{a_{ap}}{\textrm{Abstand}^2} + b_{ap} + a_{cp}c_{\textrm{Kohlenstoff}}$\\
 199     Die Koordinaten f"ur den Sto"sproze"s werden durch ausw"urfeln von drei Zufallszahlen erzeugt.
 200     Die Rekristallisation sollte sich genau entgegengesetzt verhalten und wird zur Vereinfachung als $\displaystyle p_{a \rightarrow c}=1-p_{c \rightarrow a}$ angenommen. Eine weitere Zufallszahl entscheidet ob das Gebiet amorph wird, rekristallisiert oder den derzeitigen Zustand beibeh"alt.
 201   \end{itemize}
 202  \item Einbau des implantierten Kohlenstoffions ins Silizium Target:\\
 203   Das implantierte Teilchen wird nicht am Ort des Sto"sproze"ses zur Ruhe kommen. Es wird eine Richtungs"anderung erfahren und weitere Sto"sproze"se vollziehen. Mit gro"ser Wahrscheinlichkeit wird es erst in der amorphen $SiC_x$ Schicht zur Ruhe kommen.  Deshalb wird zu Beginn des Programms das Verh"atnis von Kohlenstoff im Simulationsfenster zum gesamten Kohlenstoff durch Auslesen eines Konzentrationsprofils, ermittelt durch TRIM, berechnet. Da die Kohlenstoffverteilung im Bereich des Implantationsfensters linear gen"ahert wird, sieht die Prozedur wie folgt aus:
 204   \begin{itemize}
 205    \item Kohlenstoff innerhalb des Simulationsfesnters:\\
 206     Ist die Anzahl, des im Simulationsfenster enthaltenen Kohlenstoffs kleiner dem bisher gesamt implnatierten multipliziert mit oberen Verh"altnis, so wird der n"achste Schritt ausgef"uhrt.\\
 207     ($\textrm{gesamter Kohlenstoff} < \textrm{steps} * c_{ratio}$)
 208    \item zuf"allige Wahl von Koordinaten f"ur Kohlenstofferh"ohung:\\
 209     Analog zur Bestimmung der Sto"skoordinaten wird durch 3 Zufallszahlen das Gebiet in dem die lokale Kohlenstoffkonzentration inkremeniert wird ausgew"ahlt. Es gilt:\\
 210     $p(x)dx=dx \textrm{, } p(y)dy=dy \textrm{, } p(z)dz=(a_{cd}*z+b_{cd})dz$
 211   \end{itemize}
 212  \item Diffusion:\\
 213   Die Diffusionsroutinen werden alle $d_v$ Schritte ausgef"uhrt, dies ist somit ein Ma"s f"ur die Diffusionsgeschwindigkeit.
 214   \begin{itemize}
 215    \item Kohlenstoff Diffusion von kristalline in amorphe Gebiete:\\
 216     Im Programmablauf wird jede Zelle des Targets betrachtet. Ist diese amorph, so werden aus den umliegenden kristallinen Nachbarzellen $c_C(Nachbar)*dr_{ac}$ Kohlenstoffionen transportiert. $dr_{ac}$ entspricht somit einer Diffusionsrate. Bisher gibt es keine Beschr"ankungen, wie zum Beispiel eine S"attigungskonzentartion.
 217    \item Kohlenstoff Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete:\\
 218     Ist eine betrachtete Zelle kristallin, und hat sie kristalline Nachbarn, so werden $\frac{\textrm{Differenz}}{2}*dr_{cc}$ Kohlenstoffionen transferiert. Da ein lineares Konzentrationsverhalten garantiert werden muss, darf diese Diffusion nur in der horizontalen Ebene stattfinden. Dies ist physiklaisch nicht sinnvoll begr"undbar, daher kann die rein kristalline Diffusion weggelassen werden.
 219   \end{itemize}
 220   Die Diffusion ist der rechenintensivste Schritt der Simulation. Sie macht aus dem bisherigen $O(n)$-Problem ein $O(n^2)$-Problem.
 221 \end{itemize}
 222
 223 \subsection{Ablaufschema}
 224 Abbildung \ref{ablaufschema1} und \ref{ablaufschema2} zeigen den Simulationsablauf in Form eines Ablaufschemas.
 225 \originalTeX
 226 \begin{figure}[thbp]
 227 \begin{center}
 228 \begin{graph}(8,30)
 229  \graphnodecolour{1}
 230  \textnode{start}(4,30){nlsop start}
 231  \rectnode{rand1}[6,3](4,27.5)
 232  \freetext(4,28.5){zufaellige Wahl der Koordinaten:}
 233  \freetext(4,27.5){$p(x)dx=dx$}
 234  \freetext(4,27){$p(y)dy=dy$}
 235  \freetext(4,26.5){$p(z)dz=(a_{el}*z+b_{el})dz$}
 236  \diredge{start}{rand1}
 237  \rectnode{p_ac_ca}[9,3](4,23.5)
 238  \freetext(4,24.5){Berechnung der $p_{a \rightarrow c}$ bzw. $p_{c \rightarrow a}$:}
 239  \freetext(4,23.5){$\displaystyle p_{c \rightarrow a}=\sum_{amorphe Nachbarn} \frac{a_{ap}}{\textrm{Abstand}^2} + b_{ap} + a_{cp}c_{\textrm{Kohlenstoff}}$}
 240  \freetext(4,22.5){$\displaystyle p_{a \rightarrow c}=1-p_{c \rightarrow a}$}
 241  \diredge{rand1}{p_ac_ca}
 242  \textnode{ac}(4,21){Zelle $(x,y,z)$ amorph?}
 243  \diredge{p_ac_ca}{ac}
 244  \textnode{d_c}(2,19.5){Zufallszahl $< p_{a \rightarrow c}$ ?}
 245  \textnode{d_a}(6,19.5){Zufallszahl $< p_{c \rightarrow a}$ ?}
 246  \diredge{ac}{d_a}
 247  \edgetext{ac}{d_a}{nein}
 248  \diredge{ac}{d_c}
 249  \edgetext{ac}{d_c}{ja}
 250  \textnode{amount_c}(4,16.5){$\textrm{gesamter Kohlenstoff} < \textrm{steps} * c_{ratio}$ ?}
 251  \diredge{d_c}{amount_c}
 252  \diredge{d_a}{amount_c}
 253  \textnode{make_c}(1,18){Zelle $(x,y,z) = \textrm{kristallin}$}
 254  \textnode{make_a}(7,18){Zelle $(x,y,z) = \textrm{amorph}$}
 255  \diredge{d_c}{make_c}
 256  \edgetext{d_c}{make_c}{ja}
 257  \diredge{d_a}{make_a}
 258  \edgetext{d_a}{make_a}{ja}
 259  \diredge{make_c}{amount_c}
 260  \diredge{make_a}{amount_c}
 261  \rectnode{rand2}[5,3](1.5,14)
 262  \freetext(1.5,15){zufaellige Koordinaten:}
 263  \freetext(1.5,14){$p(x)dx=dx$}
 264  \freetext(1.5,13.5){$p(y)dy=dy$}
 265  \freetext(1.5,13){$p(z)dz=(a_{cd}*z+b_{cd})dz$}
 266  \diredge{amount_c}{rand2}
 267  \freetext(3,16){ja}
 268  \rectnode{inc_c}[5,1.5](1.5,11)
 269  \freetext(1.5,11){Erhoehe $c_{Kohlenstoff}(x,y,z)$}
 270  \freetext(1.5,10.5){Erhoehe gesamten Kohlenstoff}
 271  \diredge{rand2}{inc_c}
 272  \textnode{d_d}(5,9.5){Diffusion}
 273  \diredge{inc_c}{d_d}
 274  \diredge{amount_c}{d_d}
 275  \edgetext{amount_c}{d_d}{nein}
 276 \end{graph}
 277 \end{center}
 278 \germanTeX
 279 \caption{Ablaufschema Teil 1} \label{ablaufschema1}
 280 \end{figure}
 281
 282 \begin{figure}[thbp]
 283 \begin{center}
 284 \begin{graph}(8,30)
 285  \graphnodecolour{1}
 286  \textnode{n_start}(4,30){Diffusion}
 287  \textnode{d_d}(4,29){steps vielfaches von $d_v$?}
 288  \diredge{n_start}{d_d}
 289  \textnode{diff_for_loop}(2,28){Gehe verbleibende Zellen durch}
 290  \diredge{d_d}{diff_for_loop}
 291  \edgetext{d_d}{diff_for_loop}{ja}
 292  \textnode{d_c}(2,27){Zelle kristallin?}
 293  \diredge{diff_for_loop}{d_c}
 294  \textnode{c_diff}(0.5,26){Gehe alle Nachbarn durch}
 295  \diredge{d_c}{c_diff}
 296  \edgetext{d_c}{c_diff}{ja}
 297  \textnode{c2a_diff}(5.5,26){Gehe alle Nachbarn durch}
 298  \diredge{d_c}{c2a_diff}
 299  \edgetext{d_c}{c2a_diff}{nein}
 300  \textnode{n_c}(0.5,25){Nachbar kristallin?}
 301  \diredge{c_diff}{n_c}
 302  \textnode{n_c2}(5.5,25){Nachbar kristallin?}
 303  \diredge{c2a_diff}{n_c2}
 304  \rectnode{c2c_d}[4,1.5](0.5,23.5)
 305  \freetext(0.5,23.5){Bewege $\frac{\textrm{Differenz}}{2}*dr_{cc}$}
 306  \freetext(0.5,23){der Kohlenstoffatome}
 307  \diredge{n_c}{c2c_d}
 308  \freetext(0.7,24.5){ja}
 309  \rectnode{c2a_d}[4,1.5](6,23.5)
 310  \freetext(6,24){Bewege}
 311  \freetext(6,23.5){$c_C(Nachbar)*dr_{ac}$}
 312  \freetext(6,23){der Kohlenstoffatome}
 313  \diredge{n_c2}{c2a_d}
 314  \freetext(6.2,24.5){ja}
 315  \textnode{ne1}(0.5,22){Alle Nachbarn durch?}
 316  \diredge{c2c_d}{ne1}
 317  \dirbow{n_c}{ne1}{-0.8}
 318  \freetext(-2,24.5){nein}
 319  \dirbow{ne1}{c_diff}{-0.6}
 320  \freetext(2.5,22.5){nein}
 321  \textnode{ne2}(6,22){Alle Nachbarn durch?}
 322  \diredge{c2a_d}{ne2}
 323  \dirbow{n_c2}{ne2}{0.9}
 324  \freetext(8,24.5){nein}
 325  \dirbow{ne2}{c2a_diff}{0.6}
 326  \freetext(4,22.5){nein}
 327  \textnode{ze}(3,21){Alle Zellen durch?}
 328  \dirbow{ze}{diff_for_loop}{-0.1}
 329  \freetext(3,25){nein}
 330  \diredge{ne1}{ze}
 331  \edgetext{ne1}{ze}{ja}
 332  \diredge{ne2}{ze}
 333  \edgetext{ne2}{ze}{ja}
 334  \textnode{test_sf}(3,20){steps vielfaches von save intervall?}
 335  \diredge{ze}{test_sf}
 336  \edgetext{ze}{test_sf}{ja}
 337  \dirbow{d_d}{test_sf}{0.6}
 338  \bowtext{d_d}{test_sf}{0.6}{nein}
 339  \textnode{sf}(1,19){save data}
 340  \diredge{test_sf}{sf}
 341  \edgetext{test_sf}{sf}{ja}
 342  \textnode{test_display}(3,18){steps vielfaches von display intervall?}
 343  \diredge{sf}{test_display}
 344  \diredge{test_sf}{test_display}
 345  \edgetext{test_sf}{test_display}{nein}
 346  \textnode{display}(1.5,17){display}
 347  \diredge{test_display}{display}
 348  \edgetext{test_display}{display}{ja}
 349  \textnode{test_end}(3,16){$\textrm{steps} = \textrm{max steps}$?}
 350  \diredge{display}{test_end}
 351  \diredge{test_display}{test_end}
 352  \edgetext{test_display}{test_end}{nein}
 353  \textnode{nlsop_start}(7,16){nlsop start}
 354  \diredge{test_end}{nlsop_start}
 355  \edgetext{test_end}{nlsop_start}{nein}
 356  \textnode{sf2}(3,15){save data}
 357  \diredge{test_end}{sf2}
 358  \edgetext{test_end}{sf2}{ja}
 359  \textnode{display2}(3,14){user interaction?}
 360  \diredge{sf2}{display2}
 361  \textnode{nlsop_end}(1.5,13){nlsop end}
 362  \diredge{display2}{nlsop_end}
 363  \edgetext{display2}{nlsop_end}{nein}
 364  \textnode{d_a_w_f_e}(5.5,13){display and wait for event}
 365  \diredge{display2}{d_a_w_f_e}
 366  \edgetext{display2}{d_a_w_f_e}{ja}
 367  \textnode{test_event}(5.5,12){event $=$ quit?}
 368  \diredge{d_a_w_f_e}{test_event}
 369  \diredge{test_event}{nlsop_end}
 370  \edgetext{test_event}{nlsop_end}{ja}
 371  \textnode{ea}(5.5,11){eventaction}
 372  \diredge{test_event}{ea}
 373  \edgetext{test_event}{ea}{nein}
 374  \dirbow{ea}{d_a_w_f_e}{-0.6}
 375 \end{graph}
 376 \end{center}
 377 \germanTeX
 378 \caption{Ablaufschema Teil 2} \label{ablaufschema2}
 379 \end{figure}
 380
 381 \section{Bedienung des Programms}
 382 Im folgenden soll die Bedienung des Simultionsprogramms erkl"art werden. Das Programm muss immer per Kommandozeile getsartet werden. Auf Systemen die DirectFB installiert und den Simulationscode entsprechend "ubersetzt haben, hat man die M"oglichkeit die Simulation grafisch zu verfolgen oder auch fertige gespeicherte Simulationen zu betrachten. Auf Beides wird im folgenden eingegangen.
 383 Der Leser der nur an der Funktionsweise und den Ergebnissen interessiert ist kann dieses Kapitel getrost "uberspringen.
 384 \subsection{Kommandozeilen Argumente}
 385 In jedem Fall muss das Programm auf der Kommandozeile gestartet werden. Die auszuf"uhrende Datei hat den Namen nlsop (nano lamella selforganization process). Im folgenden sind die m"oglichen Argumente aufgelistet und erkl"art.
 386 \begin{itemize}
 387  \item -h\\
 388   Gibt die Hilfe zu dem Programm aus.
 389  \item -n\\
 390   Deaktiviert Interaktion des Benutzers. Diese Option ist hilfreich wenn das Programm sich nach einem Durchlauf selbst beenden soll, zum Beispile zur Verwendung in Skripten.
 391  \item -Z\\
 392   Diese Option schaltet die Kohlenstoff Diffusion von kristallinen in amorphe Gebiete in $z$-Richtung ein.
 393  \item -i\\
 394   Deaktiviert die Diffusion innerhalb kristalliner Gebiete.
 395  \item -a <Wert>\\
 396   Setzt den Wert f"ur die Steigung der linear gen"aherten nuklearen Bremskraft ($a_{el}$).
 397  \item -b <Wert>\\
 398   Setzt den Wert f"ur den $y$-Achsenabschnitt der linear gen"aherten nuklearen Bremskraft ($b_{el}$).
 399  \item -x <Wert>\\
 400   Bestimmt die Anzahl der Zellen in $x$ Richtung.
 401  \item -y <Wert>\\
 402   Bestimmt die Anzahl der Zellen in $y$ Richtung.
 403  \item -z <Wert>\\
 404   Bestimmt die Anzahl der Zellen in $z$ Richtung.
 405  \item -s <Wert>\\
 406   Bestimmt die Anzahl der Simulationsschritte ($steps$).
 407  \item -d <Wert>\\
 408   Setzt die Anzahl der Schritte nach der das Display aktualisiert wird.
 409  \item -r <Wert>\\
 410   Bestimmt den Radius des Einflu"sbereichs benachbarter amorpher Gebiete.
 411  \item -f <Wert>\\
 412   Gibt die Proportionalit"atskosntante zwischen Wahrscheinlichkeit der Amorphisierung und Einflu"s des Drucks der amorphen Umgebung an ($a_{ap}$).
 413  \item -p <Wert>\\
 414   Setzt eine Grundwahrscheinlichkeit, da"s ein Gebiet auch ohne Druckspannungen amorph wird ($b_{ap}$).
 415  \item -F <Wert>\\
 416   Gibt die Proportionalit"atskonstante zwischen Kohlenstoffkonzentration und Wahrscheinlichkeit amorph zu werden an ($a_{cp}$).
 417  \item -A <Wert>\\
 418   Setzt den Wert f"ur die Steigung der linear gen"aherten Kohlenstoffverteilung ($a_{cd}$).
 419  \item -B <Wert>\\
 420   Setzt den Wert f"ur den $y$-Achsenabschnitt der linear gen"aherten Kohlenstoffverteilung ($b_{cd}$).
 421  \item -D <Wert>\\
 422   Gibt die Diffusionsrate von kristalline in amorphe Gebiete an ($dr_{ac}$).
 423  \item -c <Wert>\\
 424   Gibt die Diffusionsrate innerhalb kristalliner Gebiete an ($dr_{cc}$). Dieser Wert macht nur Sinn, wenn -i nicht gesetzt wurde.
 425  \item -e <Wert>\\
 426   Anzhal der Schritte nach denen Diffusion stattfinden soll ($d_v$).
 427  \item -g <Datei> <Schritt>\\
 428   Mit dieser Option kann eine nicht fertige Simulation ab einem bestimmten Schritt fortgef"uhert werden. Die Anzahl der Simulationsschritte kann jedoch nichtmehr ge"andert werden.
 429  \item -W <Wert>\\
 430   Gibt an wie oft der Stand der Simulation in eine Datei gespeichert werden soll.
 431  \item -S <Datei>\\
 432   Setzt den Basisnamen der Dateie zum Speichern des Simulationsergebnisses.
 433  \item -L <Datei>\\
 434   L"ad eine fertige Simulation. Wurde das Programm ohne grafische Oberfl"ache "ubersetzt, sollte mindestens noch die -C Option verwendet werden.
 435  \item -C <Datei>\\
 436   Konvertiert ein Simulationsergebniss in GNUPlot Format nach Datei. Dieser Aufruf mach nur Sinn in Verbindung mit der -L Option.
 437  \item -R <Datei>\\
 438   Bei dieser Option werden die Zufallszahlen aus Datei gelesen.
 439  \item -P <Datei>\\
 440   Gibt die Datei an, aus der das Konzentrationsprofil entnommen wird.
 441 \end{itemize}
 442 \subsection{Die grafische Oberfl"ache}
 443 Wenn das Programm mit DirectFB Unterstutzung "ubersetzt wurde, kann die Simulation visuell verfolgt werden. Au"serdem k"onnen fertig abgespeicherte Simulationen mit der -L Option geladen und betrachtet werden.
 444 Die grafische Oberfl"ache ist in vier Teile gegliedert, wie in Abbildung \ref{nlsop_gui} zu sehen ist.
 445 \begin{figure}
 446 \includegraphics[width=12cm]{nlsop_gui.eps}
 447 \caption{Grafische Oberfl"ache} \label{nlsop_gui}
 448 \end{figure}
 449 Dem gelb umrandeten Infokasten rechts unten kann man folgende Informationen entnehmen.
 450 \begin{itemize}
 451  \item Koordinaten $x$, $y$ und $z$\\
 452   Sie geben die Position der gerade betrachteten Zelle an. Die Bewegung durchs Target ist durch die Pfeiltasten in $x-y$-Richtung m"oglich. Durch die Bildtasten navigiert man in $z$-Richtung.
 453  \item Status und Konzentration (status, conc)\\
 454   Hier werden Status und Konzentration der betrachteten Zelle festgehalten. $c$ steht f"ur kristallin, ,$a$ f"ur amorph. Die Konzentration gibt bisher noch die tats"achlch in diesem Gebiet befindliche Menge an implantierten Teilchen an.
 455  \item Simulationsschritt (step)\\
 456   In der laufenden Simulation werden hier die Schritte hochgez"ahlt.
 457  \item gesamt implantierter Kohlenstoff (total c)\\
 458   Gibt den im gesamten Simulationsfenster implantierten Kohlenstoff an.
 459  \item Diffusion\\
 460   Hier wird festgehalten wie oft Diffusion durchgef"uhrt, und ob Diffusion in $z$-Richtung zugelassen wird.
 461  \item Simulationsschritte unnd Dosis\\
 462   Gibt die ausgew"ahlte Schrittzahl (steps) und entsprechende Dosis (dose) an.
 463  \item weitere verwendete Kommandozeilenargumente\\
 464   Zeigt weitere verwendete Parameter wie den Einflu"sbereich der amorphen Druckspannungen, $a_{ap}$, $b_{ap}$, $a_{el}$, $b_{el}$, $a_{cd}$, $b_{cd}$, $a_{cp}$ und den Diffusionsraten an.
 465 \end{itemize}
 466 Die drei blauen Gitter stellen die $x-z$-Ebene (oben links), die $y-z$-Ebene (oben rechts) und die $x-y$-Ebene (unten links) da, welche sich in der ausgew"ahlten Zelle schneiden. Diese ist gelb umrandet. Eine blau umrandete Zelle ist im kristallinen Zustand, die roten Zellen sind amorph.
 467 Neben den Tasten zur Navigation sind nch weitere wie folgt belegt:
 468 \begin{itemize}
 469  \item q\\
 470   Beendet das Programm.
 471  \item m\\
 472   Wechselt den Modus. Neben der kristallin/amorph Darstellung kann noch die Konzentration der Zellen und das Spannungsfeld durch die amorphen Zellen veranschaulicht werden.
 473   \begin{figure}
 474   \includegraphics[width=6cm]{nlsop_cc.eps}
 475   \includegraphics[width=6cm]{nlsop_ap.eps}
 476   \caption{Kohlenstoffkonzentration und Spannungsfeld} \label{kksf}
 477   \end{figure}
 478  \item 1, 2, ,3\\
 479   Erzeugt schwarz/wei"s Bitmaps der 3 Gitterebenen zum besseren Vergleich mit TEM Aufnahmen.
 480 \end{itemize}
 481
 482 \section{Ergebnisse der Simulation}
 483 Der Simulationscode wurde Schritt f"ur Schritt um Funktionalit"at, bis zum jetzigen Stand erweitert. Die Ergebnisse der einzelnen Versionen sollen chronologisch pr"asentiert werden. Man kann eine Grobunterteilung in Simulationen ohne und mit Diffusion vornehmen.
 484 In allen Simulationen wurde $x=50$, $y=50$ und $z=100$ gew"ahlt. Da das betrachtete Simulationsfenster $~300 nm$ tief ist, hat die Zelle eine Kantenl"ange von $~3 nm$. Dies entspricht auch der tats"achlich beobachteten H"ohe solcher amorphen Ausscheidungen.
 485 Variiert wurden haupts"achlich die Anzahl der Simulationsschritte und Parameter die den Einflu"s der Druckspannungen der amorphen Umgebung, sowie den Einflu"s der Kohlenstoff"ubers"attigung beschreiben. Bei den Simulationen mit Diffusion wurden Ver"anderungen der Diffusion beschreibenden Parameter zus"atzlich untersucht.
 486 \subsection{Simulationen ohne Diffusion}
 487 Dies betrifft die ersten Versionen der Simulation. Die Versuche wurden mit einer Schrittzahl von $100000$ und $300000$ durchgef"uhrt. Da dies weit unter der implantierten Teilchenzahl ist, wurden relativ grosse Werte f"ur $a_{ap}$ und $b_{ap}$ verwendet, $a_{cp}$ war in den ersten Versionen noch nicht implementiert.
 488 Zun"achst wurden zwei Messungen mit unterschiedlichen Wert f"ur den Radius des amorphen Einflu"sbereichs durchgef"uhrt. Der Radius wird in Zellen angegeben.
 489 \begin{figure}[htbp]
 490 \includegraphics[width=6cm]{sim1_r4_a03_b01.eps}
 491 \includegraphics[width=6cm]{sim1_r6_a03_b01.eps}
 492 \caption{Messungen mit $a_{ap}=0.3$, $b_{ap}=0.1$, $r=4$ (links), $r=6$ (rechts).} \label{sim1_r4_6}
 493 \end{figure}
 494 \\
 495 Wie man der Abbildung \ref{sim1_r4_6} entnehmen kann, bewirkt der gr"ossere Radius lediglich eine gr"ossere Meneg an amorphen Zellen, die lamellare Ordnung der amorphen Ausscheidungen wird nicht verst"arkt. F"ur die folgenden Messungen wird dieser konstant $r=5$ gehalten.
 496 Da
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 498
 499 \subsection{Simulationen mit Diffusion}
 500
 501
 502 \chapter{Ausblick}
 503
 504 \begin{thebibliography}{99}
 505  \bibitem{directfb} \emph{DirectFB}: Framebuffer API, http://www.directfb.org
 506  \bibitem{dipl_mh} Diplomarbeit Maik H"aberlen, Bildung und Ausheilverhalten nanometrischer amorpher Einschl"usse in Kohlenstoff-implantiertem Silizium.
 507  \bibitem{bzl} Ziegler, Biersack, Littmark. The stopping and range of ions in solids.
 508 \end{thebibliography}
 509
 510 \end{document}