physics_compact/math.tex

   1 \part{Mathematical foundations}
   2
   3 Reminder: Modern Quantum Chemistry \& Sakurai \& Group Theory \ldots
   4
   5 \chapter{Linear algebra}
   6
   7 \section{Vectors and bases}
   8
   9 A vector $\vec{a}$ of an $N$-dimensional vector space (see \ref{math_app:vector_space} for mathematical details) is represented by its components $a_i$ with respect to a set of $N$ basis vectors ${\vec{e}_i}$.
  10 \begin{equation}
  11 \vec{a}=\sum_i \vec{e}_i a_i
  12 \label{eq:vec_sum}
  13 \end{equation}
  14 The scalar product for an $N$-dimensional vector space is defined as
  15 \begin{equation}
  16 (\vec{a},\vec{b})=\sum_i^N a_i b_i \text{ ,}
  17 \end{equation}
  18 which introduces a norm
  19 \begin{equation}
  20 ||\vec{a}||=\sqrt{(\vec{a},\vec{a})}
  21 \end{equation}
  22 that correpsonds to the length of vector \vec{a}.
  23 Evaluating the scalar product $(\vec{a},\vec{b})$ by the sum representation of \eqref{eq:vec_sum} \ldots
  24 \begin{equation}
  25 \end{equation}
  26